圓錐曲線的綜合問題(理)-全文預(yù)覽
【正文】 |1 時， AD FB ＝ | AF | ( EF ＋ FB ) 返回 ＝ AF 溫州五校第二次聯(lián)考 ) 過雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( b 0 ， a 0) 的左焦點(diǎn) F ( － c, 0)( c 0) 作圓 x2＋ y2＝a24的切線，切點(diǎn)為 E ，延長 FE 交雙曲線右 支于點(diǎn) P ，若 OE ＝12( OF ＋ OP ) ，則雙曲線的離心率為 ( ) A.102 B.105 C. 10 D. 2 返回 解析： 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 M ， ∵ OE ⊥ PF ， ∴ 在 Rt △ OEF中， | EF | ＝ c2－a24，又 OE ＝12( OF ＋ OP ) ， ∴ E 是 PF 的中點(diǎn)， ∴ | PF | ＝ 2 c2－a24， | PM | ＝ a ( 三角形中位線定理 ) ，又| PF | － | PM | ＝ 2 a ， 即 2 c2－a24－ a ＝ 2 a ， ∴ 離心率 e ＝ca＝102. 答案： A 返回 [沖關(guān)錦囊 ] 研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù)．但對于選擇、填空，常充分利用幾何條件，數(shù)形結(jié)合的方法求解 . 返回 [ 精析考題 ] [ 例 2] (2 0 1 1 鄭州模擬 ) 已知圓 C ： ( x ＋ 3 )2＋ y2＝ 16 ，點(diǎn) A ( 3 ， 0) ， Q 是 圓上一動點(diǎn)， AQ 的垂直平分線交 CQ 于點(diǎn) M ，設(shè)點(diǎn) M 的軌跡為 E . (1) 求軌跡 E 的方程； (2) 過點(diǎn) P (1,0) 的直線 l 交軌跡 E 于兩個不同的點(diǎn) A ， B ， △ AOB ( O 是坐標(biāo) 原點(diǎn) ) 的面積 S ＝45，求直線 AB 的方程． 返回 [ 自主解答 ] (1) 由題意 | MC | ＋ | MA | ＝ | MC | ＋ | MQ | ＝ | CQ | ＝ 42 3 ， 所以軌跡 E 是以 A ， C 為焦點(diǎn)，長軸長為 4 的橢圓， 即軌跡 E 的方程為x24＋ y2＝ 1. (2) 記 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 由題意，直線 AB 的斜率不可能為 0 ，而直線 x ＝ 1 也不滿足條件， 故可設(shè) AB 的方程為 x ＝ my ＋ 1. 由????? x2＋ 4 y2＝ 4 ，x ＝ my ＋ 1 ，消 x 得 (4 ＋ m2) y2＋ 2 my － 3 ＝ 0 ， 返回 所以??????? y1＋ y2＝－ 2 m4 ＋ m2 ，y1 ，若直線 l與拋物線 x2＝ 2py(p0)交于 A， B兩點(diǎn)，若 A， B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 3，則拋物線的方程為 ____________________． 返回 解析： 設(shè)直線 l 的方程為 y ＝ 3 x ＋ b ，聯(lián)立????? y ＝ 3 x ＋ bx2＝ 2 py，消去 y ， 得 x2＝ 2 p ( 3 x ＋ b ) ，即 x2－ 2 3 px － 2 pb ＝ 0 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 2 3 p ＝ 3 ， ∴ p ＝32，拋物線的方程為 x2＝ 3 y . 答案： x 2 ＝ 3 y 返回 5 ．已知 F 1 為橢圓 C ：x22＋ y2＝ 1 的左焦點(diǎn)，直線 l ： y ＝ x － 1 與橢圓 C 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，那么 | F 1 A | ＋ | F 1 B | 的值為 ________ ． 解析： 設(shè)點(diǎn) A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，則由????? x22＋ y2＝ 1y ＝ x － 1消去 y 整理得 3 x2－4 x ＝ 0 ，解得 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝43，易得點(diǎn) A (0 ，－ 1) 、 B (43，13) ．又點(diǎn) F 1 ( －1,0) ，因此 | F 1 A | ＋ | F 1 B | ＝ 12＋ ? － 1 ?2＋ ?73?2＋ ?13?2＝8 23. 答案：8 23 返回 (1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要涉及弦長、弦中點(diǎn)、 對稱、參數(shù)的取值范圍、求曲線方程等問題．解題中要 充分重視根與系數(shù)的關(guān)系和判別式的應(yīng)用． 返回 (2)當(dāng)直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用 “根 與系數(shù)的關(guān)系 ”設(shè)而不求計算弦長 (即應(yīng)用弦長公式 )； 涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用 “點(diǎn)差法 ”設(shè)而不求，將弦 所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn) 化．同時還應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件，尋找量與 量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍．解題的主 要規(guī)律可以概括為 “聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦 長，根的
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