線性代數(shù)-二次型-課件-全文預(yù)覽
【正文】 而，有,011 ?a ,022211211 ?aaaa,?。,.1 AAxxf T 求出將二次型表成矩陣形式 ? 。第一節(jié) 方陣的特征值與特征向量 二次型 的概念一、特征值與特征向量的性質(zhì)三、特征值與特征向量的求法二、特征值與特征向量四 、 小 結(jié) 、 思 考 題特征值問題與二次型 第六章 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 的概念一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二、二次型的表示方法三、二次型的矩陣及秩的正交變換法四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形五 、 小 結(jié) 、 思 考 題一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念 ? ?nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,?????????????稱為二次型 . 的二次齊次函數(shù)個變量含有定義 nxxxn , 1 21 ?。 的二次型叫做實對稱矩陣 Af. 的秩的秩叫做二次型實對稱矩陣 fA解 ,a,a,a 321 332211 ????,aa 22112 ?? ,aa 03113 ??.aa 33223 ???.330322021??????????????? A.6432 3221232221的矩陣寫出二次型xxxxxxxf ?????例１ 2例 試寫出二次型3122214321 423),( xxxxxxxxf ???.A的矩陣解 陣應(yīng)為依題意，該二次型的矩??????????????0000000200200203A3例 試寫出二次型 ? ?????????????????????????321321020511132,xxxxxxf.A的矩陣解 實對稱矩陣，故由于二次型的矩陣必是而有????????????????????????????022520122512312012312A??????????????0272127112112???????????????????nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx????????????????22112222121212121111,設(shè)有可逆 線性變換 四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求 可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形． ),( c ijC ?若記矩陣 記作則上述可逆線性變換可 Cyx ?Axxf T?有將其代入 , Axxf T?? ? .yACCy TT?? ? ? ?CyACy T?? ? ? ? ., 0ArBrBAACCBC T??且也為對稱矩陣則矩陣為對稱如果令任給可逆矩陣定理2 2 21212T TnnA C y y y yy C k k k? ? ? ??2定義 , PnBAn 階滿秩陣若存在和階方針對使成立 APPB T? BA 與則稱 .合同形的問題就轉(zhuǎn)變成如何于是，化二次型為標(biāo)準(zhǔn).對角矩陣的問題使實對稱矩陣合同于實即有用于二次型因此把這個結(jié)論應(yīng)即使總有正交矩陣陣由于對任意的實對稱矩,., 1?????APAPPAPPT? ?化為標(biāo)準(zhǔn)形使正交變換總有任給二次型fPyxaaxxaf jiijnjijiij, 1,??? ??,2222211 nn yyyf ??? ???? ?? ? ., 21 的特征值的矩陣是其中 ijn aAf ???? ?1定理.1的特征值系數(shù)一定是準(zhǔn)形經(jīng)過正交變換化成的標(biāo)、AAxxf T?說明 時，必有在持向量的長度不變，即而言，正交變換將保、對正交變換QyxQyx??222 yx ?事實上，)()(,2 QyQyQyQyxxx T???????2, yyyyyQyQy TTT ??????用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟 。,.4212121nnnC ?????????????記得單位化正交化將特征向量 .,.52211 nn yyffCyx?? ?????的標(biāo)準(zhǔn)形則得作正交變換 1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 ?????????????????144241422217A???????????????
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