高二數(shù)學(xué)三角變換與解三角形-全文預(yù)覽
【正文】 一． ( 2 ) 在 △ M N P 中， ∠ M N P ＝ 1 2 0 176。 ) ． ∵ 0 176。＝NPsi n θ＝MNsi n ( 60176。 . ( 1 ) 求 A ， ω 的值和 M ， P 兩點(diǎn)間的距離； ( 2 ) 應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道 M N P 最長？ 思維啟迪 （ 1 ）結(jié)合圖形， 聯(lián)想 y = A s i n ω x 的性質(zhì)→ 求 A 、 ω 的值 → 確定 M 、 P 的坐標(biāo) → 求兩點(diǎn)間的距離． ( 2 ) 可考慮以 ∠ P MN ＝ θ 的大小為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，即確定 θ為何值時(shí)，折線段賽道 M N P 最長．或考慮 MN 與 NP的關(guān)系為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)． 解 方法一 ( 1 ) 依題意，有 A ＝ 2 3 ，T4＝ 3 ， 又 T ＝2πω， ∴ ω ＝π6. ∴ y ＝ 2 3 si nπ6x . 當(dāng) x ＝ 4 時(shí)， y ＝ 2 3 si n2π3＝ 3 ， ∴ M ( 4 , 3 ) ，又 P ( 8 , 0 ) ， ∴ MP ＝ 42＋ 32＝ 5. ( 2 ) 在 △ M N P 中， ∠ M N P ＝ 1 2 0 176。 － B ) ＝32co s B ＋12si n B ＝ si n ( 6 0 176。 s i n C . ( 1 ) 求 A 的大小； ( 2 ) 求 si n B ＋ s i n C 的最大值． 解 ( 1 ) 由已知，根據(jù)正弦定理得 2 a2＝ (2 b ＋ c ) b ＋ (2 c ＋ b ) c ，即 a2＝ b2＋ c2＋ bc . 由余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc co s A ， 所以 co s A ＝－12， 又 0 176。 co sα2＝32， ∴ si n α ＝12. ∵ α ∈ (π2， π) ， ∴ α ＝5π6. ∴ co s α ＝ －32. ( 2 ) ∵ β ∈ (π2， π) ， ∴ α － β ∈ ( －π6，π3) ． 又 si n ( α － β ) ＝－35， ∴ c o s( α － β ) ＝ 1 － ( －35)2＝45， ∴ c o s β ＝ c o s [ α － ( α － β )] ＝ c o s α c o s α s i n β . ( 2 ) c o s( α 177。 ，BC ＝ 20 3 ( 海里 ) ， 在 △ D B C 中，由余弦定 理，得 CD2＝ BD2＋ BC2－2 BD ＝5 3 ( 3 ＋ 1 )3 ＋ 12 ＝ 10 3 ( 海里 ) ． 又 ∠ D BC ＝ ∠ D BA ＋ ∠ A BC ＝ 3 0 176。si n 4 5 176。 si n 4 5 176。 ＋ 3 0 176。 － 4 5 176。 且與 B 點(diǎn)相距 20 3 海里的 C 點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為 30 海里 / 時(shí)，該救援船到達(dá) D 點(diǎn)需要多長時(shí)間？ 解 由題意知 AB ＝ 5 ( 3 ＋ 3 ) 海里， ∠ D BA ＝ 9 0 176。第 2 講 三角變換與解三角形 感悟高考 明確考向 ( 2 0 1 0 的 D 點(diǎn) 有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于 B 點(diǎn)南偏西 60176。 ， ∠ D AB ＝ 9 0 176。 － ( 4 5 176。 si n ∠ D ABsi n ∠ AD B＝5 ( 3 ＋ 3 ) si n 4 5 176。 si n 6 0 176。 ) ＝ 60176。 β ) ＝ si n α c o s β 177。 t a n β1 ? t a n α t a n β. 2 ．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ( 1 ) si n 2 α ＝ 2 si n α c o s α . ( 2 ) c o s 2 α ＝ c o s2α － si n2α ＝ 2 c o s2α － 1 ＝ 1 － 2 s i n2α . ( 3 ) t a n 2 α ＝2 t a n α1 － t a n2α. 3 ． 三角恒等式的證明方法 ( 1 ) 從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊，一般是化繁為簡． ( 2 ) 等式的兩邊同時(shí)變形為同一個(gè)式子． ( 3 ) 將式子變形后再證明． 4 ．正弦定理 asi n A＝bsi n B＝csi n C＝ 2 R (2 R 為 △ AB C 外接圓的直徑 ) ． 變形： a ＝ 2 R s i n A ， b ＝ 2 R s i n B ， c ＝ 2 R s i n C . si n A ＝a2 R， si n B ＝b2 R， si n C ＝c2 R. a ∶ b ∶ c ＝ si n A ∶ s i n B ∶ s i n C . 5 ．余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c o s A ， b2＝ a2＋ c2－ 2 ac c o s B ， c2＝ a2＋ b2－ 2 ab c o s C . 推論： c o s A ＝b2＋ c2－ a22 bc， c o s B ＝a2＋ c2－ b22 ac， c o s C ＝a2＋ b2－ c22 ab. 變形： b2＋ c2－ a2＝ 2 bc c o s A ， a2＋ c2－ b2＝ 2 ac c o s B ， a2＋ b2－ c2＝ 2 ab c o s C . 6 ． 面積公式 S △ABC＝12bc si n A ＝12ac si n B ＝12ab s i n C . 7 ． 解三角形 ( 1 )
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