【正文】 （ 3）設(shè) ? ?2121, xxxx ? 是函數(shù) ??xf 的兩個(gè)零點(diǎn)，求證 021 ??xx ． 1（ 天津市和平區(qū) 2022 屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量調(diào)查 ） 已知函數(shù) xxaaxxf ln24)( ???. （ Ⅰ ）當(dāng) 1?a 時(shí) ,求曲線 )(xf 在點(diǎn) ))1(,1( f 處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù) )(xf 在其定義域內(nèi)為增函數(shù) ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)函數(shù)xexg 6)( ?,若在區(qū)間 ],1[ e 上至少存在一點(diǎn) 0x ,使得 )()( 00 xgxf ? 成立 ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . 參考答案 一、填空、選擇題 【解析】 1 ln2? ln 2yx??的切線為：111 ln 1y x xx? ? ? ?（設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為 1x） ? ?ln 1的切線為：? ? 22221 ln 111xy x xxx? ? ? ??? ∴? ?122122111ln ln 1 1xxxx? ?????? ? ? ? ???? 解得1 12x? 2 12x?? ∴ 1ln 1 1 ln 2bx? ? ? ?． 【答案】 D 【解析】 試題分析：設(shè) ()gx = (2 1)xex? ， y ax a??，由題知存在唯一的整數(shù) 0x ，使得 0()gx 在直線 y ax a??的下方 . 因?yàn)?( ) (2 1)xg x e x? ??，所以當(dāng) 12x?? 時(shí)， ()gx? ＜ 0，當(dāng) 12x?? 時(shí)， ()gx? ＞ 0，所以當(dāng)12x?? 時(shí)， max[ ( )]gx = 122e? ， 當(dāng) 0x? 時(shí)， (0)g =1， (1) 3 0ge??，直線 y ax a??恒過(guò)（ 1,0）斜率且 a ，故 (0) 1ag? ? ?? ，且 1( 1) 3g e a a?? ? ? ? ? ?，解得 32e ≤a ＜ 1，故選 D. 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 40xy??? 【答案】 D 【解析】 ()fx的定義域?yàn)?(0, )?? ， ∵ ( ) ( ) lnxf x f x x x? ??， ∴2( ) ( ) lnxf x f x xxx? ? ?， ∴ ( ) ln()f x xxx?? ， ∴ 2( ) 1 ln2fx xcx ??， ∴ 21( ) ln2f x x x cx??． ∵ 21 1 1 1 1( ) ln2fce e e e e? ? ? ?， ∴ 12c? ． ∴ 221 1 1( ) l n l n ( l n 1 ) 02 2 2f x x x x? ? ? ? ? ? ?， ∴ ()fx在 (0, )?? 上單調(diào)遞增， ∴ ()fx在 (0, )?? 上既無(wú)極大值也無(wú)極小值 ． 0 B A （ e， e） 二、解答題 【解析】（ 1） ? ? ? ?31f x x ax b? ? ? ? ? ? ? ?239。(1 ) 2f x fxx? ? ? ? 則切線為： 2( 1)yx??，即 2 2 0xy? ? ? ； (Ⅱ ) 2222239。( ) 0xepx x? ??? ? ?，則 ()x? 在 [1, ]? 增， m a x( ) ( ) 4 0xe??? ? ? ?，舍； 20p? ， 12( ) ( ) 2 lnex p x xxx? ? ? ? ?， [1, ]xe? ， 120 , 0 , ln 0exxxx? ? ? ? ?，則 ( ) 0x? ? ，舍； 22( 1 ) 2 ( )3 0 39。 ……12 分 （ 3）當(dāng) 0a? 時(shí)， 12 ( 1 )( )2() a x x ag x = x? ，在 (1 )??， 上 ， ( ) 0gx? ? ， ∴ ()gx 在 [1 )??， 上 單調(diào)遞減， ( ) (1) 0g x g ?≤ 成立． ……13 分 綜上可知，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 0a≤ ． ……14 分 （ 1） )( 1)( Rxxaexaexf xx ?????? 切線斜率 1)2( 2 ??? aef ， 0)2( ?f 切線方程 0)1(2)1( 22 ????? aeyxae …… 4 分 （ 2）令 0)( ?? xf ， 0)1)(1( ??? xaex 即 )0(1ln,143 ??? aaxx 當(dāng) ? ?0,???a 時(shí)， )(xf 在 ? ?1,?? 上為增函數(shù)，在 ),1( ?? 上為減函數(shù) 當(dāng) ??????? ea 1,0時(shí)， )(xf 在 ),1(ln),1,( ???? a 上為增函數(shù)， 在 )1ln,1( a 上為減函數(shù) 當(dāng) ea 1? 時(shí)， )(xf 在 R 上恒為增函數(shù) 當(dāng) ),1( ??? ea 時(shí)， )(xf 在 ),1(),1ln,( ???? a 上為增函數(shù)， 在 )1,1(lna 上為減函數(shù) …… 10 分 （ 3）由已知 )()( 12 xfxf ? 在 ??1,0 上的最大值小于等于 1?a 當(dāng) ]1,( ea ??? 時(shí)， )(xf 在 ??1,0 上單調(diào)遞增 )()( 12 xfxf ? 的最大值為 1212)0()1( ?????? aaeaff 解為 ??????? ????? ,)1(2 1ea ?????? ???? eea 1,)1(2 1 當(dāng) ??????? 