【正文】 0()Nkkb Hza ?? ? 其中 是二階（或一階）系統(tǒng)函數(shù)。 ()Hz 的 ROC需要通過其它條件確定，如： 。已知它的正向傳輸 ，而它的反向傳輸 ，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K值范圍。 ()hn ()Hz()Hz即 的 ROC必包括單位圓。 ()Hzz ??1. 因果性： 如果 LTI系統(tǒng)是因果的，則 時(shí) ( ) 0 ,hn ?0n? 稱為 系統(tǒng)函數(shù)。 22( ) ( )x n X z? 2RO C : R1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x n x n X z X z??則 信號(hào)與系統(tǒng) 例題 例 計(jì)算卷和 ? ? ? ?1 2 1 2,nnu n u n? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?12 111212111 2 1 2111212121111111nnnnnnu n u nzzzzu n u n u n??????? ? ? ?????????????? ? ??????? ??? ? ???????信號(hào)與系統(tǒng) 例題 例 計(jì)算 的 z變換 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?212 1112111111111n n nn n n nnn a u n a u n a u nazna u n a u n a u n a u nazazazna u naz?????? ? ? ??? ? ? ? ?????? ?nuna n8. Z域微分： 例 1. 1( ) l n( 1 )X z az ??? za? 利用該性質(zhì)可以方便地求出某些非有理函數(shù) 的反變換，或具有高階極點(diǎn)的 的反變換。由于 也是 的零 /極點(diǎn)，因此 iz 1/ iz 1()Xz?()Xziz? ()Xz1/ iz? 也是 的零 /極點(diǎn)。 00 jze?? 若 是一般復(fù)數(shù) ，則 的零極點(diǎn)不僅要將 的零極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，而且在徑向有 倍的尺度變化。 ? ? ? ? ? ?zFznumnf m???? ? ? ?zFzmnf m???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????????????????????????????????mkkmmkkkkmmkkmnmnmnnzkfzFzzkfzkfzzkfzzmnfzzmnf11000信號(hào)與系統(tǒng) z變換時(shí)移性質(zhì) 例 求輸入為 的一階 LTI離散系統(tǒng) 在初始條件 下的系統(tǒng)響應(yīng)。 2. 時(shí)移： 但在 和 可能會(huì)有增刪。其特性相當(dāng)于兩個(gè)一階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的結(jié)果。由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)， 和 的變化速率越慢。 a()hn()sn? 越大，極點(diǎn)靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，相位的非線性程度越厲害。 1 1,V ? ()jHe ? 2V?當(dāng) 時(shí)， 01a????? ()jHe?當(dāng) 時(shí)， 有最小值。 iz0n? 時(shí)， 對(duì)有理函數(shù)的 由留數(shù)定理有： ()Xz 當(dāng) ROC包括 時(shí)， Z 變換在單位圓上的情況就是 ，因此也可以利用零極點(diǎn)圖對(duì)其進(jìn)行幾何求值。 冪級(jí)數(shù)展開法適合用來求解非有理函數(shù)形式 的反變換。 ? 由于 左邊序列 的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個(gè) Z的正冪項(xiàng)，所以要 按升冪長(zhǎng)除。 ??zF 1pz ?? ?zF 1pz ?信號(hào)與系統(tǒng) 例題 例 計(jì)算 的 z反變換。 ? 02??1. 部分分式展開法： 1() 1ii iAXzaz ?? ??11( ) ( )2ncx n X z z dzj? ??? ?其中 C 是 ROC 中逆時(shí)針方向的圓周。 3 1 23 z??()xnROC是否包括 ，是 是否反因果的標(biāo)志。 za?例 2. ( ) , 0nx n b b??( ) ( ) ( 1 )nnx n b u n b u n?? ? ? ?11( ) ,1nb u n z bbz ????1111( 1 ) ,1nb u n z bbz????? ? ? ? ?? 在 時(shí)，兩個(gè)子收斂域無公共部分，表明此時(shí) 不存在。 1 0N ?z()Xz?5. 左邊序列的 ROC是某個(gè)圓的內(nèi)部，但可能不包括 。 ()Xz21 0NN????當(dāng) 時(shí)，在 的展開式中，只有 z的正冪項(xiàng)，故 z不能為 ，但可以取 0。 1. 的 ROC是 Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。 6）若 的 ROC包括單位圓，則有 ()Xz( ) ( ) | jj zeX e X z ?? ??