【正文】 南京郵電大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） ABSTRACT This design arms to study high dimensional Nash equilibrium and its applization in economic system. Nash equilibrium searchs to the optimital strategies of high is a noncoopertative static game state. When the players are playing games in many aspects or areas,each player not only have to be agreed by other players ,but also search for the optimital fact, there are many examples in many aspects or areas for game at the same time, so this kind of game is called high dimentional game. The most important content in this paper is to extend twodimensional game to high dimentional version. This article is arranged as follows: In the firsr two chapters, I introduce some necessary backgrounds of game theory and present Nash equilibrium and cooresponding exsistence results。博弈論主要研究公式化了的激勵結(jié)構(gòu)間的相互作用。生物學(xué)家使用博弈理論來理解 和預(yù)測進(jìn)化論的某些結(jié)果。其次，博弈中的各個主題之間總不可避免地存在著競爭。 博弈論分類 局中人 在一場競賽或博弈中，每一個有決策權(quán)的參與者成為 一個局中人 ,或稱為參與人、參與者 。 分為完全信息與非完全信息，完全信息即是指每個參與者對自己以及其他參與者的行動，以及各參與者選擇的行動組合產(chǎn)生的收益等知識有完全的了解。效用通常表現(xiàn)為博弈結(jié)果中的輸贏、得失、盈虧。 靜態(tài)博弈：如果局中人同時選擇各自的行動，則這列博弈稱為靜態(tài)的。后行動者就依據(jù)所獲得的信息，采取自己認(rèn)為最有利的戰(zhàn)略。其研究成果見于 題為《非合作博弈》（ 1950）的博士論文。 這個 概念后來被稱為納什均衡。即在給定別人策略的情況下，沒有人有足夠理由打破這種均衡。如果另一個犯罪嫌疑人也作了坦白，則兩人各被判刑 8年；如果另 一個犯罪嫌人沒有坦白而是抵賴，則以妨礙公務(wù)罪（因已有證據(jù)表明其有罪）再加刑 2年，而坦白者有功被減刑 8年，立即釋放。但是由于兩人處于隔離的情況，首先應(yīng)該是從心理學(xué)的角度來看，當(dāng)事雙方都會懷疑對方會出賣自己 以求自保、其次才是亞當(dāng) 兩個人都會動這樣的腦筋，最終，兩個人都選擇了坦白，結(jié)果都被判 8年刑期。但是我們可以從 “ 納什均衡 ” 中引出 “ 看不見的手 ” 原理的一個悖論 :從利己目的出發(fā) ,結(jié)果損人不利己 ,既不利己也不利他。 納什均衡的重要影響可以概括為以下六個方面 （ 1）改變了經(jīng)濟(jì)學(xué)的體系和結(jié)構(gòu)。納什均衡及相關(guān)模型分析方法，包括擴(kuò)展型博弈法、逆推歸納法、子博弈完美納什均衡等概念方法，為經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提供了深入的分析工具。即可以將各種問題或經(jīng)濟(jì)關(guān)系 ，按照經(jīng)典博弈的類型或特征進(jìn)行分類，并根據(jù)相應(yīng)的經(jīng)典博弈的分析方法和模型進(jìn)行 研究，將一個領(lǐng)域所取得的經(jīng)驗方便地移植到另一個領(lǐng)域。納什均衡和博弈論的橋梁作用，使經(jīng)濟(jì)學(xué)與其他社會科學(xué)、自然科學(xué)的聯(lián)系更加緊密，形成了經(jīng)濟(jì)學(xué)與 其他學(xué)科相互促進(jìn)的良性循環(huán)。博弈論這種工具使得經(jīng)濟(jì)學(xué)逐步從一種抽象的純粹理論形態(tài)向著可操作的應(yīng)用形態(tài)的轉(zhuǎn)變開始變得可能。