【正文】 5 （ 15） 對于函數(shù) sin()2 cosxfx x? ?，給出下列結(jié)論： ① ()fx為奇函數(shù) ； ②2x ??是 ()fx的一條對稱軸 ； ③ 2? 是 ()fx的一個周期 ； ④ ()fx在 [ , ]22???上為增函數(shù) ； ⑤ ()fx的值域為 11[ , ]22?． 其中正確的 結(jié)論 是 ▲ （寫 出所有正確 結(jié)論 的序號）． 【答案】 ① ③④ 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． （ 16） （本小題滿分 12分） 已知 ABC? 的面積為 2，且滿足 04AB AC? ? ? ．設(shè) AB 和 AC 的夾角為 ? . （ Ⅰ ）求 tan? 的取值范圍； （ Ⅱ ）求函數(shù) 2( ) 2 s in ( ) 3 c o s 24f ?? ? ?? ? ?的最值． （ 16） 【解】（ Ⅰ ）設(shè) Δ ABC 中，角 A、 B、 C的對邊分別為 a、b、 c， 則 由 已 知 ： 1 sin 22bc ?? ，0 cos 4bc ???， ………………………………………4 分 可 得 ，tan 1?? …………………………………………………………… 6 …………6 分 （ Ⅱ ） 2( ) 2 s in ( ) 3 c o s 2 [ 1 c o s ( 2 ) ] 3 c o s 242f ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ( 1 s in 2 ) 3 c o s 2 s in 2 3 c o s 2 1 2 s in ( 2 ) 13?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?……10分 由 （ Ⅰ ）， [ , )42????， ∴ 22 [ , )3 6 3? ? ?? ??， ∴ π2 2 sin (2 ) 1 33?? ? ? ? 即 max( ) 3f ? ? ，min( ) 2f ? ? …………………………………………………12 分 （ 17）（本小題滿分 12分） 某校擬調(diào)研學生的身高與運動量之間的關(guān)系，從高二男生中隨機抽取 100 名學生的身高數(shù)據(jù)，得到如下頻率 分布表： （ Ⅰ ）求頻率分 布表中① 、 ② 位置相應的數(shù) 據(jù)，并完組號 分組 頻數(shù) 頻率 第 1 組 [160，165) 10 第 2 組 [165，170) ① 第 3 組 [170，175) 30 ② 第 4 組 [175，180) 25 第 5 組 [180，185) 20 合計 100 7 成頻率分布直方圖； （ Ⅱ ）為了對比研究學生運動量與身高 的 關(guān)系，學校計劃采用分層抽樣的方法從第 5 組中隨機抽取 7 名學生進行跟蹤調(diào)研，求第 5 組每組抽取的學生 數(shù)？ （ Ⅲ ）在（ Ⅱ ）的前提下，學校決定從這 7 名學生中隨機抽取 2 名學生接受調(diào)研訪談，求至少有 1 名學生來自第 5組的概率？ 【命題意圖】 本題考查頻率分布表，分層抽樣， 古典概型，簡單題 （ 17） 【解】（ Ⅰ ）由題可知， 第 2 組的頻數(shù)為 100 15??（人） …1 分 第 3 組的頻率為 30 100? ……………2 分 頻率分布直方圖如 右 : ……………5 分 （ Ⅱ ）因為第 5 組共有 35 名學生，所以利用分層抽樣在35名學生中抽取 7 名學生，每 組分別為 : 第 3 組 :15 7335??(人 ) …………………6 分 第 5 組 : 20 7435??(人 ) …………………7 分 所以第 5 組分別抽取 3 人、 4 人． （ Ⅲ ）設(shè)第 2 組的 3 位同學為 1 2 3,AA A ， 第 5 組的 4 位同學為頻率分布直方圖身高 （ cm ）頻率組距0 . 0 80 . 0 70 . 0 60 . 0 50 . 0 40 . 0 30 . 0 20 . 