三 . 的幾何表示 — 零極點(diǎn)圖： ()Xz()()()( ) ( )iippzzNzX z MD z z z??????()Xz 如果 是有理函數(shù)，將其分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式分別因式分解可以得到： 由其全部的零、極點(diǎn)即可確定出 ，最多相差一個(gè)常數(shù)因子 。 3） Z變換的 ROC，一般是 Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。 單位圓 1 ImReZ平面 a ()xn 的 DTFT存在 例 2. ( ) ( )x n u n?101()1nnX z z z?????? ?? 1z ? 此時(shí)， ROC不包括單位圓，所以 不能從 簡(jiǎn)單通過將 得到 。 1. 并非任何信號(hào)的 Z變換都存在。 1r? jze??( ) ( ) [ ( ) ]j n j n nnX r e x n r e x n r???? ? ?? ? ???? F( ) ( ) nnX z x n z??? ? ?? ? jz re ??其中 是一個(gè)復(fù)數(shù)。 Z 變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。 6. 用 Z變換表征 LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)， LTI系統(tǒng) 的 Z變換分析法，系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)與并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。第 10章 Z變換 The ZTransform 本章主要內(nèi)容 1. 雙邊 Z變換及其收斂域 ROC。 5. 常用信號(hào)的 Z變換， Z變換的性質(zhì)。 Z 變換與拉氏變換相對(duì)應(yīng)，是離散時(shí)間傅立葉變換的推廣。 這表明： DTFT就是在單位圓上進(jìn)行的 Z變換。 ()xn () nx n r?二 . Z變換的 ROC： Z變換與 DTFT一樣存在著收斂的問題。 ()Xz()Xz()Xz例 1. ( ) ( )nx n a u n?101()1nnnX z a z az?????? ??時(shí)收斂 za?當(dāng) 時(shí)， 1a ?1()1jjXe ae???? ? za?此時(shí)， ROC包括了單位圓。 ()Xz()Xz()Xz()xn2）僅僅由 的表達(dá)式不能唯一地確定一個(gè)信號(hào)，只有 連同相應(yīng)的 ROC一道，才能與信號(hào) 建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 ( ) ( )iix n x n? ? ()ixn()xn()Xz()Xz5）當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，其 ROC的邊界總是由 的極點(diǎn)所在的圓周界定的。 ()Xz()Xz 零極點(diǎn)圖對(duì)描述 LTI系統(tǒng)和分析 LTI系統(tǒng)的特性，具有重要的用途。 21( ) ( )NnnNX z x n z ??? ?由 ?當(dāng) 時(shí)，在 的展開式中，只有 z的負(fù)冪項(xiàng)，故 z不能為 0，但可以取 。 z ??()xn設(shè) 是右邊序列， ()xn 1Nn? ? ?1( ) ( ) nnNX z x n z???? ?由 ， 有 若 則， 0 R O Czr??10()nnNx n r??????10rr?則 如果 ， 110101( ) ( ) ( )nn nn N n Nrx n r x n rr??????????11001( ) ( )n NnNrx n rr???? ? ? ?? 1 R O Czr? ? ? 當(dāng) 時(shí) ,由于 展開式中有若干個(gè) Z的正冪項(xiàng)，此時(shí) 不能為 。 例 1. ()xn ??, 0 1 ,na n N? ? ? 0a?0, 其他 n11101()1 ( )N N N NNnnNna z z aX z a za z z z a????????? ? ????極點(diǎn)： za? （一階） 0z? （ N－ 1階） 零點(diǎn)： 2jkNz ae ??( 0 , 1 1 )kN? ??? ?? ?jIm z? ?Re z( 8)N ?a? a0 ( 1)N?R O C : 0z ? 在 處，零極點(diǎn)抵消，使有限 z平面內(nèi)無極點(diǎn)。 2 13z ?()xn 時(shí) 是雙邊序列，其傅立葉變換存在。 ? 收斂域以 極點(diǎn)為界 ； ? 對(duì)于多個(gè)極點(diǎn)的情況， 右邊序列 的收斂域是從最大的極點(diǎn)向外至無窮遠(yuǎn) （可能包括無窮遠(yuǎn)）；反之， 左邊序列 的收斂域由 最小的極點(diǎn)向內(nèi)至原點(diǎn) （可能包括原點(diǎn)）； 雙邊序列 的收斂域若存在則為 圓環(huán) ； 有限序列 的收斂域?yàn)?整個(gè)平面（ 0與無窮遠(yuǎn)位置是否包括在內(nèi)要視信號(hào)的形式 ）； Z反變換 ( ) ( )j n j nnX r e x n r e?????? ? ?? ?21( ) ( )2n j j nx n r X r e e d???????? ?21( ) ( )2j n j n