高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題一題多解(一)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)一題多解---23題59解-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 成立，設(shè)在遞增 ，當(dāng)x=1時(shí)，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，故 a—3．解法二：(分類討論法)當(dāng)a的值恒為正,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)為增函數(shù)．故當(dāng)x=1時(shí)，于是當(dāng)且僅當(dāng)3+a0時(shí)恒成立, 故 a—3．解法三： (分離參數(shù)法)在區(qū)間上恒成立恒成立恒成立，故a應(yīng)大于時(shí)的最大值—3， 當(dāng)x=1時(shí)，取得最大值 —3 . .第8題 一道絕對(duì)值不等式證明題的2種解法 證明： 對(duì)任意實(shí)數(shù)，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于。本文檔一共給出了23道數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)題目，每道題目至少2種解法，一共有59個(gè)解法。綜上第7題 一道分式不等式恒成立題的3種解法已知函數(shù)若對(duì)任意恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 當(dāng)時(shí)， 的最小值為解法二 （不等式法） 即 即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。解法五：（構(gòu)造等差數(shù)列）由，寫成，可知成等差數(shù)列。令 解題反思：上述六種解法一個(gè)共同特點(diǎn)，都是從函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，或變更形式，或巧妙換元，或數(shù)形結(jié)合，或構(gòu)造向量，都是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的有效應(yīng)用，但對(duì)六種方法作一對(duì)比，不難看出，方法一最為簡(jiǎn)單，究其原因，仍是平方后的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)所致，因此，函數(shù)結(jié)構(gòu)特征決定求解方法。（Ⅰ）求，的值（Ⅱ）若≥－2時(shí)，≤，求的取值范圍．解：（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分（Ⅱ）解法一：（按部就班分類討論法）由（Ⅰ）知，設(shè)函數(shù)==（），==，有題設(shè)可得≥0，即，令=0得，=，=－2，（1） 若，則－2＜≤0，∴當(dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值， 而==≥0，∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立，(2)若，則=，∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0，∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立，(3)若，則==＜0，∴當(dāng)≥－2時(shí)，≤不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為[1,].解法二：特值法先壓縮參數(shù)范圍，可以大大減少討論步驟，但是這是一個(gè)特殊方法，不被重視。第15題 一道任意存在問(wèn)題的2種解法已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性。第21題 一道二次不等式問(wèn)題的2種解法二次函數(shù)滿足且的最大值為，解不等式.我們先來(lái)看參考答案的解法：設(shè)由得∴由得即∴不等式的解集為仔細(xì)想想，命題者給了我們?nèi)齻€(gè)式子，這三個(gè)式子中右邊都是這說(shuō)明命題人對(duì)于解題的思路一定是由所設(shè)計(jì)的，不是象參考答案中的解題人給出的解法那樣按部就班的解出二次函數(shù)解析式的一般形式，一定有一個(gè)更加合理簡(jiǎn)捷的解法，仔細(xì)思考，我們可以這樣認(rèn)為，命題人在設(shè)計(jì)這個(gè)題目時(shí)可能考慮了圖形，于是我們作出的圖象（圖1）：利用這個(gè)函數(shù)圖象，不寫一個(gè)式子就可以直接寫出答案但是，也許有人認(rèn)為，這種解法僅僅用了一個(gè)圖形，不是缺少步驟嗎？事實(shí)上，我們只要回顧一下一元二次不等式的解法，實(shí)際上就是結(jié)合二次函數(shù)圖象直接寫出解集的，也是很容易辦到的： 由題意可以設(shè)于是就是 ，也就是∴不等式的解集為第22題 一道二次不等式整數(shù)解問(wèn)題的2種解法關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.先看某市編資料中參考答案的解法：易知，原不等式化為：則有∴，即，由知，所以解得.一個(gè)小小的填空題，會(huì)有這么大的計(jì)算量嗎？帶著這樣一個(gè)疑問(wèn)，我們就自然開(kāi)始了探究命題者的命題意圖，尋求著題目的簡(jiǎn)單解法：在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖象可知當(dāng)，且時(shí)，不等式僅有三個(gè)整數(shù)解由，且得，且，解之得.顯然這才是命題者把這個(gè)題目作為一個(gè)小小的填空題的解法.俗話說(shuō)，殺雞何用宰牛刀，許多題目，我們往往用的解法不是命題者當(dāng)初的設(shè)計(jì)的最好解法，沒(méi)有把握命題的意圖，正因?yàn)槿绱耍玫慕夥@得笨拙，花時(shí)間增多，以至于考試兩個(gè)小時(shí)的時(shí)間不夠用.第23題 由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的2個(gè)解法若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 思路點(diǎn)撥: 先求出導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解. 解法一 分離參數(shù) 由在上單調(diào)遞減知，即在上恒成立, , 故. 綜上可知，的取值范圍是［3,+∞). 解法二 分類討論 當(dāng)時(shí)，,故在上單調(diào)遞增，與在 上單調(diào)遞減不符，舍去. 當(dāng)時(shí)，由得≤x≤0，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，與 在上單調(diào)遞減不符，舍去. 當(dāng)時(shí)，由得0≤x≤，即的減區(qū)間為，由在 上單調(diào)遞減得,得a≥3. 綜上可知，的取值范圍是［3,+∞).32
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