【正文】 數(shù)譜 樣本數(shù) 加入噪聲 訓練次數(shù) 1? 2? 50 ),0(N 20xx 100 ),0(N 20xx 200 ),0(N 20xx 400 ),0(N 20xx 50 ),0(N 20xx 100 ),0(N 20xx 200 ),0(N 20xx 17 400 ),0(N 20xx 注： henon 映射的實際 Lyapunov 指數(shù)譜為 ?? ， ??? （ 3）取樣本數(shù)為 100，迭代次數(shù)為 1000 次，在嵌入維分別為 4,3,2?d 的情況下的 Lyapunov 指數(shù)譜。 （ 1）分別取樣本數(shù)為 50， 100， 200， 400，嵌入維數(shù)取 2?d ，迭代 500次后計算Lyapnov指數(shù)譜。 Henon映射的表達式為： 16 ??? ?? ???? )()1( )()(1)1( 2kbxky kykaxkx (243) 當 , ?? ba 時，它是典型的二維混沌系統(tǒng)。 （ 3） 由表 2－ 3可見，當取不同嵌入維 4,3,2,1?d 下，計算 Lyapunov指數(shù)譜值，在最大的 Lyapunov指數(shù)值與真實值相差很小，說明了在實際應用中計算系統(tǒng) Lyapunov指數(shù)值時可以取嵌入維數(shù)比較小的值，這樣方便計算，大大減少訓練時間。 表 2－ 3 在嵌入維 4,3,2,1?d 的情況下計算 Lyapunov指數(shù)譜 嵌入維 訓練次數(shù) 1? 2? 3? 4? 1 1000 2 1000 3 1000 4 1000 注： logistic映射的實際 Lyapunov指數(shù)為 1? = 實驗結(jié)果分析： （ 1） 由表 2－ 1可見，當取 100個樣本訓練次數(shù) 500時計算的 Lyapunov指數(shù)與真實值僅相差不到 2%，僅取少量的樣本點就可以比較精確地計算出 Lyapunov指數(shù)。 （ 1）分別取樣本數(shù)為 25， 50， 100，嵌入維數(shù)取 1，迭代 500次后計算 Lyapunov指數(shù)，計算結(jié)果如表 2－ 1所示。以初值 )0( ?x 迭代產(chǎn)生的 )(kx 數(shù)據(jù)列為例進行計算。 end [u0,J0] = qr(J*u0)。 end TZZ = zeros(d,1)。 a = P*(Ye*b)。 end end P = inv(Q+1/gam*eye(N))。 delta = 。 13 for i = 1:m+1 R =[R S(20xx+(i1)*tao:3000+(i1)*tao)]。 S = S(:,1)。)。 U(m)=U(m)+1。 for j=1:length(Y) if j~=i d=norm(Y(i,1:m)Y(j,1:m))。 kdi kijkiikj abxut ???? 1 , 12 N0=tao*m+1。 break end end function EmbedingDimensional(X,tao,M) % E=zeros(M,1)。*(X(1:Lt)mean(X))/(Lt))/((Xmean(X))39。按同樣的方法計算所有雅科比矩陣最后一行矩陣元，也就確定了所有的雅科比矩陣，進而可以按式（ 28）～（ 218）計算實驗觀察數(shù)據(jù)所反映系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)譜。 基于 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡的 Lyapunov 指數(shù)譜計算方法 本文采用具有 d 個輸入節(jié)點，一個輸出節(jié)點和一個隱含層的三層小波網(wǎng)絡。39。 ?????? ? (232) knnknnnl attatttx 1) xp() i n() xp() os ( 239。39。239。39。式（ 219）與下式等價 )()( 1 k kTk k a bxwxf ?? ?? ? (220) 對于具有 n 個輸入的多輸入網(wǎng)絡，式（ 420）變?yōu)椋? ???????????? ?????? kniklkiTkkl abixuwxf 11)()( ? (221) 其對應的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)如圖 2－ 1所示（考慮到本論文的目的，只畫出了一個輸出值的情況）。式中， T 為小波基的個數(shù)。從目前已有的國內(nèi)外資料看，還做不到實際應用小波網(wǎng)絡。下面討論小波神經(jīng)網(wǎng)絡模型求解該問題。本文采用長乘積矩陣的分解技術(shù)對（ 210）式進行求解。 