[理學(xué)]積分變換第8講-預(yù)覽頁
【正文】 簧一端 , 外力為 f(t), 物體自平衡位置 x=0處開始運(yùn)動 , 求運(yùn)動規(guī)律 x(t) 根據(jù)牛頓定律有 m x x x=0 kx f(t) mx39。1 工程數(shù)學(xué) 第 8講 2 拉氏變換的應(yīng)用 3 對一個系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究 , 首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 , 也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式 . 所謂線性系統(tǒng) , 在許多場合 , 它的數(shù)學(xué)模型可以用一個線性微分方程來描述 , 或者說是滿足疊加原理的一類系統(tǒng) . 這一類系統(tǒng)無論是在電路理論還是在自動控制理論的研究中 , 都占有很重要的地位 . 本節(jié)將應(yīng)用拉氏變換來解線性微分方程和建立線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的概念 . 4 微分方程的拉氏變換解法 象原函數(shù) (微分方程的解 ) 象函數(shù) 微分方程 象函數(shù)的 代數(shù)方程 取拉氏逆變換 取拉氏變換 解代數(shù) 方程 首先取拉氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程 , 解代數(shù)方程求出象函數(shù) , 再取逆變換得最后的解 . 如下圖所示 . 5 例 1 求方程 y39。3y=et 滿足初始條件 1,0 00 =?= == tt yy2( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 ( ) 2 ( 0 )13 ( )1s Y s s y y s Y s yYss? ? =? 的解 . 設(shè) L [y(t)]=Y(s). 對方程的兩邊取拉氏變換 , 并考慮到初始條件 , 則得 2 1( ) 1 2 ( ) 3 ( )1即 s Y s sY s Y ss ? =?6 由 11)(3)(21)(2?=? ssYssYsYs解出 Y(s) 2 12( 2 3 ) ( ) 111ss s Y sss?? = ? =??22()( 1 ) ( 2 3 )sYss s s?=? ? 2 12 4 1 22 3 032的 解 為s s s? ? ?? = = = ??7 即 Y(s)有三個單極點為 1,1,3 12( ) e3 6 1tyt ?=2 3 2 222()( 1 ) ( 2 3 ) 2 3 2 3ssYss s s s s s s s??==? ? ? ? ? B39。(0)=0 16 物體運(yùn)動的微分方程為 20 ,如 記km? = mx39。+a0y =bmx(m)+bm1x(m1)+...+b1x39。(0)+an1y(0)]sn2+ ...+[any(n1)(0)+...+a2y39。 在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中 , 令 s=j?, 則得 11 1 011 1 0( j ) ( j ) ( j )( j ) ( j ) ( j )mmmmnnnnb b b ba a a a? ? ?? ? ?? ? ? ?=? ? ? ? 可以證明 , 當(dāng)激勵是角頻率為 ω的虛指數(shù)函數(shù)(也稱為復(fù)正弦函數(shù) )x(t)=ejωt時 , 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是y(t)=G(jω)ejωt. 因此頻率響應(yīng)在工程技術(shù)中又稱為正弦傳遞函數(shù) . 41 例：如圖所示電路 , )()()(d d tetututRC CC =?R C e(t) uC(t) 若 e(t)為激勵 , 則響應(yīng) uC(t)與 e(t)滿足的微分方程式為 42 兩邊取拉氏變換 , ( 0 )1( ) ( )11所 以CCR C uU s E sR C s R C s=? ??)()()(dd tetututRC CC =? 并設(shè) L [uC(t)]=UC(s), L [e(t)]=E(s), 有 RC[sUC(s)uc(0)]+UC(s)=E(s) 由 定 義 可 知 ， 此 電 路 的 傳 遞 函 數(shù) 為11()11GsR CsR C sRC==? ???????43 從而可求得電路的脈沖響應(yīng)函數(shù)為傳遞函數(shù)的拉氏逆變換 1 1( ) [ ( ) ] eLtRCg t G sRC==???????=?=RCsRCR C ssG1111)(( ) ,在 傳 遞 函 數(shù) 中 ， 令 可 得 頻 率 響 應(yīng) 為G s s j ?=1( j )j1GRC??=?44 作業(yè) 習(xí)題五 第 135頁 第 1題 第 (2)小題 第 2題 第 (1)小題 45 請?zhí)釂?
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