【正文】 放縮 如圖 ,取函數(shù)xxf 1)( ?, 首先 : ???ninABCF xS1 ,從而 , )ln(ln|ln11 innxxin n innin ?????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(ln1 ??? nnn, 所以有 2ln21?, 2ln3ln31 ??,…, )1ln(ln1 ??? nnn, nnn ln)1ln(11 ????,相加后可以得到 : )1ln(113121 ?????? nn? 另一方面 ???ninABDE xS1 ,從而有 )ln(ln|ln11 innxxiin n innin ??????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(ln11 ???? nnn, 所以有nn 1211)1ln( ????? ?,所以綜上有nnn 1211)1ln(113121 ?????????? ?? 例 : en ?????? )!11()!311)(!211( ?和 en ?????? )311()8111)(911( 2?. 解析 :構(gòu)造函數(shù)后即可證明 例 : 32)]1(1[)321()211( ??????????? nenn? 解析 :1)1( 32]1)1(ln[ ?????? nnnn,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式 : )0(13)1ln(1)0(132)1ln( ??????????? xxx xxxx(加強命題 ) 例 : )1*,(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln ????????? nNnnnn n? 解析 :構(gòu)造函數(shù) )1(1)1()1ln ()( ?????? xxxxf ,求導 ,可以得到 : 12111)(39。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種： 以下的所有放縮 法中裂項相消 法 、均值不等式 法放縮 、二項分布法 放縮 以及函數(shù)放縮法最常用必須掌握，所以要先看這些方法。 證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。 一、 裂項放縮 例 1.(1)求 ?? ?nk k1 2 142 的值 。 ?xf 有 2?x , 所以 0)2()( ?? fxf ,所以 2)1ln( ??? xx ,令 12??nx 有 , 1ln 22 ??nn 所以211ln ??? nnn,所以 )1*,(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln ????????? nNnnnn n? 例 14. 已知11 2 111, (1 ) .2nnna a ann?? ? ? ??證明 2nae? . 解析 : nnnnn annanna )21)1( 11(21))1( 11(1 ?????????, 然后兩邊取自然對數(shù) ,可以得到nnn anna ln)21)1( 11ln(ln 1 ?????? 然后運用 xx ?? )1ln( 和裂項可以得到答案 ) 放縮思路： ?????? nnn anna )2111( 21 ??????? nnn anna ln)2111ln(ln 21 FE DCBAn i nyxO nn nna 211ln 2 ????。2 ??? x xfxxfxg,所以函數(shù) ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) (II)因為 ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) ,所以 )()()()(2121 1121 211 1 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? )()()()( 2121 2221 212 2 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? 兩式相加后可以得到 )()()( 2121 xxfxfxf ??? (3) )()()()(2121 1121 211 1 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? )()()()( 2121 2221 212 2 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ?…… )()()()( 212121 21 nnnnn nn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? 相加后可以得到 : )()()()( 2121 nn xxxfxfxfxf ??????? ?? 所以 )l n ()(lnlnlnln 2121332211 nnnn xxxxxxxxxxxxxx ??????????? ??? 令2)1( 1nxn ??, 有 ????????? ??????? 22222222 )1l n()1( 14ln413ln312ln21 nn? ???????? ????????????? ????? 2222222 )1( 13121ln)1( 1413121 nn ?? ?????? ??????????????? ????? nnn )1( 123 112 1ln)1( 13121 222 ?? )2)(1(2212111 ?????????? ???????? ??? nn nnn 所以 ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? (方法二 ) ?????? ????????? ???? 21114ln)2)(1( 4ln)2)(1( )1l n()1( )1l n( 22 2 nnnnnn nn n 所以)2(2 4ln21214ln)1l n()1( 14ln413ln312ln21 22222222 ???????? ????????? nnnnn? 又1114ln ??? n,所以).