【正文】 向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對(duì)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，垂直向下 為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。也可以利用非線性控制理論對(duì) 其進(jìn)行控制。 朱江濱 [13]等人提出了一種基于專家系統(tǒng)及變步長預(yù)測(cè)控制的實(shí)時(shí)非線性系統(tǒng)控制方法，仿真實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的擺起及穩(wěn)定控制。 較早研究起擺問題的文獻(xiàn)有： 1976 年， Mot 等人提出構(gòu)造兩個(gè)控制器。 2021 年 6 月北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的科研團(tuán)隊(duì)采用“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”成功地實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺控制的計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)， 2021 年 8 月又成功地實(shí)現(xiàn)了全球首例“四級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控制”。近年來隨著智能控制方法的研究逐漸受到人們的重視，模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、擬人智能控制、遺傳算法和專家系統(tǒng)等越來越多的智能算法應(yīng)用到倒立擺系統(tǒng)的控制上 [10]。 Deris 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力來整定 PID 控制器參數(shù) [9]。程福雁先生等研究了使用參變量模糊控制對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行實(shí)時(shí)控制的問題 [7]。 60年代后期，作為一個(gè)典型的快速、多變量、不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性例證，首先提出了倒立擺的概念，一直是控制理論與應(yīng)用的熱點(diǎn)問題。 2）倒立擺控制系統(tǒng)的起擺控制。對(duì)于這類控制系統(tǒng) 的研究都可以借鑒倒立擺的研究成果，因此，倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的工程背景和實(shí)際意義。用倒立擺可以檢驗(yàn)各種控制算法的不穩(wěn)定性、非線性和快速系統(tǒng)的控制能力，以及驗(yàn)證各種控制算法與策略的真實(shí)性和有效性。 倒立擺系統(tǒng)的研究意義 用不同的控制方法控制不同類型的倒立擺，是具有挑戰(zhàn)性的課題之一，此項(xiàng)試驗(yàn)研究被稱之為控制研究部門皇冠上的珍珠。 倒立擺系統(tǒng)的分類 倒立擺已經(jīng)由原來的直線一級(jí)倒立擺擴(kuò)展出很多種類，典型的有直線倒立擺，環(huán)形倒立擺，平面倒立擺和復(fù)合倒立擺等，倒立擺系統(tǒng)是在運(yùn)動(dòng)模塊上裝有倒立擺裝置，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 2 由于 在相同的運(yùn)動(dòng)模塊上可以裝載不同的倒立擺裝置，倒立擺的種類由此而豐富很多，按倒立擺的結(jié)構(gòu)來分，有以下類型的倒立擺： 1) 直線倒立擺系列 直線倒立擺是在直線運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺體組件，直線運(yùn)動(dòng)模塊有一個(gè)自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運(yùn)動(dòng)，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個(gè)可以沿導(dǎo)軌滑動(dòng)的小車，并且在主動(dòng)小車和從動(dòng)小車之間增加了一個(gè)彈簧，作為柔性關(guān)節(jié)。 倒立擺的工作原理：即用一種強(qiáng)有力的控制方法對(duì)小車的速度做適當(dāng)?shù)目刂?，從而使擺桿穩(wěn)定與正下方，這個(gè)系統(tǒng)還可以叫做自動(dòng)平衡 車。現(xiàn)代控制理論應(yīng)用極點(diǎn)配置法，設(shè)計(jì)模擬控制器，國內(nèi)外學(xué)者們先后解決了單級(jí)倒立擺與二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。其典型性在于： 作為一個(gè)控制裝置，其成本低廉，結(jié)構(gòu)簡單，便于模擬和數(shù)字實(shí)現(xiàn)不同方式的控制；作為被控對(duì)象，它是相當(dāng)復(fù)雜的，是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的控制系統(tǒng)，只有采取比較有效的控制方法才能使之穩(wěn)定。 energy control。起擺 。在 LQR 最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)中，我們通過不斷的 MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)總結(jié)出了性能矩陣 Q選擇的一般原則，為 LQR 算法的實(shí)際應(yīng)用給出了一定的理論指導(dǎo)，同時(shí)通過 MATLAB 仿真，得出 LQR 算法是能較好的控制倒立擺系統(tǒng)，并具有較好的穩(wěn)態(tài)效果。 （ 二 〇 一 一 年 六 月 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 學(xué)校代碼： 10128 學(xué) 號(hào)： 202111204082 題 目： 直線 一 級(jí) 倒立擺系統(tǒng)的線性 二次最優(yōu)控制 策略研究 學(xué) 生 姓 名 ： 張志偉 學(xué) 院 ： 電 力 學(xué) 院 系 別： 自 動(dòng) 化 系 專 業(yè)： 自 動(dòng) 化 （ 電 廠 熱 工 過 程 控制 及 自 動(dòng) 化 方 向 ） 班 級(jí)： 自 （ 電 ） 073 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 摘 要 倒立擺是典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。然后本文主要研究了倒立擺系統(tǒng)的線性二次最優(yōu)控制算法，并設(shè)計(jì)出了這種算法的控制器，同時(shí)利用MATLAB 仿真分析了這種算法的優(yōu)缺點(diǎn)。 關(guān)健詞 :倒立擺 。 swing up。 倒立擺的穩(wěn)定性控制問題是控制理論研究與應(yīng)用的一個(gè)典型性問題?？刂七^程中的關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、非線性問題、魯棒性問題、隨動(dòng)問題，還有跟蹤問題等都可以以倒立擺系統(tǒng)加以研究 。 倒立擺系統(tǒng)工作原理 倒立擺，是處于倒置不穩(wěn)定的狀態(tài)，人為控制使其處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的的一種擺，一般是由一個(gè)可以在水平軌道上自由移動(dòng)的小車和倒置擺桿組成?？刂频哪繕?biāo)一般都是通過給小車施加水平方向的力，使小車在期望的位置上穩(wěn)定，而使擺桿達(dá)到豎直向上的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài) [23]。 4) 復(fù)合倒立擺系列 復(fù)合倒立擺為一類新型倒立擺，由運(yùn)動(dòng)本體和擺桿組件組成，其運(yùn)動(dòng)本體可以很方便的調(diào)整成三種模式，一是 2)中所述的環(huán)形倒立擺，還可以把本體翻轉(zhuǎn) 90 度，連 按倒立 擺的級(jí)數(shù)來分：有一級(jí)倒立擺、兩級(jí)倒立擺、三級(jí)倒立擺和四級(jí)倒立擺，一級(jí)倒立擺常用于控制理論的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)，多級(jí)倒立擺常用于控制算法的研究，倒立擺的級(jí)數(shù)越高，其控制難度更大，目前，可以實(shí)現(xiàn)的倒立擺控制最高為四級(jí)倒立擺 [4]。對(duì)這一復(fù)雜系統(tǒng)的研究在理論上將涉及系統(tǒng)控制中的許多關(guān)鍵問題，如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等都可以以它為例進(jìn)行研究。日常生活中常見的重心內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 3 在上、支點(diǎn)在下的控制問題，以及各類伺服云臺(tái)和空間飛行器的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性。 倒立擺穩(wěn)定控制研究的發(fā)展?fàn)顩r 目前對(duì)倒立擺控制系統(tǒng)研究主要集在倆個(gè)方面 : 1）研究控制器使倒立擺穩(wěn)定并可以穩(wěn)定在要求的位置。 1966 年 schaefer 和 cannon 于應(yīng)用 BangBang 控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置 [6]。 1997 年， 等設(shè)計(jì)了類 PI 模糊控制器應(yīng)用于一級(jí)倒立擺控制。從 90 年代初神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開始得到快速的發(fā) 展。多級(jí)倒立擺控制的實(shí)物系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，由于其高度非線形和不確定性是世界公認(rèn)的困難問題。這一突破性的成果，將為飛行器、工業(yè)控制及各種復(fù)雜條件下的控制提供新的構(gòu)想，也將預(yù)示著復(fù)雜的控制理論可能產(chǎn)生重大變革。使擺桿從垂下狀態(tài)到豎直向上狀態(tài)的過程就是倒立擺的起擺問題。 Borto[12]實(shí)現(xiàn)二級(jí)環(huán)形倒立擺的起 擺控制。 倒立擺的特性 雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性 : 1) 非線性 倒立擺是一個(gè)典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，實(shí)際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。 3) 耦合性 倒立擺的各級(jí)擺桿之間，以及和運(yùn)動(dòng)模塊之間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，在倒立擺的內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 5 控制中一般都在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行解耦計(jì)算，忽略一些次要的耦合量。 倒立擺系統(tǒng)的主要控制方法 控制理論自誕生之日起至今主要經(jīng)歷了經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和人工智能控制理論等幾個(gè)階段。根據(jù)使閉環(huán)系統(tǒng)能穩(wěn)定工作的思想設(shè)計(jì)控制器，需引入適當(dāng)?shù)姆答仯归]環(huán)系統(tǒng)特征方程的根都位于左半平面上。與經(jīng)典控制理論相比，現(xiàn)代控制理論具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性，從分析、設(shè)計(jì)、到綜合都有比較完整的理論和方法。