231。231。231。231。 247。 247。也稱 “ 贏得矩陣 ” ，是指從支付表中抽象出來由損益值組成的矩陣。 在這種對策里，局中人 1 希望支付值 ija 越大越好，局中人 2 則希望付出的 ija 越小越好 .因此，矩陣對策完全是對抗性的。 首先，一個矩陣對策如果有鞍點，則可能不只一個。 247。 247。 247。桫 較容易得到，該矩陣對策的鞍點為 31a ， 32a 和 33a 。231。231。231。247。鑒于這種情況，我們引入混合戰(zhàn)略。 對完全信息靜態(tài)博弈來說，一個參與者的純戰(zhàn)略是他可以選擇的一種特定的行動。我們用 ( )12, ,...,i i i iKp p p p= 表示基于戰(zhàn)略空間 iS的任意一個混合戰(zhàn)略，正如之前用 is 表示 iS 中任意一個純戰(zhàn)略。 局中人 2 的一個混合策略是一組數(shù) 0iy179。因此，局中人 1 選擇策略 i ，局中人 2 選擇策略j ，并且支付為 ija 的概率是 ijxy ，每一個支付相應(yīng)的概率乘以 ijxy ，對所有的 i 和所有的 j求和，我們就得到局中人 1 的期望支付 11mnij i jija x y==邋 式 (28) 南京郵電大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 8 局中人 1 希望這個期望支付越大越好，局中人 2 則相反，希望它越小越好，設(shè) mS 是滿足 0ix179。 ==邋 式 (29) 這里 mS 是滿足 0iy179。 使 式 ()為最大，即它可以保證自己能得到的期望支付不小于 11m a x m innmmnij i jYSXS ij a x y206。 ==邋和11m in m a xn mmnij i jYS XS ij a x y206。 ()中二式顯然存在。 和一切 nYS206。 因而 南京郵電大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 m in m a x 39。 式 (213) 同理，有 式 ()右邊的不等式有 * * m in * m a x m in *mm nttY S Y SXSX A Y X A Y X A Y撾 206。設(shè) 式 ()中二式相等，并設(shè) m a x m in m in *mmnttY S Y SXS X A Y X A Y撾206。nYS X A Y X A Y206。 式 (220) 由假設(shè)， 式 ()和 式 ()兩式的左邊相等，因為 式 ()， 式 (218)， 式 (219)， 式 (220)四式 中的各項都 相等 ，特別是 m a x * * *mttYS X A Y X A Y206。 有 * * *ttX A Y X A Y163。 x 和 y 稱為局中人 1 和 2 的純策略。 對于局中人 1 選定的一個固定的 [ ]0,1x206。 同矩陣對策的情況一樣，下面的不等式必定成立： 南京郵電大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 ( ) ( )0 1 0 10 1 0 1m a x m in , m in m a x ,yyxxP x y P x y＃＃＃＃163。 定理 ：設(shè)無限對策的支付函數(shù) ( , )Pxy 是定義在 0 1, 0 1xy＃＃ 上的連續(xù)函數(shù)，則 ( ) ( ) ( )111 00m a x m in ,GFv P x y d F x d G y= 蝌 和 ( ) ( ) ( )112 00m in m a x ,G Fv P x y d F x d G y= 蝌 存在且相等。 納什的非合作博弈論是給經(jīng)濟(jì)分析的一個抽象的數(shù)學(xué)框架 ,它不是經(jīng)濟(jì)分析本身。價格理論分析的力量 使經(jīng)濟(jì)學(xué)家成為實際政策制定方面非常有價值的指導(dǎo)者，其他任何社會科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的學(xué)者都不能望其項背。零和的意義就是說，雙方的利害關(guān)系是對抗性的 ： 有利于一個局中人，必然不利于另一個局中人。所謂非合作對策，顧名思義，就是局中人之間互不合作，對于策略的選擇不容許在事先有任何交換、傳遞信息的行為，不許可訂立任何強(qiáng)制性的約定。 多維博弈及特征 多維博弈 當(dāng)局中人在多個方面 或多個領(lǐng)域內(nèi)同時進(jìn)行博弈，且博弈的各個方面或領(lǐng)域之間可能南京郵電大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 存在著一定的相互聯(lián)系和影響。 