【正文】 A. y*=Axe2x B. y*=(Ax+B)e2x C. y*=x(Ax+B)e2x D. y*=x2(Ax+B)e2x4. 求解微分方程y178。+p(x)y162。 r1=l1 r2=l2通解為由y(0)=0,y162。+(l1+l2)y162。+5y178。 r=177。+13y=0解：r24r+13=0 222。+py162。+2y=0 178。8 常系數(shù)齊次線性微分方程 設(shè)y=ex(C1sinx+C2cosx) (C1,C2 為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程 的通解，則該方程為（ ） 178。+q(x)y=0的解。解：由線性微分方程解的理論，非齊次微分方程y178。+2y=e5x的通解已知二階線性非齊次方程y178。(x)=p則有解得：ln|p|=(x+ln|x+1|)+C由y162。=p，方程化為解得：，由y|x=0= , y162。+p=0 解得 y=C1lnx+C2求y2y178。(0)=得C1= y2=x+C2 代入初始條件得C2=1， y2=x+1 (2) y3y178。)2=0得(y162。+(y162。+y162。=y162。|x=0=的特解為（ ） A. y2=x+C B. C. D. y2=C1x+C2 方程xy178。(x)=j(x)tanx解得j(x)=Ccosx,又因為j(0)=1得C=1所以j(x)=cosx 167。(0)=0，并已知yj(x)dx+(sinx j162。(x)=3f(x)+2e2xf162。C降到25176。+u= cosx從而得設(shè)環(huán)境保持恒定溫度20176。+y=y2(cosxsinx)的通解為（ ） A .y=Cexsinx B.=Cexsinx C. Cyexysinx=C =exsinx+C求 通解 解：，令得即=y2eydy解：整理得求 通解 xdyydx=y2eydy解：整理得求初值問題的解y(x)，其中a是常數(shù)，f(x)是連續(xù)函數(shù)解：求微分方程y162。=1+2y39。x2+xy=y2滿足y|x=1=1的特解。假定墻壁對于子彈的阻力和子彈運動速度平方成正比，求子彈穿透墻壁所用的時間。ylny=0的通解為（ ）A y=ex B. y=Cex =ecx =ex+C方程滿足初始條件：y162。將代入得：初始條件：y(1)=0, y162。=C1cos(xC2)代入y|x=p=1,y162。=寫成以y為自變量，x為函數(shù)的形式為（ ） A. B. C. x162。=xy162。2 =Cx+y162。 A. (x2y)y162。5函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 計算ln2的進似值（）解：在lnx的冪級數(shù)展開式中令x=2 ln2=1 考慮誤差范圍可求得ln2 計算定積分的進似值（）解：= = 再考慮誤差范圍可求得 計算積分的進似值，（） 再考慮誤差范圍可求得 167。 二、用比值或根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性 判定級數(shù)的斂散性 解：1,所以發(fā)散 判定級數(shù)的斂散性 解：，所以收斂 收斂 ， 收斂三、判別下列級數(shù)是否收斂。 1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 設(shè)級數(shù)，則其和為（ ） A B C D 若，則級數(shù)（ ） A 收斂且和為0 B 收斂但和不一定為0 C 發(fā)散 D 可能收斂也可能發(fā)散3 、若級數(shù)收斂于S，則級數(shù)（ ） A 收斂于2S B收斂于2S+ C收斂于2S D發(fā)散若，,求 的值解： 所以若級數(shù)收斂，問數(shù)列{}是否有界 解：由于，故收斂數(shù)列必有界。第十章 自測題一、填空（每題4分，共20分）設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分 （）設(shè)為橢圓，其周長為,則(12)設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分（）設(shè) 是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是 的整個邊界的外側(cè)，則設(shè)為球面外側(cè)，則曲面積分 （0）二、選擇題（每題5分，共15分） A． B.C. D.設(shè)取上側(cè)，則下述積分不正確的是A． B. C. D.設(shè)L是從點(0,0)沿折線、y=1|x1|至點A(2,0)的折線段，則曲線積分 為（ ） A 0 B 1 C 2 D –2 三、計算（每題8分）1．計算曲面積分，其中為錐面在柱體 內(nèi)的部分 過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小 解：。6 高斯公式1. 設(shè)是拋物面介于及之間部分的下側(cè)，求 2．設(shè)為取外側(cè),求 ，則= 5. 求，其中有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，是 所圍立體的外側(cè) ，其中是 及所圍曲面的外側(cè)7.