【正文】 且 1( 1) 3g e a a?? ? ? ? ? ?，解得 32e ≤a ＜ 1，故選 D. 考點：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 40xy??? 【答案】 D 【解析】 ()fx的定義域為 (0, )?? ， ∵ ( ) ( ) lnxf x f x x x? ??， ∴2( ) ( ) lnxf x f x xxx? ? ?， ∴ ( ) ln()f x xxx?? ， ∴ 2( ) 1 ln2fx xcx ??， ∴ 21( ) ln2f x x x cx??． ∵ 21 1 1 1 1( ) ln2fce e e e e? ? ? ?， ∴ 12c? ． ∴ 221 1 1( ) l n l n ( l n 1 ) 02 2 2f x x x x? ? ? ? ? ? ?， ∴ ()fx在 (0, )?? 上單調(diào)遞增， ∴ ()fx在 (0, )?? 上既無極大值也無極小值 ． 0 B A （ e， e） 二、解答題 【解析】（ 1） ? ? ? ?31f x x ax b? ? ? ? ? ? ? ?239。 3 1f x x a? ? ? ① 0a≤ ，單調(diào)遞增； ② 0a? ， ??fx 在 ,13a???? ?????單調(diào)遞增，在 1 , 133aa????????單調(diào)遞減，在1,3a??? ??????單調(diào)遞增 （ 2）由 ? ?039。0fx? 得 ? ?2031xa?? ∴ ? ? ? ? ? ?320 0 0 01 3 1f x x x x b? ? ? ? ?? ? ? ?2022 2 1x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?320 0 0 03 2 2 2 3 1 3 2f x x x x b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20 0 01 8 8 9 6x x x b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?200= 1 2 1x x b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 13 2 =f x f x f x? ? ? 1023xx? ? ? （ 3）欲證 ()gx 在區(qū)間 [0 2]， 上的最大值不小于 14 ，只需證在區(qū)間 [0 2]， 上存在 12,xx， 使得121( ) ( ) 2g x g x? ≥即可 ① 當(dāng) 3a≥ 時， ??fx在 ? ?02， 上單調(diào)遞減 (2) 1 2f a b? ? ? (0) 1fb?? ? 1( 0 ) ( 2 ) 2 2 4 2f f a? ? ? ?≥遞減，成立 當(dāng) 03a?? 時， 3113 3 3a a af a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3 3 3a a aa a b? ? ? ? ?233aa a b? ? ? 113 3 3 3a a a af a b? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?233aa a b?? ? ? ∵ (2) 1 2f a b? ? ? (0) 1fb?? ? ∴ (2) (0) 2 2f f a? ? ? 若 304a? ≤時， ? ? ? ? 10 2 2 22f f a? ? ? ≥，成立 當(dāng) 34a?時， 41113 3 3 3 2a a af f a? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以， ()gx 在區(qū)間 [0 2]， 上的最大值不小于 14 成立 試題解析： (I)由() nf x nx x??，可得，其中 *nN?且 2n?， 下面分兩種情況討論： （ 1）當(dāng) n為奇數(shù)時：令( ) 0fx? ?，解得 1x?或 1x??， 當(dāng) x變化時，( ), ( )f x f x?的變化情況如下表： x ( , 1)??? ( 1,1)? ( )?? ()fx? ? ? ? 所以，()fx在( , 1)???，(1, )??上單調(diào)遞減，在( 1,?內(nèi)單調(diào)遞增 . (2)當(dāng) n為偶數(shù)時， 當(dāng)( ) 0? ?，即 1x?時，函數(shù)()fx單調(diào)遞增； 當(dāng)( )fx? ?，即 x?時，函數(shù) 單調(diào)遞減 . 所以，()在( , 1)???上單調(diào)遞增，()在(1??上單調(diào)遞減 . (II)證明：設(shè)點 P的坐標(biāo)為 0( ,0)x，則110 nxn??，20()f x n n? ??，曲線()y f x?在點 P處的切線方程為? ?00y f x x x???，即? ?00( ) ( )g x f x x x?，令( ) ) ( )F x f g x，即 ? ?00( ) ( ) ( )F x f x f x x x?? ? ?，則 0( ) ( ) ( )F f x f x? ? ? 由于1() nf x nx n?? ? ? ?在? ?0,??上單調(diào)遞減，故Fx?在? ?0,??上單調(diào)遞減，又因為 0( ) 0Fx? ?，所以當(dāng) 0(0, )xx?時， 0) 0Fx? ?，當(dāng) 0( , )xx? ??時， 0( ) 0? ?，所以()在0,x內(nèi)單調(diào)遞增，在 0( , )x ??內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實數(shù) x都有 0( ) ( ) 0F x F x??