【正文】 6CX C ?SXBCC 1 ??AjUjBUCjI C????? 2 ???????? ?解： （ 1） （ 2） （ 3）相量圖如圖 423所示 sr a dUFC /314,0220,127 ???? ?? ??CC BX ,I?4. 例題 例 已知 求 ：（ 1） （ 2）電流相量 （ 3）畫相量圖 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 40 復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納 電路定理的相量形式 1. 基爾霍夫定律的相量形式 對任一節(jié)點(diǎn) ，直接寫出相量形式 對任一回路 ，直接寫出相量形式 0)( ?? ti 0?? ?I0)( ?? tu 0?? ?U2. 三個(gè)電路元件的相量關(guān)系 R R R R R Ru Ri U RI Z I? ? ? ?dd LL L L L Liu L U j L I Z It ?? ? ? ?11djC C C C C Cu i t U I Z ICC ?? ? ? ??湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 41 這里： 純電阻 稱為電阻元件的復(fù)阻抗。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 37 112cUXI C fC??? ? ?3. 容抗和容納 I CU??1UIC??1C?1C? 因?yàn)? ， ，顯然 反映了電容對 正弦電流阻礙作用， 稱為容抗，單位為歐姆，用符號 XC表 示。 結(jié)論：電容 C上的電流有效值等于電壓有效值與 ωC相乘之積，且 i超前 u90176。感抗的定義為 U LI?? UIL??2L UX L fLI ??? ? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 33 圖 418 感抗和頻率的關(guān)系 感抗的物理意義： (1)表示限制電流的能力； (2)感 抗和頻率成正比，表明 L元件允許低頻率信號通過的能力強(qiáng)，如圖 4－ 18； 當(dāng) ω＝ 0（直流）， ＝ 0 時(shí)， L元件短路 當(dāng) ω →∝ ， → ∝ 時(shí)， L元件開路。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 31 圖 417 電感的相量分析 2. 相量分析 設(shè)電流相量 故 ,iII ???902u i iU U L I L IUU j L I I Uj L L?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ???。如圖 415（ a） 表示 R元件相量模型，圖 （ b） 所示 R元件相量圖。 ) A，試求 uC及其相量形式。 用相量法分析單頻率正弦信號的流程圖如下： 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 26 4. 相量法的應(yīng)用范圍 ⑴ 只能用于單一頻率的正弦穩(wěn)態(tài)電路的計(jì)算，如果是多頻率正弦信號同時(shí)作用，則應(yīng)分別對每個(gè)頻率信號分析，再用疊加定理求和。 ? ? [ 2 ]jtmmi I C I I e ??? 因此也把復(fù)數(shù) C稱為旋轉(zhuǎn)相量。 ）。如正弦電流 ，它對應(yīng)的電流相量是 ，其相量圖如圖 4－ 11所示。 。 2 s i n ( )ii I t???? ijI Ie ??一一對應(yīng) 正弦量 相量 例如，寫出下列已知正弦量 所對應(yīng)的相量形式；寫出下列已知電壓相量 所相應(yīng)的正弦量。對于電壓有效值為 201 ( ) dTU u t tT? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 15 （ 2）正弦電流、正弦電壓的有效值 將正弦電流 i(t)=Imsin(ωt+φi )代入上式中，其正弦電流的有效值為 22m022mmm01s in ( ) dII I[ 1 c o s ( 2 ) ] d 0 . 7 0 7 I 2 I2TiTmmiI I t tTt t TTT??????? ? ? ? ? ? ? ???m( ) s i n ( ) 2 s i n ( )iii t I t I t? ? ? ?? ? ? ?這樣正弦電流的瞬時(shí)表達(dá)式可以寫成 mmm 22U U 22mEEEU????同樣，可以計(jì)算出正弦電動(dòng)勢和正弦電壓的有效值 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 16 正弦量的相量表示法 1. 分析示意圖 設(shè)有一正弦量 i=I msin(ωt+φi ) ，從該正弦量出發(fā)，最終推導(dǎo)出與它對應(yīng)的相量，中間要用到復(fù)數(shù)作為過渡的橋梁。為此，下面在同一個(gè)電阻 R上分別流過直流電流 I和交流電流 i， “ 有效 ” 是指它們對電阻 R的作功上的等效。 ⑶ φ = 90176。 例 如 正 弦 電 壓 u(t)=Umsin(ωt+φ u )和正弦電流 i(t)=Imsin(ωt+φ i )，則 u和 i的相位差 φ 0， u超前 (領(lǐng)先 )i， 或 i滯后 (落后 )u； φ 0， i超前 (領(lǐng)先 )u，或 u滯后 (落后 )i。由于正弦量是周期變化的，所以規(guī)定其主值范圍是 。正弦交流電流的大小和方向都是隨時(shí)間按正弦規(guī)律而變化的。 在電路中，如果電壓或電流隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，我們稱為正弦量。其主要的原因是：第一 ,利用電子設(shè)備可以很方便地將交流電整流成直流電。 , 復(fù)數(shù) A的實(shí)部 復(fù)數(shù) A的虛部 復(fù)數(shù) A的代數(shù)形式 已知復(fù)數(shù) B的代數(shù)形式 B=8j6 復(fù)數(shù) B的模 復(fù)數(shù) B的幅角 復(fù)數(shù) B極坐標(biāo)形式 在復(fù)平面上分別畫出復(fù)數(shù) A和復(fù)數(shù) B，用作圖法畫出和矢量 A+B，如圖 4 4所示。在數(shù)學(xué)中用字母 i表示虛數(shù)單位，但是在電路理論中為了避免和電流符號相混淆，而改用 j來表示。 ※ 正弦交流電路的計(jì)算 。1 4 正弦交流電路 周冬婉 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 2 本章知識要點(diǎn)： ※ 相關(guān)數(shù)學(xué)知識 。 ※ 復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納 。