維行動向量( )12, ,...,i i ims s s ( )1,2,...,in= ，下標(biāo) i 表示第 i 個局中人， m 表示博弈領(lǐng)域數(shù)，也是參與人選擇的行動向量的位數(shù)； n 表示局中人數(shù) ； ijs 和 iks ( )jk185。如果用 is 表示除第 i 個局中人的其他所有局中人的戰(zhàn)略組合 ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 1 1 , 1 1 , 2 1 , 1 , 1 1 , 2 1 , 1 2, , . . . , , . . . , , , . . . , , , , . . . , , . . . , , , . . . ,m i i i m i i i m n n n ms s s s s s s s s s s s + + + 那么第 i 個局中人的的最優(yōu) 戰(zhàn)略 南京郵電大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 ( )12* , ,..., *i i ims s s s= 滿足 ( ) ( )* , ,i i i iU s s U s s179。這是因為，從形式邏輯角度看，如果某個事物并不存在，那么關(guān)于這個杜撰中的事物所給出的任何陳述或判斷都可認(rèn)為是正確的或錯誤的，因為 對于不存在的事物來說，任何關(guān)于它的陳述或判斷都不可能加以證偽。所以，我們在對任何新提出來的數(shù)學(xué)概念加以系統(tǒng)研究之前，首先需要弄清楚所研究的對象事物是否存在。從純理論的興趣上看，數(shù)學(xué)家們更多地是從審美的角度上看待概念的唯一性，但從波普爾的證偽主義哲學(xué)看，模型均衡解的唯一性關(guān)系到模型的預(yù)測功能，從而是科學(xué)理論應(yīng)基本具有的特征。 博弈論目前發(fā)展的情況是這樣的：已經(jīng)證明在非常一般的情況下，納什均衡是存在的，這是一個好的結(jié)果；但是，在許多情形，模型的納什均衡解不是唯一的，這被稱為納什均衡的多重性問題。為了攻克這一問題，博弈論專家已經(jīng)做出了許多貢獻(xiàn)，如聚點均衡、相關(guān)均衡，子博弈精煉納什均衡，顫抖手均衡，序貫均衡等概念的提出。這里，我們介紹 Myerson 給出的存在性定理和證明。 ，稱點 xX206。 是通常的映射，則有 ( )xxj206。 是連續(xù)的，則映射 f 有不動點，即存在 xX206。令 ( ) ( )f x y x x=+則有 ( )f x x= 所以，一般地，方程求解的問題本質(zhì)上是尋找變換的不動點問題。 南京郵電大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 圖 [0,1]區(qū)間上的自變換函數(shù)的不動點 Kakutani 定理 定義 ：設(shè)向量 ( )1 ,..., rnv v R r n危 ，且 12, ,..., rv v v 是線性無 關(guān)的，則 12, ,..., rv v v 生成的凸包 S 被稱為 1r 維單純形，并記 1,..., rS v v= 。稱 12, ,..., rv v v 是 S 的頂點，稱點集 S 。 ，則 ( )121 , , ...,r iinixea a a a===229。 。 是單純形，集值映射 :2SSj 174。 證明：對單純形 S 作一系列細(xì)剖分： 12, ,...,DD 并要求剖分的胞腔直徑趨于零。 作為 mj 在作為 x 點的值，即 ( )m xyj = 。，則 ( ) ( )1nm m iiixxj a j== 229。 是連續(xù)映射，由 Brouwer 不動點定理，存在 mxS206。，由于 S 是凸緊集， j 取值也是凸緊集，一句 Weierstras聚點原理，可選子序列 {}k rm 不妨就設(shè) kmm= ，使得 南京郵電大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 18 , , , 1 , 2 , . . . ,m m i im i ix x a y y i na 當(dāng) m 時，剖分加細(xì)，因此， mx 所在的胞腔的頂點都收縮到 x ，即 mivx174。，而且 ()xj 是凸集，故必有 ( )xxj206。 Kakutani 定理的一般形式如下： 定 理 ：設(shè) nXR208。 。 ，但 xS206。 不難驗證， T 是連續(xù)映射，再定義集值映射： :2SSy 174。 ， 0nyy174。 ，根據(jù) T 的定義，有 ( )T