，即對任意的正實數(shù) x，都有( ) ( )f g x?. (III)證明：不妨設(shè) 12?，由 (II)知? ?? ?2 0()g x n n x x? ? ?，設(shè)方程gx a?的根為 2x?，可得 202 .ann? ???，當(dāng) 2n?時，()gx在? ?,????上單調(diào)遞減，又由 (II)知 2 2 2( ) ( ) ( ) ,g x f x a g x ?? ? ?可得 22xx??. 類似的，設(shè)曲線()y f x?在原點處的切線方程 為()y hx?，可得h nx?，當(dāng)(0, )x? ??， ( ) ( ) 0nf x h x x? ? ? ?，即對任意(0, )x? ??，( ( ).f x h x? 設(shè)方程()hx a?的根為 1x?，可得1 an??，因為()h x nx?在? ?,??上單調(diào)遞增，且 考點： ； ； 、證明不等式 . (Ⅰ ) 2( ) 2 2 ln , (1 ) 0f x x x fx? ? ? ?， 22239。( ) 2 , 39。(1 ) 2f x fxx? ? ? ? 則切線為： 2( 1)yx??，即 2 2 0xy? ? ? ； (Ⅱ ) 2222239。( ) p p x x pf x p x x x??? ? ? ?， 2 20px x p? ? ? ?即 22 1xp x? ? ，對 0x?? 恒成立， 設(shè)22( ) ( 0 )1xh x xx???， 2 2 22 2 2 22 2 4 2 239。( ) ( 1 ) ( 1 )x x xhx xx? ? ????? ()hx 在 (0,1) 上增， (1, )?? 減，則 max( ) (1) 1h x h?? (1) 1ph? ? ? ，即 [1, )p? ?? (Ⅲ ) 設(shè)函數(shù) 2( ) ( ) ( ) 2 l npex f x g x p x xx? ?? ? ? ? ? ， [1, ]xe? 則原問題 ? 在 [1,]e 上至少存在一點 0x ，使得 0( ) 0x? ? ? max( ) 0x? ? ． 2222 2 2 ( 2 )39。( ) p e p x x p exp x x x? ? ? ? ?? ? ? ? 2221 0 39。( ) 0xepx x? ??? ? ?，則 ()x? 在 [1, ]? 增， m a x( ) ( ) 4 0xe??? ? ? ?，舍； 20p? ， 12( ) ( ) 2 lnex p x xxx? ? ? ? ?， [1, ]xe? ， 120 , 0 , ln 0exxxx? ? ? ? ?，則 ( ) 0x? ? ，舍； 22( 1 ) 2 ( )3 0 39。( ) 0p x e xpx x? ? ? ?? ? ?， 則 ()x? 在 [1, ]xe? 增，m a x( ) ( ) 4 0px e p e e??? ? ? ? ?，整理得24 1ep e? ? 綜上，24( , )1ep e? ??? 解：（Ⅰ）當(dāng) 0a? 時， ? ? 2lnf x x x??，其定義域為 ? ?0,?? ， ? ? 1 20f x xx? ? ? ?，…… 2分 所以 ??fx在 ? ?1,e 上是增函數(shù)，當(dāng) 1x? 時， ? ? ? ?m in 11f x f??． 故函數(shù) ??fx在 ? ?1,e 上的最小值是 1．………………………………………… 3分 （Ⅱ）由題設(shè)條件，得 ? ? 21 2 2 122 x a xf x x axx ??? ? ? ? ?，設(shè) ? ? 22 2 1g x x ax? ? ?， 依題意，在區(qū)間 1,22??????上存在子區(qū)間使不等式 ? ? 0gx? 成立．…………………………………………5分 因為函數(shù) ? ? 22 2 1g x x ax? ? ?的圖象是開口向上的拋物線， 所以只需 ? ?20g ? 或 1 02g???????即可．…………………………………………… 6分 （Ⅲ）由（Ⅱ），可知 ? ? ? ?2 22 2 1 , 2 2 1x a xf x g x x a xx??? ? ? ? ?． （ⅰ）當(dāng) 0a? 時，在 ? ?0,?? 上 ? ? 0gx? 恒成立， 此時 ? ? 0fx? ? ，函數(shù) ??fx無極值點；……………………………………………… 10 分 （ⅱ）當(dāng) 0a? 時，若 24 8 0a?? ? ? ，即 02a?? 時， 在 ? ?0,?? 上 ? ? 0gx? 恒成立，此時 ? ? 0fx? ? ，函數(shù) ??fx無極值點； 若 24 8 0a? ? ? ? ，即 2a? 時，易知當(dāng) 2222a a a ax? ? ? ???時， ? ? 0gx? ，此時? ? 0fx? ? ； 當(dāng) 2 20 2aax ???? 或 2 22aax ??? 時， ? ? 0gx? ，此時 ? ? 0fx? ? ． 所以當(dāng) 2a? 時， 2 22aax ??? 是函數(shù) ??fx的極大值點， 2 22aax ??? 是函數(shù) ??fx的極小值點，……………………………………………………………………… 13分 綜上，當(dāng) 2a? 時，函數(shù) ??fx無極值點；當(dāng) 2a? 時， 2 22aax ??? 是函數(shù) ??fx的極大值點， 2 22aax ??? 是函數(shù) ??fx的極小值點．……………………………………… 14 分 解： （ Ⅰ ）當(dāng) 1a? 時， 1( ) lnf x x xx? ? ?，211( ) 1+f x = xx? ， (1) 1 1 ln1 0f ? ? ? ?， (1) 1+1 1 1f=? ? ， ∴ 曲線 )(xfy? 在點 (1 (1))f， 處的切線方程為 1yx??． ………… 4 分 （ Ⅱ ） ∵ 22211( ) (1 ) a x x + af x = a x x x? ? +， 要使函數(shù)