【正文】 DAO= ,DBO= 。 (3)已知點(diǎn) A在以 P(m,0)為圓心 ,1為半徑的圓上 ,點(diǎn) B在直線 y=? x+? 上 ,若要使所有點(diǎn) A,B的 “確定圓”的面積都不小于 9π,直接寫出 m的取值范圍 . 333解析 (1)25π. (2)∵ 直線 l:y=x+b上只存在一個(gè)點(diǎn) B,使得點(diǎn) A,B的“確定圓”的面積為 9π, ∴ ☉ A的半徑 AB=3且直線 l:y=x+b與☉ A相切于點(diǎn) B,如圖 . ? ① 當(dāng) b0時(shí) ,點(diǎn) B在第二象限 . 過點(diǎn) B作 BE⊥ x軸于點(diǎn) E, ∵ 在 Rt△ BEA中 ,∠ BAE=45176。當(dāng)點(diǎn) A在射線右側(cè) 時(shí) ,點(diǎn) A橫坐標(biāo)的最大值為 (3t+1,令 3t+1=t,得 t= t的取值范圍是 ? ≤ t≤ 2. 12121210.(2022北京豐臺(tái)一模 ,28)對于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點(diǎn) M和圖形 W1,W2,給出如下定義 :點(diǎn) P 為圖形 W1上一點(diǎn) ,點(diǎn) Q為圖形 W2上一點(diǎn) ,當(dāng)點(diǎn) M是線段 PQ的中點(diǎn)時(shí) ,稱點(diǎn) M是圖形 W1,W2的“中 立點(diǎn)” .如果點(diǎn) P(x1,y1),Q(x2,y2),那么“中立點(diǎn)” M的坐標(biāo)為 ? .已知 ,點(diǎn) A(3,0),B(0, 4),C(4,0). (1)連接 BC,在點(diǎn) D? ,E(0,1),F? 中 ,可以成為點(diǎn) A和線段 BC的“中立點(diǎn)”的是 。 ② 在直線 y=2x+b上存在線段 AB的伴隨點(diǎn) M、 N,且 MN=? ,求 b的取值范圍 。=∠ COT=? ∠ POT,又因?yàn)?∠ POT+∠ COT=90176。與 OC的夾角 ∠ COP39。 (2)☉ C的圓心在 x軸上 ,半徑為 2,y軸上存在點(diǎn) P是☉ C的反射點(diǎn) ,直接寫出圓心 C的橫坐標(biāo) x的取 值范圍 . ? 解析 (1)①☉ A的反射點(diǎn)是 M,N. ② 設(shè)直線 y=x與以原點(diǎn)為圓心 ,1和 3為半徑的兩個(gè)圓的交點(diǎn)從左至右依次為 D,E,F,G,過點(diǎn) D作 DH⊥ x軸于點(diǎn) H,如圖 . ? 可求得點(diǎn) D的橫坐標(biāo)為 ? . 同理可求得點(diǎn) E,F,G的橫坐標(biāo)分別為 ? ,? ,? . 點(diǎn) P是☉ A的反射點(diǎn) ,則☉ A上存在一點(diǎn) T,使點(diǎn) P關(guān)于直線 OT的對稱點(diǎn) P39。 ② 當(dāng) k=? 時(shí) ,求 r的取值范圍 。. 12333,22??????3∴∠ MGN=60176。. ? 作 OG⊥ KT于點(diǎn) G,連接 MG,NG. 33333∵ M(0,1), ∴ OM=1, ∴ M為 OK的中點(diǎn) . 又在 Rt△ OKG中 , KG=? OK=1, ∴ △ MKG為等邊三角形 , ∴ MG=MK=OM=1. ∴∠ MGO=∠ MOG=30176。 (2)如圖 3,M(0,1),N? ,點(diǎn) D是線段 MN關(guān)于點(diǎn) O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . ① ∠ MDN的大小為 176。,OF=2? ,OG=2. 如圖 ,以 O為圓心 ,OG為半徑作圓 ,設(shè)該圓與 l的另一個(gè)交點(diǎn)為 M. ? 當(dāng)點(diǎn) P在線段 GM上時(shí) ,OP≤ 2,點(diǎn) P是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) 。 (2)若線段 EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn) ,求這個(gè)圓的半徑 r的取值范圍 . ? 11,22?????? 3解析 (1)① D,E. ② 當(dāng) OP=2時(shí) , 過點(diǎn) P向☉ O作兩條切線 PA ,PB(A,B為切點(diǎn) ),則 ∠ APB=60176。 當(dāng) m1時(shí) ,1mm2m. ① 當(dāng) 0≤ m≤ ? 時(shí) ,1m≥ m, 由題意知 ,邊界值 t=1m. 當(dāng) ? ≤ t≤ 1時(shí) ,0≤ m≤ ? . ∴ 0≤ m≤ ? . ② 當(dāng) ? m≤ 1時(shí) ,1mm. 由題意知 ,邊界值 t=m. 當(dāng) ? ≤ t≤ 1時(shí) ,? ≤ m≤ 1. ∴ ? ≤ m≤ 1. ③ 當(dāng) m1時(shí) ,由題意知 ,邊界值 t≥ m. 1234 14141234 3434∴ 不存在滿足 ? ≤ t≤ 1的 m值 . 綜上所述 ,當(dāng) 0≤ m≤ ? 或 ? ≤ m≤ 1時(shí) ,滿足 ? ≤ t≤ 1. 3414 34 345.(2022北京 ,25,8分 )對于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點(diǎn) P和☉ C,給出如下定義 :若☉ C上存在兩個(gè) 點(diǎn) A,B,使得 ∠ APB=60176。 (3)將函數(shù) y=x2(1≤ x≤ m,m≥ 0)的圖象向下平移 m個(gè)單位 ,得到的函數(shù)的邊界值是 t,當(dāng) m在什么 范圍時(shí) ,滿足 ? ≤ t≤ 1? ? 1x34解析 (1)y=? (x0)不是有界函數(shù) 。.設(shè)圓心 C的坐標(biāo)為 (x,0). ① 當(dāng) x6時(shí) ,過點(diǎn) C作 CH⊥ AB于點(diǎn) H,如圖 2. ∴ 0CH≤ CP≤ 2. ∴ 0CA≤ 4.