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 例 16.(20xx年福州市質(zhì)檢 )已知函數(shù) .ln)( xxxf ? 若 ).()(2ln)()(:,0,0 bfbafbaafba ??????? 證明 解析 :設(shè)函數(shù) ( ) ( ) ( ), ( 0)g x f x f k x k? ? ? ? .2021,0)(,ln1)l n (1ln)(.0),l n ()(ln)(,ln)(kxkxk kxxk xxgxkxxkxxgkxxkxkxxxgxxxf????????????????????????????則有令?? ∴ 函數(shù) kkxg ,2[)( 在）上單調(diào)遞增，在 ]2,0(k上單調(diào)遞減 . ∴ )(xg 的最小值為 )2(kg，即總有 ).2()( kgxg ? 而 ,2ln)()2ln(l n2ln)2()2()2( kkfkkkkkkfkfkg ???????? ,2ln)()( kkfxg ??? 即 .2ln)()()( kkfxkfxf ???? 令 , bxkax ??? 則 .bak ?? .2ln)()()()( babafbfaf ?????? ).()(2ln)()( bfbafbaaf ?????? 三、分式放縮 姐妹不等式 : )0,0( ?????? mabma mbab和 )0,0( ?????? mbama mbab 記憶口 訣 ”小者小 ,大者大 ” 解釋 :看 b,若 b 小 ,則不等號是小于號 ,反之 . 例 19. 姐妹不等式 : 12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn?和 12 1)211()611)(411)(211( ?????? nn?也可以表示成為 12)12(531 2642 ??????? ??? nn n? ? 和 12 12642 )12(531 ?????? ????? nnn?? 解析 : 利用假分數(shù)的一個性質(zhì) )0,0( ?????? mabma mbab可得 ???? 12 2563412 n n? ???? nn2 12674523 ? )12(2 1265432 ????? nnn? ? 12)12 2563412( 2 ????? nn n? 即 .12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn? 例 : .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 解析 : 運用兩次次分式放縮 : 13 13784512 ???????????? n nnn ?? (加 1) nnnn 3 13784512 ???????????? ?? (加 2) 相乘 ,可以得到 : )13(13 2387542113 13784512 2 ?????????????????????? ?????? nnnnnnn ??? 所以有 .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 四、分類放縮 例 :212 131211 nn ?????? ? 解析 : ??????????????? ?? )21212121()4141(21112 131211 3333n 2)211(221)212121( nn nnnnn ???????? ? 例 22.(20xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試改編 ) 在平面直角坐標系 xoy 中 , y 軸正半軸上的點列 ??nA 與曲線 xy 2? （ x ≥0）上的點列 ??nB 滿足nOBOA nn 1??，直線 nnBA 在 x 軸上的截距為 na .點 nB 的橫坐標為 nb , ??Nn . (1)證明 na 1?na 4， ??Nn 。 解析 :首先求出 xxxf 2)( 2?? ,∵nn nnnnfbn 12)( 323 ???? ∴nbbbbT nn 131211321 ?????????? ??,∵214124131 ????,218148171615 ??????,… 212122122 112 1 111 ???????? ??? kkkkk ?,故當 kn 2? 時 , 12?kTn, 因此，對任何常數(shù) A，設(shè) m 是不小于 A 的最小正整數(shù)， 則當 222 ?? mn 時 ,必有 AmmTn ????? 12 22. 故不存在常數(shù) A 使 ATn? 對所有 2?n 的正整數(shù)恒成立 . 例 24.(20xx年 中學教學參考 )設(shè)不等式組??????????nnxyyx3,0,0 表示的平面區(qū)域為 nD,設(shè) nD內(nèi)整數(shù)坐標點的個數(shù)為 na .設(shè)nnnn aaaS 221 111 ???? ?? ?, 當 2?n 時 ,求證 :36 1171111 2321 ?????? naaaa n?. 解析 :容易得到 nan 3? ,所以 ,要證36 1171111 2321 ?????? naaaa n?只要證12 11721312112 ??????? nS nn ?,因為nnnnS 2122 112 1()81716151()4131(211 112 ??????????????? ?? ?? 12 117)1(12723211 121 222 ??????????? ? nnTTT n?,所以原命題得證 . 五 、 迭代 放縮 例 25. 已知 1,14 11 ????? xxxx nnn,求證 :當 2?n 時 ,nni ix ?? ???? 11 22|2| 解析 :通過迭代的方法得到1212 ??? nnx,然后相加就可以得到結(jié)論 例 26. 設(shè)nn nS 2 !sin2 !2sin2 !1sin 21 ???? ?,求證 :對任意的正整數(shù) k,若 k≥n 恒有 :|Sn+k－ Sn|1n 解析 : |2 )s in(2 )!2s in(2 )!1s in(||| 21 knnnnkn knnnSS ???? ???????? ? knnnknnn knnn ?