【正文】 ????? ?? ?其它0)(020 cfj ffeAfH ?? 試求當 ? 函數(shù)通過此濾波器以后的時域波形。 解：據(jù)題意，被測二階系統(tǒng)是一個欠阻尼二階系統(tǒng)，其最大超調量 M1和阻尼比 ζ的關系式 1)ln121?M?? （＝ 將 M1＝ ＝ 代入上式，可得ζ＝ 其有阻尼固有頻率為 212 ???? ???ndd T 式中 Td為振蕩周期 ，由題設條件 Td＝ ，解出ω n＝ 該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )( 2222?????? ssss SsH nnn ???? 系統(tǒng)的頻率響應函數(shù) 10 試述脈沖響應函數(shù)與頻率響應函數(shù)、傳遞函數(shù)之間的聯(lián)系。 11)( )()( ??? ssX sYsH ?頻率保持特性指線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 y(t)，將只有和輸入頻率相同的頻率成份，既 若 tjni iieXtx ?????1)( 則 )(1)(iitjni i eYty?? ?? ?? ? 也就是說，輸出 y(t)與輸入 x(t)保持相同的頻率成分，由線性系統(tǒng)的疊加特性可知，多個簡諧信號疊加的輸入，其輸出必然有也只能有有與輸入頻率相同的頻率成分。 6 某一階溫度傳感器，其時間常數(shù) τ= (s)，試求： (1) 將其快速放入某液體中測得溫度誤差在 2％范圍內所需的近似時間。 2 試述信號的幅值譜與系統(tǒng)的幅頻特性之間的區(qū)別 （ 1）對象不同，前者對象是信號；后者的對象是系統(tǒng)；（ 2）前者反映信號的組成，后者反映系統(tǒng)對輸入信號不同頻率成分的幅值的縮放能力（ 3）定義不同：處理方法各異：前者是對信號付氏變換的模，后者是輸出的付氏變換與輸入的付氏變換之比的模 3 已知信號 x(t)=5sin10t+5cos(100tπ/4)+4sin(200t+π/6)，通過傳遞函數(shù)為 100 1)( ?? ssH 的測試系統(tǒng)，試確定輸出信號的頻率成分并繪出輸出信號的幅值譜。ζ越小，超調量會越大，也會因振蕩而使輸出達到穩(wěn)態(tài)輸出的時間加長。 阻尼比將影響超調量和振蕩周期。在ω﹥ (～ )ω n范圍內 φ (ω )接近 180?，且差值甚小，如在實際測量或數(shù)據(jù)處理中用減去固定相位差的方法，則可以接近不失真地恢復被測輸入信號波形。這樣我們就得到了一個特例結論， )()()()()]([ * fYfXfYfXRF xy ????? 即當 )(ty 是實偶函數(shù)時，相關性定理與卷積定理是一致的。 證明 1： )()()())(()()()()()()()()()]([*)(2*22)(2*2*2*fYfXtdetydtetxedttdetytxdtdetytxdedttytxRFtfjfjftjtfjfjfjxy???????? ????????????????? ????????? ???????? ?????????????????????????????????????? ?? ?? ????????????????????? 這里利用式： )()]([ ** fYtyF ?? ，是 FT的“反褶共軛”性質。特別地，當 ??N時，時域信號變成了周期矩形脈沖信號，而頻域則變成了只在離散點Tm?? 2?處有值的離散譜，在這些點處的頻譜幅度變成了沖激信號（因為能量趨于無窮大）。根據(jù) FT的時移特性，可以求得 )2s i n ()2s i n ()()()()()()()(1)()()(02/2/2/2/02/2/2/2/2/2/0)1(00TTNXeeeeXeeeeeeXeeeXeXXTjTjTjNTjNTjTjTjTjNTjNTjTjTnjTjmnnmTjm??????????????????????????????????????????????????????? 下面分析一下所求的 結果。 解：由定義 ?? ?????????????????????dttutueedttuetuedttxtxRatataatx)()()()()()()(2)(?????? 其 中 積 分 的 被 積 函 數(shù) 的 非 零 區(qū) 間 為 00 ??? ?tt 與 的交集，即),0max( ???t 。代入 a=2?，根據(jù)傅里葉變逆換有 ? ? ? ? ?? ????????? ????? dfefdfefe ftjftjt ??? ??? ? 222222 1 22 122 22 等式兩端同時乘以 2?，并用 t替代變量 t得 ? ???? ?? ?? dtefe ftjt ??? 222 1 22 交換變量 t和 f得 ? ???? ?? ?? dtete ftjf ??? 222 1 22 上式正是 g(t)的傅立葉變換式，所以 fFT efGttg ?? 22 2)(1 2)( ??? ???? 215．所示信號的頻譜 )()(21)( 21 ???? txtxtx 式中 x1(t), x2(t)是如圖 231b），圖 231c）所示矩形脈沖。 