【正文】 左端、在b的右端還是位于區(qū)間之內(nèi)，因此需要分類討論的就是分這三類。困難的地方在于函數(shù)有參數(shù)的問題。第二點就是求定義域，是求最核心的自變量的范圍。復合函數(shù)求定義域是很嚴格的。函數(shù)性質(zhì)和圖像的內(nèi)容，同樣要看學生是否都知道，如果掌握的不是特別清楚，那么都屬于基礎(chǔ)知識層面的問題。只有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是在高中的時候新學的，其他函數(shù)都是以前的時候就學過的。在總復習的過程中側(cè)重于整體性，所以可以先了解一下學生是否有一個整體的框架。原因在于，同學們感覺學校老師復習得很快。數(shù)學認知結(jié)構(gòu)受個體認知特點的制約，具有濃厚的認知主體性與鮮明的個性色彩。 高中數(shù)學函數(shù)學生常見問題以及函數(shù)常見題型、解法指導一、學生常見問題：（一）、認知層面的問題：這個問題是在高一學習函數(shù)時就一直在困擾學生的問題。通俗地說：數(shù)學認知結(jié)構(gòu)就是人們按照自己的經(jīng)驗與理解，根據(jù)自己的感知、記憶、思維的特點，把數(shù)學知識在大腦中組合而成的具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。（二）、基礎(chǔ)知識層面的問題：在進行高三復習的時候，同學們普遍的反映都不太好。（因此這里學生會出現(xiàn)的問題就是基礎(chǔ)知識不扎實）那么我們在具體的操作中，首先應該了解學生復習的程度。（框架完善了，就要看基礎(chǔ)知識點是否真的落實）首先這六大基礎(chǔ)函數(shù)，學生是否都了解呢？包括：正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)。復合函數(shù)就是這種形式的函數(shù)，因此在跟學生交流的時候，如果學生沒有這樣一個整體知識框架，可以讓學生首先熟悉這一塊的內(nèi)容，因為這是屬于知識層面比較基礎(chǔ)的部分。其實就是兩點：首先，只要是同一函數(shù)對應法則，括號內(nèi)的式子的范圍都是一樣的。簡單的二次函數(shù)，就可以通過頂點和最值等來求值域。解決的辦法只有一種，即分類討論。7.“”法。（3）求解析式（方法比較少，考得也不多） 和 湊利用它的形式，湊出這樣的形式，這要求學生做題目比較有感覺。學生面臨的問題就是比較偏向于用一個特定的數(shù)代入函數(shù)，以此來判斷函數(shù)的單調(diào)性或者奇偶性等。二、解決學生認知障礙的策略：（1）在高一新學期開始之時，做好如下幾件事：一是要對學生進行高中數(shù)學知識結(jié)構(gòu)特點和知識系統(tǒng)構(gòu)成的講解，使其盡快進入角色，盡快適應高中數(shù)學知識學習的要求。具體可以從初、高中的教材教法、思想方法和學習方法的差異入手進行調(diào)整，與高中比較，初中明顯存在著時間多、形象記憶多、強化訓練多，教材內(nèi)容少、抽象思維少、靈活應用少；讓學生了解在初中通過強化記憶和題海戰(zhàn)術(shù)來提高成績是可能的，甚至是行之有效的方法。在這方面要充分發(fā)揮教師的主導作用，充分利用課堂教學的便利條件，在課堂教學過程中要有意識地進行新、舊知識和新、舊方法的對照、比較。一方面要積極發(fā)揮其直觀、形象記憶好的優(yōu)勢，另一方面要通過課堂教學發(fā)展其抽象、形式的思維方法，樹立學習信心，培養(yǎng)學習興趣，以期盡快消除數(shù)學認知的障礙，走出數(shù)學學習的誤區(qū)。（5）針對學生由于數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的動態(tài)性所造成的認知障礙，還是要從動態(tài)性入手加以解決。其次在日常教育教學過程中要充分發(fā)揮數(shù)學認知結(jié)構(gòu)動態(tài)能動性的積極作用，當新的問題情景出現(xiàn)的時候要積極引導學生用他們過去已有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)對所面臨的問題進行加工和處理，在這個過程中教師要通過創(chuàng)設(shè)不同的問題情景，強化新、舊知識結(jié)構(gòu)和新、舊認知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，引導學生不斷的補充、修正過去已有的知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)，加快建立新的知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)，以盡快適應高中數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)的要求。