【正文】 ? 一般的 p階自回歸過程 AR(p)是 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t (*) (1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲 (?t=?t)，則稱 (*)式為一 純 AR(p)過程 （ pure AR(p) process） ， 記為 : Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (2)如果 ?t不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè) q階的 移動(dòng)平均（ moving average）過程MA(q)： ?t=?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 該式給出了一個(gè)純 MA(q)過程（ pure MA(p) process） 。 隨機(jī)性趨勢(shì)可通過差分的方法消除 例如：對(duì)式： Xt=?+Xt1+?t 可通過差分變換為： ?Xt= ?+?t 該時(shí)間序列稱為 差分平穩(wěn)過程（ difference stationary process） ； 確定性趨勢(shì)無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢(shì)項(xiàng)消除 例如：對(duì)式： Xt=?+?t+?t 可通過除去 ?t變換為： Xt － ?t =?+?t 該時(shí)間序列是平穩(wěn)的，因此稱為 趨勢(shì)平穩(wěn)過程（ trend stationary process）。 判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列 ， 它的趨勢(shì)是隨機(jī)性的還是確定性的 ， 可通過 ADF檢驗(yàn)中所用的第 3個(gè)模型進(jìn)行 。 考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過程： Xt=?+?t+?Xt1+?t （ *） 其中 :?t是一白噪聲 ， t為一時(shí)間趨勢(shì) 。 然而這種做法 ， 只有當(dāng)趨勢(shì)性變量是 確定性的 （ deterministic） 而非 隨機(jī)性的（ stochastic） ， 才會(huì)是有效的 。 經(jīng)過試算 ， 發(fā)現(xiàn) 中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是 2階單整的 ， 適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋? 123 ????? tt G D P P CG D P P C （ 2 . 1 7 ） 2R= 0 . 2 7 7 8 ， L M( 1 ) = 0 . 3 1 L M( 2 ) = 0 . 5 4 同樣地 ， CPC也是 2階單整的 ， 適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋? 123 ????? tt CP CCP C （ 2 . 0 8 ） 2R= 0 . 2 5 1 5 L M ( 1 ) = 1 . 9 9 L M ( 2 ) = 2 . 3 6 ⒉ 趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 前文已指出 ， 一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì) ， 而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系 ， 這時(shí)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸 ， 盡管有較高的 R2， 但其結(jié)果是沒有任何實(shí)際意義的 。 ? 但也有一些時(shí)間序列 ， 無論經(jīng)過多少次差分 ，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的 。 ? 顯然， I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列。 2）對(duì)于 人均居民消費(fèi) CPC時(shí)間序列來說，三個(gè)模型的適當(dāng)形式為 ： 模型 3 ： 11 ?? ??????? ttt CP CCP CtCP C ( 0 . 4 7 7 ) ( 2 . 1 7 5 ) ( 1 . 4 7 8 ) ( 2 . 3 1 8 ) L M( 1 ) = 1 . 5 7 7 L M( 2 ) = 1 . 8 3 4 模型 2 ： 3211??????????????tttttC P CC P CC P CC P CC P C ( 1 . 3 7 ) ( 3 . 3 7 ) ( 1 . 1 6 ) ( 3 . 4 4 ) ( 0 . 0 5 ) 4???tC P C ( 3 . 0 3 ) L M ( 1 ) = 3 . 5 7 L M ( 2 ) = 4 . 1 0 L M ( 3 ) = 4 . 8 9 L M ( 4 ) = 1 0 . 9 9 模型 1 ： 43211 ????? ?????????? tttttt CP CCP CCP CCP CCP CCP C ( 3 . 6 0 ) ( 2 . 3 7 ) ( 2 . 9 7 ) ( 0 . 1 2 ) ( 2 . 6 8 ) L M( 1 ) = 1 . 8 3 L M( 2 ) = 1 . 8 4 L M( 3 ) = 2 . 0 0 L M( 4 ) = 2 . 3 3 ? 三個(gè)模型中參數(shù) CPCt1的 t統(tǒng)計(jì)量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大 ， 不能拒絕該時(shí)間序列存在單位根的假設(shè) ， ? 因此 ,可判斷人均居民消費(fèi)序列 CPC是非平穩(wěn)的 。 例 檢驗(yàn) 167。 需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?1。 需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?2 。 例 檢驗(yàn) 1978~2023年間中國支出法 GDP序列的平穩(wěn)性 。 表 ADF分布臨界值表。 ? 實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)從模型 3開始 ， 然后模型 模型 1。 為了保證 DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性 ， Dicky和 Fuller對(duì) DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充 ，形成了 ADF（ Augment DickeyFuller ） 檢驗(yàn) 。 例如： “如果計(jì)算得到的 t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，則拒絕 ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 ? Dicky和 Fuller于 1976年提出了這一情形下 t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的 t統(tǒng)計(jì)量稱為 ?