0 11 6 0 1 6 5 1 7 0 1 7 5 1 8 0 1 8 5 8 1 2 3 4, , ,B B B B ， 則從 7位同學中抽 2位同學有 21種可能 情況： 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 4( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A A A A A B A B A B A B 2 3 2 1 2 2 2 3 2 4( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )A A A B A B A B A B 3 1 3 2 3 3 3 4( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A B A B A B A B 1 2 1 3 1 4( , ), ( , ), ( , ),B B B B B B 2 3 2 4( , ),( , ),B B B B 34( , ),BB ……………………………10分 其中第 5組的 4位同學 1 2 3 4, , ,B B B B 中 至少有一位同學入選的有 18種 ， 故 至 少 有 1 名 學 生 來 自 第 5 組 的 概 率 為：67 ………………… 12分 （ 18）（本小題滿分 12分） 如圖，多面體 ABCDEF 中， 底面 ABCD 為正方形 ， EA? 平面 ABCD ， FC ∥ EA ， ,GH分別是,ABEF 的中點， 22EA AB CF? ? ?， （ Ⅰ ）證明： GH ∥ 平面 BCF ； （ Ⅱ ）求多面體 ABCDEF 的體積． 【命題意圖】 本題 考查線面平行，體積計算，中等題． GHFEDB CA頻率分布直方圖身高 （ cm ）頻率組距0 . 0 80 . 0 70 . 0 60 . 0 50 . 0 40 . 0 30 . 0 20 . 0 11 6 0 1 6 5 1 7 0 1 7 5 1 8 0 1 8 5 9 （ 18） 【解】 （ Ⅰ ）證明：連 AC， BD，設(shè) AC， BD 交于點 O，連 OH， OG． ∵ 四邊形 ABCD 為正方形， ∴ OA CO? ， 又 ∵ ,GH分別是 ,ABEF 的中點， ∴GO BC HO CF∥ ， ∥ ………………………4分 ∴ 平面 GHO ∥ 平面 BCF ， ∵ GH? 平面GHO ∴ 證明 GH ∥ 平面 BCF ……………………6 分 （ Ⅱ ） ∵ EA? 正方形 ABCD ， ∴ EA BO? ， 又 BO AC? ，所以 BO? 平面 ACFE 所以 1223A B C D E F B A C F E A C F EV V S B O?? ? ? ? ? 112 1 2 2 2 2 432? ? ? ? ? ? ?（ ） ． （ 19）（本 小 題滿分 13 分）設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項的和 2nSn? . OGHFEDB CA 10 （ Ⅰ ）求 {}na 的通項公式； （ Ⅱ ）設(shè)3 ( 1)n nnnb a a? ? ?，求 數(shù)列 {}nb 前 n 項的和 nT . 【命題意圖】 本題 考查 等差數(shù)列，等比數(shù)列，分組求和 ，中等題． （ 19 ） 【 解 】 （ Ⅰ ） 221 ( 1 ) 2 1n n na S S n n n?? ? ? ? ? ? ?（ 2n? ） ………………………3 分 又 1n? 時， 111aS?? ， 符 合 上式 ……………………………………………4 分 故2 1 *)na n n N? ? ?（ ……………………………………………………………5 分 （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ） 知 :3 ( 1 ) 2 3 1 ( 1 ) ( 2 1 )n n n nnnb a a n? ? ? ? ? ? ? ? ? 22( 3 3 3 ) [ 1 3 5 7 9 11 ( 1 ) ( 2 1 ) ]nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ( 1 3 )2 [ 1 3 5 7 9 1 1 ( 1 ) ( 2 1 ) ]13 n nnn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 13 3 [ 1 3 5 7 9 11 ( 1 ) ( 2 1 ) ]nnnn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………8 分 設(shè) 1 3 5 7 9 11 ( 1 ) ( 2 1 )nnQn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當 n 為偶數(shù)時， ( 1 3 ) ( 5 7 ) [ ( 2 3 ) ( 2 1 ) ] 22n nQ n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 此時133nnT ???