廣東省清遠市清城區(qū)梓琛中學20xx屆高三上學期第一次模擬數(shù)學試卷（文科） word版含解析-全文預覽
【正文】 斜率的乘積為定值． 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程． 【分析】 （ 1）利用橢圓的 離心率，以及橢圓經(jīng)過的點，求解橢圓的幾何量，然后得到橢圓的方程． （ 2）設直線 l： y=kx+b，（ k≠ 0， b≠ 0）， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， M（ xM， yM），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解 KOM，然后推出直線 OM 的斜率與 l的斜率的乘積為定值． 【解答】 解：（ 1）橢圓 C： =1，（ a＞ b＞ 0）的離心率 ，點（ 2， ）在 C 上，可得 ， ，解得 a2=8， b2=4，所求橢圓 C 方程為： ． （ 2）設直線 l： y=kx+b，（ k≠ 0， b≠ 0）， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， M（ xM， yM）， 把直線 y=kx+b 代入 可得（ 2k2+1） x2+4kbx+2b2﹣ 8=0， 故 xM= = ， yM=kxM+b= ， 于是在 OM 的斜率為： KOM= = ，即 KOM?k= ． ∴ 直線 OM 的斜率與 l的斜率的乘積為定值． 21．設函數(shù) f（ x） =lnx﹣ ax2﹣ bx （ 1）當 a=b= 時，求函數(shù) f（ x）的單調區(qū)間； （ 2）當 a=0， b=﹣ 1 時，方程 f（ x） =mx在區(qū)間 [1， e2]內有唯一實數(shù)解，求實數(shù) m 的取值范圍． 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；函數(shù)零點的判定定理． 【分析】 （ 1）將 a， b 的值代入，求出函 數(shù) f（ x）的表達式，導數(shù)，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間； （ 2）將 a， b的值代入函數(shù)的表達式，問題轉化為只需 m=1+ 有唯一實數(shù)解，求出函數(shù)y=g（ x） =1+ 的單調性，從而求出 m 的范圍． 【解答】 解：（ 1）依題意，知 f（ x）的定義域為（ 0， +∞）， 當 a=b= 時， f（ x） =lnx﹣ x2﹣ x， ∴ f′（ x） = ， 令 f′（ x） =0，解得： x=1 或 x=﹣ 2（舍去），經(jīng)檢驗， x=1 是方程的根． 當 0＜ x＜ 1 時， f′（ x） ＞ 0，當 x＞ 1 時， f′（ x） ＜ 0， 所以 f（ x）的單調遞增區(qū)間是（ 0， 1），單調遞減區(qū)間是（ 1， +∞）． （ 2）當 a=0， b=﹣ 1 時， f（ x） =lnx+x， 由 f（ x） =mx得 mx=lnx+x， 又因為 x＞ 0，所以 m=1+ ， 要使方程 f（ x） =mx在區(qū)間 [1， e2]內有唯一實數(shù)解， 只需 m=1+ 有唯一實數(shù)解， 令 g（ x） =1+ （ x＞ 0）， ∴ g′（ x） = （ x＞ 0）， 由 g′（ x） ＞ 0，得： 0＜ x＜ e，由 g′（ x） ＜ 0，得 x＞ e， 所以 g（ x）在區(qū)間 [1， e]上是增函數(shù)，在區(qū)間 [e， e2]上是減函數(shù)， g（ 1） =1+ =1， g（ e2） =1+ =1+ ， g（ e） =1+ =1+ ， 所以 m=1+ 或 1≤ m＜ 1+ ． [選修 41：幾何證明選講 ] 22．如圖， △ ABC 是 ⊙ O 的內接三角形， PA 是 ⊙ O的切線，切點為 A， PB交 AC 于點 E，交 ⊙ O 于點 D， PA=PE， ∠ ABC=45176?！?因為 PD=1， DB=8，所以由切割線定理有 PA2=PD?PB=9， 所以 EP=PA=3， … 所以 △ ABP 的面積為 BP?PA= … （ 2）在 Rt△ APE 中，由勾股定理得 AE=3 … 又 ED=EP﹣ PD=2， EB=DB﹣ DE=8﹣ 2=6， 所以由相交弦定理得 EC?EA=EB?ED=12 … 所以 EC= =2 ， 故 AC=5 … [選修 44：坐標系與參數(shù)方程選講 ] 23．在平面直角坐標系 xOy 中，以坐標原點 O 為極點， x軸正半軸為極軸建 立極坐標系，曲線 C 的極坐標方程為 ρ=2sinθ， θ∈ [0， 2π）． （ Ⅰ ）求曲線 C 的直角坐標方程； （ Ⅱ ）在曲線 C上求一點 D，使它到直線 l： （ t 為參數(shù)， t∈ R）的距離最短，并求出點 D 的直角坐標． 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】 （ I）極坐標方程兩邊同乘 ρ，得出曲線 C 的直角坐標方程； （ II）求出直線 l的普通方程和取出 C 的參數(shù)方程，代入點到直線的距離公式，根據(jù)三角函數(shù)的性質求出距離最小值，得出對應的 D 點坐標． 【解答】 解：（ I） ∵ ρ=2sinθ， ∴ ρ2=2ρsinθ， ∴ 曲線 C 的直角坐標方程為 x2+y2=2y． （ II）直線 l的普通方程為 x+y﹣ 5=0． 曲線 C 的參數(shù)方程為 （ α為參數(shù)）． ∴ 設 D（ cosα， 1+sinα）． 則 D 到直線 l的距離 d= =2﹣ sin（ ）． ∴ 當 α= 時， d 取得最小值 1． 此時 D 點坐標為（ ， ）． 2020 年 12 月 25 日 。 … 又 PA=PE，所以 ∠ PEA=45176。 C． y=177。 二．填空題：（本 大題共 4小題，每小題 5分．） 13．函數(shù) f（ x） = +ln（ x﹣ 1）的定義域為 ． 14．從數(shù)字 3 中任取兩個不同的數(shù)字構成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于 30 的概率為 ． 15．已知實數(shù) x、 y 滿足 ，則 2x﹣ y 的最大值
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