使用極點(diǎn)配置法首先需要建立系統(tǒng)的線性模型，然后確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，再通過 Ackerman 公式算出對(duì)應(yīng)的反饋增益矩陣 K。如果系統(tǒng)本 身又是非線性的或具有某些不確定性，則針對(duì)線性化模型進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的各種理論就越來越顯示出局限性。它在一定程度上模仿了人的控制，不需要準(zhǔn)確的控制對(duì)象數(shù)學(xué)模型，是一種智能控制方法，尤其適用于那些人們無法建立精確數(shù)學(xué)模型的物理對(duì)象或過程。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制具有信息的分布存儲(chǔ)、并行處理以及自學(xué)習(xí)能力等優(yōu)點(diǎn)。對(duì)其LQR 算法進(jìn)行分析，建立數(shù)學(xué)模型并且利用 Matlab 對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，最后證明控制器的正確性和穩(wěn)定性。 Matlab 進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，調(diào)整參數(shù)，得出各種內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 7 狀態(tài)下的仿真曲線。如果已知輸入量及變量的初始條件，對(duì)微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理，化學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入一狀態(tài)關(guān)系。為了在數(shù)學(xué)上推導(dǎo)和分析的方便，可作出如下假設(shè)： 1)擺桿在運(yùn)動(dòng)中是不變形的剛體； 2)齒型帶與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，齒型帶無拉長現(xiàn)象； 3)各種摩擦系數(shù)固定不變； 4)忽略空氣阻力； 將小車抽象為質(zhì)點(diǎn)，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，擺桿繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣可以通過力學(xué)原理建立系統(tǒng)較為精確的數(shù)學(xué)模型，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 10 在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖 2 圖 23 所示，圖示方向?yàn)槭噶空较? 圖 22小車隔離受力分析 圖 23擺桿隔離受力分析 在忽略 空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： Mx F bx N? ? ? (21) 對(duì)擺桿水平方向受力分析得到以下等式： 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 11 22 ( si n )dN m x ldt ??? （ 22）即 : ???? s i nc o s ????? mlmlxmN ??? （ 23） 將式（ 23）代入式（ 21）可得系統(tǒng)第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推出系統(tǒng)第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直向上的合力進(jìn)行分析可得方程： )c os(22 ?ldtdmmgP ?? （ 25） 即 ： ???? c o ss i n 2??? mlmlmgP ???? （ 26） 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in （ 27） 式中： ??? ?? ， ?? coscos ?? ， ?? sinsin ?? 合并式（ 26）與式（ 27）得第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? （ 28） 用 u 來代表被控對(duì)象的輸入力 F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下 ： ????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ????? ????)()( 2 （ 29） 對(duì)式 (29)進(jìn)行拉普拉斯變換 （ 推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0） ???????????????)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm glssmlI （ 210） 整理后得到傳遞函數(shù)： sqb mg lsq mg lmIbsq mlIbssqmlsUs???????23)242)(()()( （ 211） 其中： ])())([( 22 mlmlImMq ???? 狀態(tài)空間方程 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： ??? ?? ?? )()()( )()()( tDutCxty tButAxtx? （ 212） 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 12 方程組 對(duì) x? ,?? 解代數(shù)方程，得到解如下： ????????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMIMm g lxM mlmMIm l buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222)222222)()()()()(()()()(??????????????? （ 213）