解：符號函數(shù)為 ??????????000101)(ttttx 可將符號函數(shù)看為下列指數(shù)函數(shù)當 a?0 時的極限情況 解 ??? ????? 00)s g n()( te tettxatat ? ? ? ?fjfjfjafjadteedteedtetxfXaftjatftjataftj???????12121l i m..l i m00 20202??????????????????? ???????? ???????? ??? 29．求單位階躍函數(shù)的頻譜： 解：單位階躍函數(shù)可分解為常數(shù) 1 與符號函數(shù)的疊加，即 ?????????0002/101)(tttt ? ?)sgn(121)( tt ??? 所以： 210．求指數(shù)衰減振蕩信號 ? ? tetx at 0sin ??? 的頻譜。 ? 令 0tt??? ，代入上式可得 ? ?? ?ntjTjtjTtjncedexTedexTc000000011 )(39。由于 x(t)關于 t=0 對稱，我們可以方便地選取 T/2≤ t≤ T/2 作為計算區(qū)間。 《機械工程測試技術》 習題與題解 第二章 習題解答 21．什么是信號？信號處理的目的是什么？ 22．信號分類的方法有哪些？ 23．求正弦信號 ? ? tAtx ?sin? 的均方值 2x? 。 解： 2221)(111,a rc s i nxAAxAdxdtAxt?????? ???? 代入概率密度函數(shù)公式得： 22222200122221l i m1l i m)(xAxAxATTdtdxTtxxpxx???????????????? ??? ?????????? 25．求如下圖所示周期性方波的復指數(shù)形式的幅值譜和相位譜 t x T1 T1 T T 解 在 x(t)的一個周期中可表示為 ??? ?? ?? 201)(11TtT Tttx 該信號基本周期為 T，基頻 ?0=2?/T，對信號進行傅里葉復指數(shù)展開。 即：若有 ? ? nFS ctx ? ?? 則 ? ? ntjFS cettx 000 ??? ??? 證明：若 x(t)發(fā)生時移 t0（周期 T 保持不變），即信號 x(t t0)，則其對應的傅立葉系數(shù)為 ? ?? ?? T tjn dtetxTc 0139。 28．求符號函數(shù)的頻譜。 特殊情況 ,當 ??xt 為偶函數(shù)時 ， ? ? ? ?fxtX FT? ?? 214．用傅里葉變換的互易特性求信號 g(t)的傅里葉變換 G(f)， g(t)定義如下： ? ? 21 2ttg ?? 且已知 ? ? 22 22)()( fa afXetx FTta ???? ??? ? 解：當 a=2?，不難看出 g(t)與 X(f)非常相似。 ? ? ? ?1111 1)( fTcTTfcTtxF ?? ????????? ? ? ?1111 sin22sin221)2( fTcTTfcTtx ?? ????????x ( t / 2 )tT T2T1 /2 T 1/ 2Tfa =0 .5x ( t / 2 )t T/ 2 T /2T1 /T 1/ Tfa =1 .0x ( t / 2 )t T/ 4 T /4T /22 /T 2/ Tfa =2 .0111 題圖 217 時間尺度展縮特性示意圖 218．求同周期的方波和正弦波的互相關函數(shù) 解：因方波和正弦波同周期，故可用一個周期內的計算值表示整個時間歷程的計算值，又根據(jù)互相關函數(shù)定義，將方波前移τ秒后計算： ???????????????????????????????????s i n2s i n42123c o s12c o s23c o s12c o s21c o sc o sc o s1s i n1s i n1s i n11)(43434404343440?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????TTTTTTTTTTxytttTt d tt d tt d tTR 219．求信號 )()( tuetx at?? 的自相關函數(shù)。 解：由題意， ??? ?? n nm mTtxtx )()( 0 其中 )()(0 tGtx ??，其 FT為 )2(sin)(0 ???? cX ?。 可以看出，如果 N不斷增大，這些等間隔分布的矩形脈沖的頻譜能量逐漸 向離散點Tm?? 2?處集中，而且幅度也越來越大。 下面給出兩種證明方法。 利用 FT的奇偶虛實性，若 )(ty 是實偶函數(shù)，那么 )(fY 也是實偶函數(shù)。 A(ω )在該范圍內的變化不超過 10％，可作為不失真的波形輸出。 其次其他工作性能綜合考慮，單位階躍信號輸入二階系統(tǒng)時，其穩(wěn)態(tài)輸出的理論誤差為零。ζ﹤ 1 時，系統(tǒng)的輸出將產(chǎn)生振蕩。 綜上所述，從系統(tǒng)不失真?zhèn)鬟f信號的條件和其他工作性能綜合考慮， 只有ζ＝ ～ 時，才可以獲得最佳的綜合特 性。 解 由校準數(shù)據(jù)得知，該壓力傳感器近似線性特性，遲滯誤差較小，可用平均校準曲線來計算 根據(jù) 3－ 14 式 數(shù)據(jù)