……………………………………………………… 11 分 當 n 為奇數(shù)時， 1 ( 3 5 ) ( 7 9) [ ( 2 3 ) ( 2 1 ) ]nQ n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2)( 1)1 2n n??? ? ? ? ?， 此時 113 3 3 2 3nnnT n n n??? ? ? ? ? ? ? …………………………………1 3 11 分 （ 20）（本 小 題滿分 13分） 已知函數(shù) ( ) ln 1f x x ax? ? ?，其中 aR? ． （Ⅰ）討論函數(shù) ()fx在其定義域上的單調(diào)性； （Ⅱ）當 0a? 時，若存在121, [ , ]x x ee?，使得 12( ) ( ) 0f x f x??，求實數(shù)a 的取值范圍． 【命題意圖】 本題 考查 導數(shù)的應用 ，中等題． （ 20 ） 【解】11( ) , 0axf x a xxx?? ? ? ? ?，……………………………………… ………… 2 分 （Ⅰ）（ 1）若 0a? ，對 0x?? 均有 ( ) 0fx? ? ， 故 ()fx 為 其 定 義 域 上 的 單 調(diào) 遞 增 函數(shù)；………………………………………… 3 分 （ 2）若 0a? ，當 1(0, )xa?時， ( ) 0fx? ? ； 當 1( , )xa? ??時， ( ) 0fx? ? ； 故 ()fx 在 1(0, )a內(nèi)單調(diào)遞增，在 1( , )a??內(nèi)單調(diào)遞減．………………………… 4 分 （Ⅱ）由 0a? ， 11( ) ln 1 0aafe e e e? ? ? ? ? ?，即存在1 11[ , ]xeee??使 ( ) 0fx? ， 從而只需存在2 1[ , ]xee?，使 2( ) 0fx? ， 其 等 價 于 1[ , ]xee?時，max( ) 0fx? ．……………………………………………… 7 分 12 由（Ⅰ）知： ①當 1 ea?，即 10 ae??時， ()fx在 1[,]ee上單調(diào)遞增， max( ) ( )f x f e? 由 ( ) ln 1 2 0f e e ea ea? ? ? ? ? ?，解得 2ae?， 故10 a e?? ；…………………………………………………………………… 9 分 ②當 11eea??，即 1 aee??時， ()fx在 11[ , ]ea上單調(diào)遞增，在 1[ ,]ea上單調(diào)遞減； 由m a x 11( ) ( ) ln 0f x f aa? ? ?，解得 01a??， 故1 1ae??；…………………………………………………………………… 11分 ③當 11ae?，即 ae? 時， ()fx在 1[,]ee上單調(diào)遞減， 故 1[ , ]xee??， 1( ) ( ) 0f x fe??，舍去． …………………………………… 12 分 綜上，01a??．……………………………………………………………… 13分 （ 21） (本 小 題滿分 13分 ) 已知橢圓 C 的焦點是 ? ?1 03F ?， ? ?2 03F ，點 P 在橢圓 C 上 ， 且滿足 12| | | | 4PF PF??. 13 （Ⅰ） 求橢圓 C 的標準方程； （Ⅱ） 若 A 為橢圓 C 的下頂點，過點 A 的兩條互相垂直的直線分別 交 橢圓 C 于 點 ,PQ（ ,PQ與 A 不重合） ．試證明直線PQ 經(jīng)過定點． 【命題意圖】考查 橢圓方程， 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，較難題 . （ 21） 【解】（Ⅰ） ∵1242PF PF a? ? ?，又 3c? ∴ 2 2 2 1b a c? ? ? ， ∴ 橢圓 C 的標準方程為22 14yx ??； …………………………………………… 5 分 （Ⅱ） 設(shè) 11( , )Px y ， 22( , )Qx y ，顯然直線 PQ 的斜率存在， 設(shè)直線 PQ