，其中為取外側(cè) 167。 最小，此時 四、空間每一點處有力，其大小與到軸的距離成反比，方向垂直指向軸，試求當(dāng)質(zhì)點沿圓周從點到時，力所作的功解：由已知五、將積分化為對弧長的積分,其中L 沿上半圓周解：，于是 167。4 重積分的應(yīng)用(1)、由面積=2x, =4x,y=x,y=0所圍成的圖形面積為（ ） A B C D (2) 、位于兩圓與之間，質(zhì)量分布均勻的薄板重心坐標(biāo)是( ) A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)(3)、由拋物面和平面x=2所圍成的質(zhì)量分布均勻的物體的重心坐標(biāo)是 （ ） A () B () C () D ()(4)、 質(zhì)量分布均勻(密度為)的立方體所占有空間區(qū)域:,該立方體到oz軸的轉(zhuǎn)動慣量IZ=( ) A B C D 求均勻上半球體(半徑為R)的質(zhì)心解：顯然質(zhì)心在z軸上，故x=y=0,z= 故質(zhì)心為(0,0,) 曲面將球面分割成三部分，由上至下依次記 這三部分曲面的面積為 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3 解： 求曲面包含在圓柱內(nèi)部的那部分面積 解：求圓柱體包含在拋物面和xoy平面之間那部分立 體的體積 解： 第九章 自測題一、選擇題: （40分） =( ) A B C D. 設(shè)為,當(dāng)( )時,. A 1 B C D 設(shè),其中由所圍成,則=( B ). A B。 1 二重積分的概念與性質(zhì) 由二重積分的幾何意義求二重積分的值 其中D為： ( =) 設(shè)D為圓域若積分=，求a的值。設(shè)三個正數(shù)為，則，記，令則由 解出。并求該函數(shù)在該點處沿著從 P到方向的方向?qū)?shù)　　( ，)３、設(shè)具有各二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求　解：４、設(shè) 求和。 (B) 。函數(shù) 在(0,0)點處 [ ]A、極限值為1； B、極限值為1；C、連續(xù)； D、無極限。極大值為。 答案：（，）極小值點 2．求函數(shù)的極值 答案：極小值 3. 函數(shù)在點（1，1）處取得極值，求常數(shù)a (5) 求函數(shù)在條件下的條件極值解： ，極小值為 欲造一個無蓋的長方體容器，已知底部造價為3元/平方，側(cè)面造價均為1元/平方，現(xiàn)想用36元造一個容積最大的容器，求它的尺寸。解：：方向?qū)?shù) 為，該點處方向?qū)?shù)達到最大值的方向即為梯度的方向 ，此時最大值為 求函數(shù)在（1，1，1）處沿曲線在（1，1，1）處的切線正方向（對應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù)。 證明曲面）上任意一點處的切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明：令，則 在任一點處的切平面方程為 在在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為在三個坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明曲面上任意一點處的切平面都通過原點設(shè)F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意實數(shù)t, 總有 k為自然數(shù)，試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點的切平面都相交于一定點 證明 ： 兩邊對t 求導(dǎo)，并令t=1 設(shè)是曲面上任意一點，則過這點的切平面為： ++=0 此平面過原點（0，0，0） 167。4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)，求 解：= 設(shè)，求 設(shè)， 可微，證明 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求， 解： , , = , 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求解： ， 設(shè)，求解：。 2 偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z= ,驗證 證明：，求空間曲線在點（）處切線與y軸正向夾角()設(shè), 求 ( 1)設(shè), 求 ， ， 解： ， 設(shè)，證明 : 判斷下面的函數(shù)在(0,0) 處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)（偏導(dǎo)）？說明理由 連續(xù)； 不存在， 設(shè)函數(shù) f(x,y)在點（a,b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求 （2fx(a,b)） 167。 證明：當(dāng)時。 1 多元函數(shù)概念 一、設(shè).二、求下列函數(shù)的定義域：