【正文】 總體均值的區(qū)間估計 ? 一、區(qū)間估計的基本原理 大數(shù)定律 ? 大數(shù)定律主要是說明：當(dāng) n足夠大時，獨立同分布的隨機變量的算術(shù)平均數(shù)趨近于數(shù)學(xué)期望；事件發(fā)生的頻率接近于其發(fā)生的概率。 ? （ 1） 總體方差 σ 2已知時 ? 由于 ，所以對于給定的置信度 1α ，有 ? 即 ? 可見，極限誤差的計算公式為 ? 則總體均值的置信區(qū)間為 22{ } 1/xP z zn?? ? ?? ?? ? ? ? ?(0 , 1 )/xzN n?? ????? ? ???????? ?? 12/ nzxPxx znz ???? 2/2/ ???),( xx xx ????31 例：從某大學(xué)學(xué)生中隨機抽取 100名調(diào)查體重情況。 ? 解：已知 =58， σ=10， zα/2=， n=100 ? =10/10=1（ 千克 ） ? = 1=（ 千克 ） ? ? 置信下限為 =， ? 置信上限為 58+= ? 故所求置信區(qū)間為（ ， ）千克。 每包重量（克） 包數(shù) x xf 148—— 149 149—— 150 150—— 151 151—— 152 10 20 50 20 1485 2990 7525 3030 2 合計 100 —— 15030 76 fxx 2)( ?35 解： ? 在 %的概率保證下， ? =2 =(g) ? 則總體平均數(shù)置信區(qū)間為 ? 即（ ,)之間 ? 說明該批茶葉達到要求。 ? （ 1）總體方差 σ 2已知時 ? 總體均值的置信區(qū)間為 ? （ 2）總體方差 σ 2未知時 ? 總體均值的置信區(qū)間為 （ ， ） ),( 2/2/ nzxnzx ?? ?? ??nstx2/?? nstx2/??37 例：某保險公司投保人年齡設(shè)某保險公司投保人年齡呈正態(tài)分布，現(xiàn)從中抽取 10人，其年齡分別為： 32， 50， 40， 24， 33， 44， 45，48， 44， 47歲。 ? 對于給定置信度，有 ? 總體比例的置信區(qū)間為 ? 小樣本條件下，不作介紹。當(dāng)概率保證程度為 %時，可否認為該批產(chǎn)品的廢品率不超過 5%？ 一電視節(jié)目主持人想了解觀眾對電視節(jié)目的喜歡情況，他選取 500名觀眾作樣本，結(jié)果說喜歡該節(jié)目的 175人。 42 25戶家庭用戶電力消費量，結(jié)果如下。現(xiàn)要求誤差不超過 1%，把握程度為 95%，問需要抽選多少件產(chǎn)品？ ? 解： ? 例：要調(diào)查某校大學(xué)生英語四級考試成績，假設(shè)根據(jù)歷史資料該校學(xué)生平均成績的標(biāo)準(zhǔn)差為 20分，及格率為 65%。 ? （ 2） 總體方差 σ 2。 ? （ 4） 抽樣方法 。當(dāng)概率為 %時，需要有多少不重復(fù)抽樣單位？ (371) ? 對某型號電池進行電流強度檢查，根據(jù)以往正常生產(chǎn)經(jīng)驗，電流強度的標(biāo)準(zhǔn)差為 0。試以 %的概率推斷成品庫中該種藥平均每瓶數(shù)量的置信區(qū)間。某地區(qū)成年男子平均身高 170厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為 2厘米。 ? 某公司推出一種營養(yǎng)型豆奶，為了做好促銷工作，隨機地選取顧客詢問喜歡此豆奶情況。 50 ? 根據(jù)高教廳統(tǒng)計，某地區(qū)有 17%的大學(xué)生申請免息教育貸款。 ? （ 3）當(dāng)把握程度由 %提高到 99%時，允許誤差如何變動？ ? 1某職業(yè)研究所隨機抽取 100名 IT行業(yè)人員了解本地人員薪金，樣本均值為 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1685元，試分別求 IT行業(yè)人員年薪的總體均值的 90%、95%和 99%的置信區(qū)間。即 ? NnNnNn ???221152 分層抽樣的抽樣平均誤差 重置抽樣下 ， 不重置抽樣下， 對于 等比例 分層抽樣 ，其分布特征如下： 樣本平均數(shù) 總體層內(nèi)方差平均數(shù) 抽樣平均誤差 （重復(fù)抽樣） （不重復(fù)抽樣） ???ki iiix nNN1221 ??)1(1122iiki iiix NnnNN ?? ????nxnxkiii??? 1nnkiiii??? 122??nix2?? ? )1(2Nnnix ????53 ? 總體方差未知時 ? 樣本層內(nèi)方差平均數(shù) ? 抽樣平均誤差計算公式為 ? （重復(fù)抽樣） (不重復(fù)抽樣） nsnskiiii??? 122ns ix2?? )1(2Nnns ix ??? 對于分層抽樣，若總體各層為正態(tài)分布或為大樣本非正態(tài)分布，則各子樣本平均數(shù)、樣本平均數(shù)均服從或近似服從正態(tài)分布。 ? 由于總體方差是唯一確定的數(shù)值，因此分層抽樣時可以擴大層間方差，縮小層內(nèi)方差，使抽樣誤差減小。試分別計算類型抽樣和簡單隨機抽樣的誤差，并加以比較。 區(qū)域 抽取單位 標(biāo)志平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 甲 乙 600 300 32 36 20 30 61 二、等距抽樣 (Systematic sampling) ? 如果對總體的差異程度不了解，可以 按無關(guān)標(biāo)志排隊 。因此，一般可以采用不重復(fù)分層抽樣的誤差公式來近似計算。 這種取樣方法 ， 使所抽取的各單位最能代表每部分的一般水平 ，從而提高樣本的代表性 ， 其不足之處是只能取一個樣本 。 這種取樣方法 ， 既遵循隨機原則 ， 又能取到較有代表性的樣本 ， 并且可以抽取 k個樣本 ?，F(xiàn)從總體 R群中隨機抽取 r群，并分別對中選群的所有 M個單位進行調(diào)查。分層抽樣分組的作用是盡量縮小組內(nèi)的差異，整群抽樣分組的目的是盡量擴大群內(nèi)的差異，它們的共同目的都是提高抽樣效果。 0 3 9 8 )1720 36720(36 )1(2??????? R rRr pp ??2p?pp z ?? 2/??67 練習(xí)： 某工廠對 1000箱入庫產(chǎn)品進行檢驗，采取整群抽樣方法抽取 100箱。 （ 3）如果上述資料是按重復(fù)抽樣方法取得，平均誤差怎樣計算？等于多少？ 廢品率（ %） 裝箱數(shù)（箱） 1—— 2 2—— 3 3—— 4 60 30 10 68 某化肥廠連續(xù)生產(chǎn)，平均 每分鐘加工 100袋大米。 樣本群序號 樣本群平均袋重（ kg） 一等包裝袋比重（ %） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 48 50 51 52 49 48 49 47 49 52 65 70 72 73 71 72 70 68 69 70 69 抽樣方式的選擇 ? 以上幾種常用的抽樣方法 ， 各有不同的特點 ， 適用于不同的場合