【正文】 A. y*=Axe2x B. y*=(Ax+B)e2x C. y*=x(Ax+B)e2x D. y*=x2(Ax+B)e2x4. 求解微分方程y178。+p(x)y162。 r1=l1 r2=l2通解為由y(0)=0,y162。+(l1+l2)y162。+5y178。 r=177。+13y=0解：r24r+13=0 222。+py162。+2y=0 178。8 常系數(shù)齊次線性微分方程 設(shè)y=ex(C1sinx+C2cosx) (C1,C2 為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程 的通解，則該方程為（ ） 178。+q(x)y=0的解。解：由線性微分方程解的理論，非齊次微分方程y178。+2y=e5x的通解已知二階線性非齊次方程y178。(x)=p則有解得：ln|p|=(x+ln|x+1|)+C由y162。=p，方程化為解得：，由y|x=0= , y162。+p=0 解得 y=C1lnx+C2求y2y178。(0)=得C1= y2=x+C2 代入初始條件得C2=1， y2=x+1 (2) y3y178。)2=0得(y162。+(y162。+y162。=y162。|x=0=的特解為（ ） A. y2=x+C B. C. D. y2=C1x+C2 方程xy178。(x)=j(x)tanx解得j(x)=Ccosx,又因?yàn)閖(0)=1得C=1所以j(x)=cosx 167。(0)=0，并已知yj(x)dx+(sinx j162。(x)=3f(x)+2e2xf162。C降到25176。+u= cosx從而得設(shè)環(huán)境保持恒定溫度20176。+y=y2(cosxsinx)的通解為（ ） A .y=Cexsinx B.=Cexsinx C. Cyexysinx=C =exsinx+C求 通解 解：，令得即=y2eydy解：整理得求 通解 xdyydx=y2eydy解：整理得求初值問(wèn)題的解y(x)，其中a是常數(shù)，f(x)是連續(xù)函數(shù)解：求微分方程y162。=1+2y39。x2+xy=y2滿足y|x=1=1的特解。假定墻壁對(duì)于子彈的阻力和子彈運(yùn)動(dòng)速度平方成正比，求子彈穿透墻壁所用的時(shí)間。ylny=0的通解為（ ）A y=ex B. y=Cex =ecx =ex+C方程滿足初始條件：y162。將代入得：初始條件：y(1)=0, y162。=C1cos(xC2)代入y|x=p=1,y162。=寫成以y為自變量，x為函數(shù)的形式為（ ） A. B. C. x162。=xy162。2 =Cx+y162。 A. (x2y)y162。5函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用 計(jì)算ln2的進(jìn)似值（）解：在lnx的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式中令x=2 ln2=1 考慮誤差范圍可求得ln2 計(jì)算定積分的進(jìn)似值（）解：= = 再考慮誤差范圍可求得 計(jì)算積分的進(jìn)似值，（） 再考慮誤差范圍可求得 167。 二、用比值或根值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 判定級(jí)數(shù)的斂散性 解：1,所以發(fā)散 判定級(jí)數(shù)的斂散性 解：，所以收斂 收斂 ， 收斂三、判別下列級(jí)數(shù)是否收斂。 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 設(shè)級(jí)數(shù)，則其和為（ ） A B C D 若，則級(jí)數(shù)（ ） A 收斂且和為0 B 收斂但和不一定為0 C 發(fā)散 D 可能收斂也可能發(fā)散3 、若級(jí)數(shù)收斂于S，則級(jí)數(shù)（ ） A 收斂于2S B收斂于2S+ C收斂于2S D發(fā)散若，,求 的值解： 所以若級(jí)數(shù)收斂，問(wèn)數(shù)列{}是否有界 解：由于，故收斂數(shù)列必有界。第十章 自測(cè)題一、填空（每題4分，共20分）設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分 （）設(shè)為橢圓，其周長(zhǎng)為,則(12)設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分（）設(shè) 是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是 的整個(gè)邊界的外側(cè)，則設(shè)為球面外側(cè)，則曲面積分 （0）二、選擇題（每題5分，共15分） A． B.C. D.設(shè)取上側(cè)，則下述積分不正確的是A． B. C. D.設(shè)L是從點(diǎn)(0,0)沿折線、y=1|x1|至點(diǎn)A(2,0)的折線段，則曲線積分 為（ ） A 0 B 1 C 2 D –2 三、計(jì)算（每題8分）1．計(jì)算曲面積分，其中為錐面在柱體 內(nèi)的部分 過(guò)和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小 解：。6 高斯公式1. 設(shè)是拋物面介于及之間部分的下側(cè)，求 2．設(shè)為取外側(cè),求 ，則= 5. 求，其中有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，是 所圍立體的外側(cè) ，其中是 及所圍曲面的外側(cè)7.，其中為取外側(cè) 167。 