統(tǒng)計(jì)量 ）， 即 DF分布 （見表 ）。 對(duì)應(yīng)于（ **）式，則是 ?0或 ? =0。 對(duì)式： Xt=?Xt1+?t （ *） 進(jìn)行回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn) ?=1，就說隨機(jī)變量Xt有一個(gè) 單位根 。 ，如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是 協(xié)整 的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時(shí)間序列恰是 協(xié)整 的。 ?從滯后 14期的 QLB統(tǒng)計(jì)量看： CPC與 GDPPC序列的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為 ，超過了顯著性水平為5%時(shí)的臨界值 。 結(jié)論 : 1978—2023年間中國 GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。 例 檢驗(yàn)中國支出法 GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性 。其中，第 0項(xiàng)取值為 0， ?t是由 Random1表示的白噪聲。 ? 根據(jù) Bartlett的理論： ?k~N(0,1/19)， 因此任一 rk(k0)的 95%的置信區(qū)間都將是 : ]4 4 9 ,4 4 9 []19/,19/[],[ ????????? ?? ZZ ? 可以看出 :k0時(shí)， rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受 ? k(k0)為 0的假設(shè) 。 例 : 表 Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有 19個(gè)樣本的隨機(jī)時(shí)間序列。 kr kr 1 1 0 k 0 k ( a ) ( b ) 圖 平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序列樣本相關(guān)圖 ? 注意 : 確定樣本自相關(guān)函數(shù) rk某一數(shù)值是否足夠接近于 0是非常有用的，因?yàn)樗?檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù) ?k的真值是否為 0的假設(shè)。 tX tX t t (a ) (b ) 圖 平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序 列圖 ? 進(jìn)一步的判斷 :檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形 定義隨機(jī)時(shí)間序列的 自相關(guān)函數(shù)（ autocorrelation function, ACF） 如下 ： ?k=?k/?0 自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期 k的遞減函數(shù) (Why?)。 ? 1階自回歸過程 AR(1)又是如下 k階自回歸 AR(K)過程 的特例： Xt= ?1Xt1+?2Xt2? +?kXtk 該隨機(jī)過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。 后面將會(huì)看到 :如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 由于 Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零 ,由定義 ,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的 。 時(shí)間序列分析模型方法 就是在這樣的情況下， 以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論 。 因此 ： 注意： 在雙變量模型中： 表現(xiàn)在 :兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性 （有較高的 R2)。第九章 時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 ? 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn) ? 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 ? 協(xié)整分析與誤差修正模型 167。 ? 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量 X是非隨機(jī)變量 ? ? nXX i /)( 2 ? ???? QnXXP in )/)(( 2lim依概率收斂： (2) 放寬該假設(shè)： X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ? 不相關(guān) ∶ Cov(X,?)=0 第（ 2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的 “一致性 ”特性： ?? ???)?(limnP第（ 1）條是 OLS估計(jì)的需要 ???? ????nxnuxxuxiiiiii//?22 ??? ???? ????? ???? QnxPnuxPPiiin0/lim/lim?lim2▲ 如果 X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù) （如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），則（ 2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足 “一致性 ”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。這樣 ， 仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。 例 ． 一個(gè)最簡單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=?t ， ?t~N(0,?2) 該序列常被稱為是一個(gè) 白噪聲 （ white noise） 。 ? 然而，對(duì) X取 一階差分 （ first difference） : ?Xt=XtXt1=?t 由于 ?t是一個(gè)白噪聲，則序列 {Xt}是平穩(wěn)的。 :只有當(dāng) 1?1時(shí)，該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的。 ? 而 非平穩(wěn)序列 則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。 但從下降速度來看 ， 平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多 。 因此 :如果計(jì)算的 Q值大于顯著性水平為 ?的臨界值，則有 1?的把握拒絕所有 ?k(k0)同時(shí)為 0的假設(shè)。 （ a ）