定積分的應(yīng)用畢業(yè)論-預(yù)覽頁
【正文】 指導(dǎo)教師： 熱米拉 首先我們介紹以下定積分這個概念。 微元法 以曲邊梯形面積為列，如圖曲邊梯形 1 選取一個變量為積分變量，并確定其變化區(qū)間 ? ?,ab 在區(qū)間上任取一個小區(qū)間 并記為 ? ?,x x x?? 。 例 ? ?si n , 0 0xy e x y x?? ? ?所圍成平面圖形的面積。 例 2．求由叁數(shù)方程所圍成圖形的面積 ? ?2 c os c os 2x a t t??， ? ?2 si n si n 2y a t t?? 分析：對參數(shù)方程所圍圖形，與直角坐標(biāo)圖形相似 ，必須討論其所給曲線的幾何特征，爾后確定積分變量被積函數(shù)及積分區(qū)間。 面積微元為 ? ?212dA a d??? 于是所求面積為 ? ?2 20 12A a d? ??? ? 232023a ???? 2343a?? 2. 應(yīng)用定積分 求旋轉(zhuǎn)體的體積 平行截面積已知的立體體積 . 設(shè)有一立體價于過點 ? ?,x a x b a b? ? ?圓垂直于 軸的兩平面之間如圖所示，求此立體的體積 . 如圖價于 x 與 x dx? 之間的薄片的體積 圖 15 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 9 圖 21 近似等于地面面積為 ??Ax 高為 dx 的扁柱體的體積，即體積微元為 ? ?dV A x dx? 于是所求的體積為 ? ?baV A x dx?? 即對截面積 ??Ax從 a 到 b 求積分。 ? ?00r ? ， 02r ???????? 4??? 時， r 取最大值 2a 。 重心 如果平面上有 n 個質(zhì)點，它們的質(zhì)量分別為 位置分別為 那未這一組點的重心的坐標(biāo)，可用下列公式求出： 1 1 2 2 1 1 1121niin n n n inn iixmx m x m x m x mx m m mm? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ???﹙ 1﹚ 1 1 2 2 1 1 1121niin n n n inn iiymy m y m y m y my m m mm? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ???﹙ 2﹚ 我們已經(jīng)知道了求平面薄板的重心坐標(biāo)公式 1?? 但是用這個公式求出重心沒那么容易， 我們解決的是求和問題， 可能腦子里出現(xiàn)是否用定積分來計算，我們進(jìn)一步討論以下： 設(shè)具有質(zhì)量的平面薄板是由曲線 ? ?y f x? ，直線 ,x a x b??和 x 軸所圍成的曲邊梯形，又設(shè)此平面薄板的面密度為常數(shù) u 設(shè)把區(qū)間 ? ?,ab 分成 n 個小區(qū)間， 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 14 則整個平面被分成 n 個小窄條取其中 x 處寬為 dx 的小狹條 ,這個窄條的質(zhì)量 dm可近似地看作均勻分布在線段 ,pp? 上而在該線段均勻分布的質(zhì)量又可以看作集中于 ,pp? 的中點 iG 處 ,于是這個窄條可以用質(zhì)量為 dm 的質(zhì)點 iG 來近似地代替 ,而整個圖形就用 個質(zhì)因小條的質(zhì)量 ? ? ,m dm uf x dx dm? ? ? 稱質(zhì)量微元 ,而點iG 的橫坐標(biāo)是 x ,縱坐標(biāo)是 ? ?12fx 故質(zhì)點 iG 對 y 軸及 軸的靜力矩是 ? ? ? ? ? ?211, 2 2 2yx ym x d m u x f x d x m d m u y f x d x u f x d x? ? ? ? ? 則平面薄板對 y 軸及 x 軸的靜力矩為 ? ?22 bx auM f x dx? ? ? ? ,by aM u xf x dx? ?又這整個平面薄板的總質(zhì)量 M 等于密度 u 與 面積 s 的乘積，而面積 ? ?bas f x dx??，故得整個平面薄板的中心為 ? ?? ?? ?? ?212,bbay axbbaaf x dxx f x dxM MxyMMf x dx f x dx? ? ? ????? 如平面圖形是及直線所謂成，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)則同理可得此平面圖形的中心為a x x dx? x pQ Q 0 y p? Q? iG 圖 31 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 15 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2212,bbaabbaaf x g x dxx f x g x dxxyf x g x dx f x g x dx?????? ????????? ? ? ?? ? ? ????? 變力做功 下面我們討論一下變力做功 設(shè)某物體在力 F 的作用下沿著 x 軸運動力 F 平行于 x 軸并在 x 軸上不同的點處取不同的值，即力 F 是 x 的函數(shù) ? ?F F x? . 我們要求物體在這個變力的作用下，由 x 軸上的一點 a 移動到另一點 b 時變力所做的功 W （圖 32）由力學(xué)知，物體受恒力產(chǎn)生位移，所做的功為功 =力 ? 距離（等速）故當(dāng)物體由ix 移動到 ixx?? 時，所做的功近似地為? ?W F x dx dW? ? ?（為功微元）在 ? ?.ab 上所做的功就是 ? ?baW F x dx?? 電學(xué)上的應(yīng)用 我們學(xué)過電流在單位時間所做的功稱為電流的功率 P ，即 WP t? ，由于交流電流 i 隨時間 t 在不斷變化，因而所求的功 W 是一個非均勻分布的量，我們必須用定積分來計算。 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 18 參考文獻(xiàn) [1] [2] 高等數(shù)學(xué) 第一冊：物理類 /文麗，吳良大編 北京：北京大學(xué)出版社， 重印 ISBN7301007000,471 頁～ 480 頁， 494～ 495. 504～ 510. [3] 數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué) .上冊 /《大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書》編寫組編；北京：中國水利水電出版
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