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 3 復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)運(yùn)算 相關(guān)數(shù)學(xué)知識 圖 41 復(fù)平面上的復(fù)數(shù)表示 1. 復(fù)數(shù)及其表達(dá)形式 1）代數(shù)形式 一個(gè)復(fù)數(shù) A是由實(shí)部和虛部組成 jbaA ??,]Re[ aA ? bA ?]Im[1??j 式中 稱為虛數(shù)單位。 j 2）乘、除法運(yùn)算 ? ?abjabC A B a b a b e ???? ?? ? ? ? ? ?abjjA aeCB be??? ??3）旋轉(zhuǎn)因子 根據(jù)歐拉公式有 2 c o s s in22je j j? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 7 解：已知復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式 A=10∠45 176。 圖 44 例 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 8 正弦交流電 正弦信號在日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中得到非常廣泛的應(yīng)用。第三 ,從信號分析和計(jì)算角度看，正弦周期函數(shù)是最簡單的周期函數(shù)，其它非正弦周期函數(shù)均可用傅里葉級數(shù)將其分解成直流分量及一系列不同頻率的正弦分量的疊加。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 9 圖 45 正弦量 1. 正弦量的三要素 有一段正弦電流電路，如圖 4－ 5（ a）所示，其上通過的交流電流如圖（ b）的波形圖。 φ i 是正弦量在 t＝ 0時(shí)刻的相位角，稱為初相位，即 ，相位的單位是弧度（ rad）或度。 2 2 fT?????（ 2）角頻率 正弦量變化的快慢用角頻率 ω表示，它是正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的角速度，即 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 11 2. 同頻率正弦量的相位差 為了比較兩個(gè)同頻率正弦量隨時(shí)間變化過程的先后次序 ， 我 們 引 出 了 相 位 差 的 概 念 。 ( ) ( )u i u itt? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?圖 46 電壓與電流同相 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 12 圖 47 電壓與電流反相 圖 48 電壓與電流正交 ⑵ φ = ? ?， u和 i反相 ， 如圖 4－７ 。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 13 圖 49 交流電的有效值 3． 正弦量有效值 （ 1）定義 所謂有效值是指在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)一個(gè)交流量的作功和一定數(shù)值的直流量作功相等時(shí)，與這個(gè)交流量有相同的熱效應(yīng)的直流電的量值就是有效值。上式可以適用于任何交流電量的有效值計(jì)算。 ()2 ijtC I e ???? ijI Ie ??一一對應(yīng) 數(shù)學(xué)記法 復(fù)數(shù) 相量 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 18 圖 4－ 10中的第三步，由正弦量 → 相量，即分析如何用相量表示正弦量。正弦量對應(yīng)的相量是 10 2 si n( 30 10 30i t I?? ? ? ? ?。 ）湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 19 圖 411 相量圖舉例 2AI?其中 （相量）， jtBe?? （旋轉(zhuǎn)因子） 2. 相量圖及旋轉(zhuǎn)相量 因?yàn)橄嗔渴且环N特殊的復(fù)數(shù)，相量和復(fù)數(shù)一樣，可在復(fù)平面上用矢量表示，這種相量在復(fù)平面上的幾何表示圖稱為相量圖。()2 ijtC I e ????22ij j t j tC I e e I e A B? ??? ? ? ? ? ?－。湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 20 圖 412 正弦量與旋轉(zhuǎn)相量 如圖 4－ 12所示，這也表示了復(fù)指數(shù)函數(shù)的幾何意義。 例如由電容元件的積分關(guān)系， ，同樣可以得出 的相量是 ， 故有 Uc1ccu i d tC? ?ci dt?CIj?ccIUjC??電容元件時(shí)域和相量分析過程示意圖如下： 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 25 一個(gè)正弦量對時(shí)間微分，用相量表示后，就變成了對應(yīng)相量乘以 jω； 一個(gè)正弦量對時(shí)間積分，用相量表示后，就變成了對應(yīng)相量除以 jω。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 27 圖 413 例 5. 例題 例 電路如圖所示， C=1/2F電容中通以正弦電流 i=2sin(t+30176。 電壓和電流同相位 ui???湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 29 圖 415 電阻的相量分析 2. 相量分析 設(shè)電流相量 故 ,iII ???uiU U R IU R I I G U??? ? ? ???或 上式即電阻元件的 VCR的相量形式。 。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 32 3. 感抗和感納 因?yàn)? ，得 ，顯然 ωL反映了電感對 正弦電流的阻礙作用， ωL稱為感抗，單位為歐姆，用符號 XL表 示。用符號 BL表示，所以感納的定義是 11LLB XL???湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 34 圖 419 例 4. 例題 例 已知 求 ：（ 1） （ 2）電流相量 （ 3）畫相量圖 HzfUHL 50,0220, ???? ??LL BX ,I? HzfUH 50,02 2 0,1 2 ??? ????? 402 fLX L ?SXBLL 02 1 ??AjLj UI ???? 0220 ?????? ?（ 3）相量圖如圖 419所示 （ 2） 解：（ 1） 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 35 圖