Oseledec 矩陣的確定 （ 22）式的映射關系可以寫成以下形式： (23) 令 )(1, kxxk ? ， )(2, Tkxxk ?? ， … ， ))1((, Tdkxx dk ??? ， )(1, Tkxx Tk ??? ， 4 )2(2, Tkxx Tk ??? ， … ， )(, dTkxx dTk ??? 顯然有關系： (24) 其中 ? 是未知映射，若（ 22）式出現(xiàn)微小擾動，則可以得到： )()()( kykFDTky ???? (25) 其中 )(kFD 為映射 F 的雅科比矩陣，其形式為： (26) 上述矩陣的最后一行滿足： (27) 確定雅科比矩陣 )(kFD 的過程即為確定（ 27）式的過程。利用時滯方法可以通過這樣一個時間序列在 d 維歐式空間構(gòu)造一條軌道 )(ny ： )])1((,),(),([)( TdnxTnxnxny ???? ? TdNn D )1(,2,1 ??? ? (21) 其中 d 稱為嵌入維數(shù)， T 為時滯，是 ? 的整數(shù)倍， T 的選取原則是使 )(ny 與)( Tny ? 之間的相關性最小。 )(xFk 為初始點經(jīng)過 k 次迭代后的相點，于是原相距 ? 的兩點經(jīng)過 k 次迭代后相距為 )()()( xFxFe kkxk ??? ?? ? (18) 取極限 0?? ， ??k ，得： (19) 根據(jù)這一原理可以采取跟蹤初值相近的兩個鄰近點演化軌道距離的變化來估計 Lyapunov指數(shù)?？衫脭?shù)值方法求出 (14)式所示矩陣的本征值 ,進而求出由映射。(1) (13) 其中 ,D 163。(W ) 是 D D 階雅可比矩陣 ,選擇一初始狀態(tài) , 可得到 l個矩陣的乘積 : D 163。 在非線性動力系統(tǒng)分析中 ,系統(tǒng)的全部 Lyapunov指數(shù)稱為 Lyapunov指數(shù)譜 ,它表示相空間中每一維相鄰軌道如何隨時間分離 ,具有拓撲映射不變性 ,且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關 ,是對系統(tǒng)進行刻劃和分類的重要指標需確定 Lyapunov指數(shù)的系統(tǒng)分為兩種情況 ,一種情況是已知系統(tǒng)滿足的微分方程或映射關系 ,另一種情況是只知道實驗觀察到的數(shù)據(jù) L在這兩種情況下 ,人們確定其 Lyapunov指數(shù)的方法不同，對第一種情況 ,可有規(guī)范的方法精確求出系統(tǒng)的 Lyapunov指 數(shù)。 對 耗散系統(tǒng) ,Lyapunov指數(shù)的和為負。 Artificial neural work 1 第一章 緒論 引言 混沌系統(tǒng)的基本特點就是系統(tǒng)對初始值的極端敏感性，兩個相差無幾的初值所產(chǎn)生的軌跡，隨著時間的推移按指數(shù)方式分離， Lyapunov指數(shù) [1]就是定量的描述這一現(xiàn)象的量。利用 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性函數(shù)逼近能力 , 由實驗觀察數(shù)據(jù)列計算系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)譜實例計算表明 , 此種方法精度較高且計算量較小 , 有重要的實際意義 . 關鍵詞 : Lyapunov 指數(shù)譜 。對于系統(tǒng)是否存在動力學混沌 , 可以從最大 Lyapunov指數(shù)是否大于零非常直觀的判斷出來 : 一個正的 Lyapunov指數(shù) ,意味著在系統(tǒng)相空間中 ,無論初始兩條軌線的間距多么小 ,其差別都會隨著時間的演化而成指數(shù)率的增加以致達到無法預測 ,這就是混沌現(xiàn)象。 Reconstruction of phase space。 Lyapunov指數(shù)的和表征了 橢球 體積的增長率或減小率 ,對 Hamilton系統(tǒng) ,Lyapunov指數(shù)的和為零 。不管系統(tǒng)是不是耗散的 ,只要 λ1 0就會出現(xiàn)混沌。是 D維空間的映射 ZD163。 ( l 1) ???D 163。其中 T表示矩陣的轉(zhuǎn)置。 Lyapunov計算方法的定義 設在 x 點平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)為 )(x? ，顯然當0)( ?x? 時，動力系統(tǒng)關于點 x 具有敏感的依賴性。假設對一個確定的動力系統(tǒng)的觀測函數(shù)為 )(tx ，經(jīng)過采樣后，得到一個單變量的時間序列， DNnnx ,2,1)},({ ?? 其中 )}({ nx 表示 ?nt ?0 時刻的觀測值， ? 為采樣時間間隔， 0t 為采樣起