在舊的認知結(jié)構(gòu)平衡被打破、新的認知結(jié)構(gòu)平衡重新建立的過程中，數(shù)學教師起著重要的作用，只要我們能持之以恒，不斷研究，就能夠在一定程度上消除數(shù)學認知障礙，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的平衡與和諧，從而實現(xiàn)有效學習，達 到掌握學習的目的。實際上是已知中間變量的的取值范圍，即。先利用求得的范圍，則的范圍即是的定義域。解： （1）用來代替，得 （2）由四、反函數(shù)法：例10：已知，求.解：設(shè)，則 即代入已知等式中，得：五、特殊值法：例11：設(shè)是定義在N上的函數(shù)，滿足，對于任意正整數(shù)，均有，求.解：由，設(shè)得：即：在上式中，分別用代替，然后各式相加可得：六、累差法：例12：若，且當，求.解：遞推得： ……………………………………以上個等式兩邊分別相加，得：七、歸納法：例13：已知，求.解：………………………………，依此類推，得再用數(shù)學歸納法證明之。1, 　　這不是一一映射，？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},，也具有反函數(shù)（即自身）. 　　三、求反函數(shù)的一般步驟 　　1．求D,因為原函數(shù)的值域R是反函數(shù)的定義域，這定義域在結(jié)論中是必須指出的. 　　2．在原函數(shù)的解析式中反求x，寫成x=g(y). 　　3．x, y互換，即將反函數(shù)寫成y=g(x)因為習慣上通常將x作為自變量. 　　4．下結(jié)論（注意給出反函數(shù)定義域） 　　四、例題. 　　例1．已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函數(shù). 　　分析：這里要先求f(x)的范圍（值域）. 　　解：∵0≤x≤4,　　∴0≤x2≤16, 9≤25x2≤25,　∴ 3≤y≤5, 　　∵ y=, y2=25x2,　∴ x2=25y2.　　∵ 0≤x≤4,　∴x=(3≤y≤5) 　　將x, y互換，∴ f(x)的反函數(shù)f1(x)=(3≤x≤5). 　　例2．(x+1)=x23x+2, x∈(∞,),(x). 　　分析：本題是求函數(shù)解析式與求反函數(shù)兩類問題的稼接，因此可套用相應方法分別處理. 　　解：(1)求f(x)解析式（用換元法）令t=x+1, ∴t, x=t1, 　　∴ f(t)=(t1)23(t1)+2=t25t+6, t∈(∞,).　　即y=f(x)=x25x+6, x∈(∞,). 　　這是f(x)的單調(diào)區(qū)間，存在反函數(shù). 　　(2)求反函數(shù)易知 y∈(,+∞).y=(x)2, (x)2=y+, 　　∵ x, x0,　　∴ x=(y).　　∴ x=(y). 　　∴ f1(x)=(x). 　　例3．已知f(x)=，求f1(x). 　　分析：求分數(shù)函數(shù)的反函數(shù)問題，應逐段求其反函數(shù)，再合并. 　　解：當x≥0時，y=x+1≥1,　　∴y∈[1,+∞),∴ f1(x)=x1 (x≥1) 　　當x0時，y=1x21,　　∴ y∈(∞,1).反解 x2=1y, x=(y1) 　　∴ f1(x)=(x1)　　∴ 綜上f1(x)=. 　　例4．已知f(x)=(x≥3), 求f1(5). 　　分析：這里應充分理解和運用反函數(shù)的自變量就是原函數(shù)的函數(shù)值，所求的反函數(shù)的函數(shù)值就是原函數(shù)的自變量這一事實，轉(zhuǎn)化成方程問題. 　　解：設(shè)f1(5)=x0, 則 f(x0)=5,即 =5 (x0≥3)　　∴ x02+1=5x05, x025x0+6=0. 　　解得：x0=3或x0=2(舍）∴ f1(5)=3. 　　例5．設(shè)點（4，1）既在f(x)=ax2+b (a0,x0)的圖象上，又在它的反函數(shù)圖象上，求f(x)解析式. 　　分析：（4，1）在反函數(shù)的圖象上，則點（1，4）,b的點，也就有了兩個求解a,b的方程. 　　解：　　=, b=,　∴ f(x)=x+. 　　，交點不一定都在直線y=. 　　例6．已知f(x)=的反函數(shù)為f1(x)=,求a,b,c的值. 　　分析：注意二者互為反函數(shù)，也就是說已知函數(shù)f1(x)=的反函數(shù)就是含字母的反函數(shù)f(x). 　　解：求f1(x)=的反函數(shù)，令f1(x)=y有yx3y=2x+5.　　∴ (y2)x=3y+5