數(shù)值分析第四章數(shù)值積分-預(yù)覽頁
【正文】 算一個節(jié)點上的函數(shù)值，因此一般常用偶數(shù)階 Cotes公式。 2 NewtonCotes 公式 ? ? () 00( ) ( )nbnkakf x d x b a C f x k h?? ? ??? Newton—Cotes formula 167。 f(x) a b f(a) f(b) 梯形公式 /* trapezoidal rule*/ 解： 逐次檢查公式是否精確成立 代入 P0 = 1： ? ??ba abdx1]11[2 ?? ab= 代入 P1 = x ： = 代入 P2 = x2 ： ? 222 abba dxx??? ][2 baab ??32 33 abba dxx??? ][ 222 baab ??代數(shù)精度 = 1 167。 1 插值型求積 公式 思路 利用 插值多項式 則積分易算。 即對應(yīng)的誤差滿足：R[ Pk ]=0 對 任意 k ? m 階 的多項式成立 ， 且 R[ Pm+1 ] ? 0 對 某個 m+1 階多項式成立 ， 則稱此求積公式的 代數(shù)精度 為 m 。 ? 以上三種方法都是用被積函數(shù)值的 線性組合 來表示積分值 。 1 引言 ? 對 f(?)采用不同的近似計算方法，從而得到各種不同的求積公式。總之，要解決三個問題： 1. 精確度的度量標準； 2. 如何構(gòu)造具體的求積公式； 3. 具體求積公式構(gòu)造出來后，誤差如何估計？ 定義： 代數(shù)精度 若某個求積公式對次數(shù) ? m 階 的多項式準確成立 ， 而對m+1 階 的多項式不一定準確成立 。 2. 若 xk和 Ak都可選擇，令 m=2n +1，確定 xk和法 Ak Gauss法 要使求積公式具有 m階代數(shù)精度，則它對 1,x,…, xm均準確成立，即 ? ?? ?02201101211nkknkkknm m mkkkA b aA x b aA x b am??????????????????????????m+1個方程，2n+2個未知數(shù) 問題 2 Case 1方法 1 167。 1 NewtonCotes Formulae 例： 對于 [a, b]上 1次插值，有 )()()(1 bfafxL ab axba bx ???? ??)]()([)( 2221 bfafdxxfAA abbaab ???? ?? ?考察其代數(shù)精度。 ? 167。 因 f(n+1)(x)=(n+1)!, 由余項公式得 Th2. n為偶數(shù)時 ， NC公式至少具有 n+1階代數(shù)精度。 ? 復(fù)合梯形公式： ),...,0(, nkhkaxnabhk ?????在每個 上用梯形公式： ],[ 1 kk xx ?nkxfxfxxdxxf kkxx kkkk,...,1,)]()([2)( 111???? ?????????? ??? ???11)()(2)(2nkk bfxfafh? ??? ??bankkk xfxfhdxxf11 )]()([2)(= Tn ),(),()(12)()(12)](12[][21213bafabhnfabhfhfRnkknkk????????????????? ??????/*中值定理 */ 167。 2 Composite Quadrature 事后誤差估計式，可用來判斷迭代 是否停止。 3 Romberg Integration ? 理查德森 外推法 /* Richardson’s extrapolation */ 利用 低 階公式產(chǎn)生 高 精度的結(jié)果。 例： 求 的 2 點 Gauss 公式。 這樣的節(jié)點稱為 Gauss 點 ，公式稱為 Gauss 型求積公式 。 ????nkkxxxw0)()(定理 求 Gauss 點 ? 求 w(x) 167。 4 Gaussian Quadrature Step 2： 求 ?2 = 0 的 2 個根，即為 Gauss 點 x0 ， x1 221/20)9/10(9/10 21。 4 Gaussian Quadrature ? 特殊正交多項式族： ① Legendre 多項式族： 1 ) ( ? x ? 定義在 [?1, 1]上， kkkkk xdxdkxP )1(!21)( 2 ?? 滿足： ??????? lklkPPklk1220),(xPP ?? 10 ,1由 有遞推 11 )12()1( ?? ???? kkk kPxPkPk以 Pn+1 的根為節(jié)點的求積公式稱為 GaussLegendre 公式 。 其它公式見教材 167。 二次插值 f(xn) 8. HW: 712
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