1,1ea時(shí)， )(xf 在 )1ln,0( a 上為增函數(shù)，在 )1,1(lna 上為減函數(shù) )()( 12 xfxf ? 的最大值為 )0()( 4 fxf ? 或 )1()( 4 fxf ? 122221)0()( 4244 ???????? aaxxfxf 即 3221 424 ??? xxa ??????? 1,1ea ， ????????? 3,233221 424 xx （ ? ?1,04?x ）恒成立 1212221)1()( 4244 ????????? aaexxfxf 即 27221)1(424 ???? xxea ????????? 27,227221 424 xx （ ? ?1,04?x ）恒成立 ???????? 1,1ea 當(dāng) ? ???? ,1a 時(shí)， )(xf 在 ??1,0 上單調(diào)遞減 )()( 12 xfxf ? 的最大值為 1212)1()0( ??????? aaeaff 解為 ??????? ????? ,)3(2 3 ea ? ????? ,1a 成立 綜上所述 ??????? ????? ,)1(2 1ea …… 14 分 （ Ⅰ ）解：當(dāng) 1?m 時(shí)，曲線 2)1()( ??? xxfy xln? ， 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 0(x ， )ln0x ， 由xxf 1)(39。 ?xf 恒成立， 函數(shù) )(xf 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0( ， )?? ； ?2 當(dāng) 210 ??m 時(shí)， 函數(shù) )(xf 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0( ， )2 211 m?? ， 2 211( m?? ， )?? ； ?3 當(dāng) 0?m 時(shí)， 函數(shù) )(xf 的單調(diào)遞增區(qū)間為 2 211( m?? ， )?? . ………… 7分 （ Ⅲ ）解：x mxxxf ??? 22)(39。 ?bf ，即函數(shù) )(bf 是21(， )1 上的增函數(shù)， 所以 0)(4 2ln21 ??? bf，故 )(bf 的取值范圍是 4 2ln21( ? ， )0 ， ………… 11 分 則 1)]([ ??bf ， 同理可求 12)( 2 ??? aaaf aaa ln)22( 2 ??? ， 0(?a ， )21， 0ln)21(4)(39。 ??? xxg， 由題意可得21 ll kk ?，即 12 ??aa ，所以 1?a ， ………… 2 分 所以 xxxf ?? 2)( ， 222)2( 2 ???f . ………… 3 分 （Ⅱ）當(dāng) 1[?x ， ]e 時(shí)， 01ln)(39。 22 ????? xxxxxF ， 1?x ，所以 )(xF 在區(qū)間 1( ， )?? 上單調(diào)遞增， 所以當(dāng) 1?x 時(shí)， 0)1()( ?? FxF . ①當(dāng) 0(?m ， )1 時(shí)，有 21 )1( xmmx ???? 111 )1( xxmmx ???? ，21 )1( xmmx ???? 222 )1( xxmmx ???? ，得 1(x?? ， )2x ，同理 1(x?? ， )2x ， 由 )(xF 的單調(diào)性知 )()()(0 21 xFFxF ??? ? ， )()()(0 21 xFFxF ??? ?， 從而 )()()()( 21 xFxFFF ??? ?? ，符合題設(shè) . ②當(dāng) 0?m 時(shí)，有 21 )1( xmmx ???? 222 )1( xxmmx ???? ， 21)1( mxxm ???? 111)1( xmxxm ???? ， 由 )(xF 的單調(diào)性知 )()(0 1xFF ?? ? )()( 2 ?FxF ?? ， 所以 )()()()( 21 xFxFFF ??? ?? ，與題設(shè)不符 . ③當(dāng) 1?m 時(shí)，同理可得 1x?? ， 2x?? ，得 )()()()( 21 xFxFFF ??? ?? ，與題設(shè)不符 . 綜上所述，得 0(?m ， )1 . ………… 14 分 （ Ⅰ ） 因?yàn)?221() ax afxx??? ? ， 3 1 1(1) 12af ?? ? ? ? 解得： 12a?? .3 分 （ Ⅱ ） ()fx的定義域?yàn)?(0,+? ), 221() ax afxx??? ?， 當(dāng) a≥ 0時(shí)， ()fx? ＞ 0， 故 f(x)在 (0,+? )單調(diào)增加； 5 分 當(dāng) a≤－ 1 時(shí)， ()fx? ＜ 0, 故 f(x)在 (0,+? )單調(diào)減少； 6 分 當(dāng)－ 1＜ a＜ 0 時(shí)，令 ()fx? ＝ 0,解得 x= 12aa??. 當(dāng) x∈ (0, 12aa??)時(shí) , ()fx? ＞ 0；單調(diào)增， x∈ ( 12aa??， +? )時(shí)， ()fx? ＜ 0, 單調(diào)減 10 分 （Ⅲ） 22( ) 2 1 1xf x ax a x x? ? ? ? ? ?≥， 得： 2221xxa x??≥ 11 分 令 22( ) , ( 0)21xxg x xx ???? 則 2 2 22 2 2 2( 2 1 ) ( 2 1 ) 4 ( ) 2 2 1() ( 2 1 ) ( 2 1 )x x x x x x xgx xx? ? ? ? ? ? ?? ????， 當(dāng) 130 2x ??? 時(shí)， ()gx 單調(diào)遞增， 當(dāng) 132x ?? 時(shí)， ()gx 單調(diào)遞減， 所以，m a x 1 3 1 3( ) ( )24g x g ????， 13 分 故 134a ?≥ 14 分 1 （ 1） xaxh 12)(39。 2 ???, ……………………… （ 2 分 ） 曲線 )(xf 在點(diǎn) ))1(,1( f 處的斜率為 3)1(3