最小，此時(shí) 四、空間每一點(diǎn)處有力，其大小與到軸的距離成反比，方向垂直指向軸，試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿圓周從點(diǎn)到時(shí)，力所作的功解：由已知五、將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,其中L 沿上半圓周解：，于是 167。4 重積分的應(yīng)用(1)、由面積=2x, =4x,y=x,y=0所圍成的圖形面積為（ ） A B C D (2) 、位于兩圓與之間，質(zhì)量分布均勻的薄板重心坐標(biāo)是( ) A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)(3)、由拋物面和平面x=2所圍成的質(zhì)量分布均勻的物體的重心坐標(biāo)是 （ ） A () B () C () D ()(4)、 質(zhì)量分布均勻(密度為)的立方體所占有空間區(qū)域:,該立方體到oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IZ=( ) A B C D 求均勻上半球體(半徑為R)的質(zhì)心解：顯然質(zhì)心在z軸上，故x=y=0,z= 故質(zhì)心為(0,0,) 曲面將球面分割成三部分，由上至下依次記 這三部分曲面的面積為 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3 解： 求曲面包含在圓柱內(nèi)部的那部分面積 解：求圓柱體包含在拋物面和xoy平面之間那部分立 體的體積 解： 第九章 自測(cè)題一、選擇題: （40分） =( ) A B C D. 設(shè)為,當(dāng)( )時(shí),. A 1 B C D 設(shè),其中由所圍成,則=( B ). A B。 1 二重積分的概念與性質(zhì) 由二重積分的幾何意義求二重積分的值 其中D為： ( =) 設(shè)D為圓域若積分=，求a的值。設(shè)三個(gè)正數(shù)為，則，記，令則由 解出。并求該函數(shù)在該點(diǎn)處沿著從 P到方向的方向?qū)?shù)　　( ，)３、設(shè)具有各二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求　解：４、設(shè) 求和。 (B) 。函數(shù) 在(0,0)點(diǎn)處 [ ]A、極限值為1； B、極限值為1；C、連續(xù)； D、無(wú)極限。極大值為。 答案：（，）極小值點(diǎn) 2．求函數(shù)的極值 答案：極小值 3. 函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處取得極值，求常數(shù)a (5) 求函數(shù)在條件下的條件極值解： ，極小值為 欲造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器，已知底部造價(jià)為3元/平方，側(cè)面造價(jià)均為1元/平方，現(xiàn)想用36元造一個(gè)容積最大的容器，求它的尺寸。解：：方向?qū)?shù) 為，該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向即為梯度的方向 ，此時(shí)最大值為 求函數(shù)在（1，1，1）處沿曲線在（1，1，1）處的切線正方向（對(duì)應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù)。 證明曲面）上任意一點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明：令，則 在任一點(diǎn)處的切平面方程為 在在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明曲面上任意一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn)設(shè)F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)t, 總有 k為自然數(shù)，試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點(diǎn)的切平面都相交于一定點(diǎn) 證明 ： 兩邊對(duì)t 求導(dǎo)，并令t=1 設(shè)是曲面上任意一點(diǎn)，則過(guò)這點(diǎn)的切平面為： ++=0 此平面過(guò)原點(diǎn)（0，0，0） 167。4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)，求 解：= 設(shè)，求 設(shè)， 可微，證明 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求， 解： , , = , 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求解： ， 設(shè)，求解：。 2 偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z= ,驗(yàn)證 證明：，求空間曲線在點(diǎn)（）處切線與y軸正向夾角()設(shè), 求 ( 1)設(shè), 求 ， ， 解： ， 設(shè)，證明 : 判斷下面的函數(shù)在(0,0) 處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)（偏導(dǎo)）？說(shuō)明理由 連續(xù)； 不存在， 設(shè)函數(shù) f(x,y)在點(diǎn)（a,b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求 （2fx(a,b)） 167。 證明：當(dāng)時(shí)。 1 多元函數(shù)概念 一、設(shè).二、求下列函數(shù)的定義域：