∴ 06x≤ 4. ∴ 2≤ x6. 3并且 ,當(dāng) 2≤ x6時(shí) ,CB2,CH≤ 2. ∴ 在線段 AB上一定存在點(diǎn) P, 使得 CP=2. ∴ 此時(shí)點(diǎn) P關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn)為 C, 且點(diǎn) C在☉ C的內(nèi)部 . ∴ 2≤ x6. ② 當(dāng) x≥ 6時(shí) ,如圖 3. ∴ 0≤ CA≤ CP≤ 2. ∴ 0≤ x6≤ 2. ∴ 6≤ x≤ 8. 并且 ,當(dāng) 6≤ x≤ 8時(shí) ,CB2,CA≤ 2. ∴ 在線段 AB上一定存在一點(diǎn) P,使得 CP=2. ∴ 此時(shí)點(diǎn) P關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn)為 C,且點(diǎn) C在☉ C的內(nèi)部 . ∴ 6≤ x≤ 8. 綜上所述 ,圓心 C的橫坐標(biāo) x的取值范圍是 2≤ x≤ 8. ? 思路點(diǎn)撥 根據(jù)反稱點(diǎn)的定義可知 ,當(dāng)一點(diǎn)到圓心的距離大于半徑的 2倍時(shí) ,此點(diǎn)無反稱點(diǎn) ,所 以要確定一點(diǎn)有沒有反稱點(diǎn) ,先要求出它到圓心的距離 . 解題關(guān)鍵 (1)要準(zhǔn)確理解“反稱點(diǎn)”的含義 。=2. ∴ 點(diǎn) P關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)存在 . 其中點(diǎn) P與點(diǎn) E或點(diǎn) F重合時(shí) ,OP=2,點(diǎn) P關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)為 O,不符合題意 . ∴ 0x2. ii)當(dāng)點(diǎn) P不在線段 EF上 , 即 x0或 x2時(shí) ,OP2. ∴ 對于射線 OP上任意一點(diǎn) P39。在☉ C的內(nèi)部 ,求圓心 C的橫坐標(biāo)的取值范圍 . 解析 (1)① 點(diǎn) M關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)不存在 。 ② 點(diǎn) P在直線 y=x+2上 ,若點(diǎn) P關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn) P39。為點(diǎn) P關(guān)于☉ C的 反稱點(diǎn) .下圖為點(diǎn) P及其關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn) P39。 ? 圖 b 如圖 c,AC3=1,此時(shí)點(diǎn) C3的橫坐標(biāo)為 2。,總有 PQ39。 ③☉ T在△ ABC的右側(cè)時(shí) ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時(shí) t=4+2? . 綜上所述 ,t=4或 0≤ t≤ 42? 或 t=4+2? . 2 2222 2? 圖 2 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要從點(diǎn)到點(diǎn)的距離中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離和平行線間的距離 . 2.(2022北京 ,29,8分 )對于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點(diǎn) P和圖形 M,給出如下定義 :若在圖形 M上存 在一點(diǎn) Q,使得 P,Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于 1,則稱 P為圖形 M的關(guān)聯(lián)點(diǎn) . (1)當(dāng)☉ O的半徑為 2時(shí) , ① 在點(diǎn) P1? ,P2? ,P3? 中 ,☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 。 (2)記函數(shù) y=kx(1≤ x≤ 1,k≠ 0)的圖象為圖形 d(G,△ ABC)=1,直接寫出 k的取值范圍 。 新定義問題 中考數(shù)學(xué) (北京專用 ) 1.(2022北京 ,28,7分 )對于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的圖形 M,N,給出如下定義 :P為圖形 M上任意一 點(diǎn) ,Q為圖形 N上任意一點(diǎn) ,如果 P,Q兩點(diǎn)間的距離有最小值 ,那么稱這個(gè)最小值為圖形 M,N間的 “閉距離” ,記作 d(M,N). 已知點(diǎn) A(2,6),B(2,2),C(6,2). (1)求 d(點(diǎn) O,△ ABC)。 ②☉ T在△ ABC的內(nèi)部時(shí) ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時(shí) 0≤ t≤ 42? 。 22, 3yxxy???? ??? 32222 22 322當(dāng)點(diǎn) P與原點(diǎn)不重合時(shí) ,設(shè)射線 OP與☉ O的交點(diǎn)為 Q. (i)當(dāng) 0OP1時(shí) ,如圖 2. ∵ 對于☉ O上任意一點(diǎn) Q39。 ? 322 22 22 3222 22圖 a 如圖 b,C2A=3,此時(shí)點(diǎn) C2的橫坐標(biāo)為 2。=2r,則稱 P39。=0. ? (1)當(dāng)☉ O的半徑為 1時(shí) , ① 分別判斷點(diǎn) M(2,1),N? ,T(1,? )關(guān)于☉ O的反稱點(diǎn)是否存在 ,若存在 ,求其坐標(biāo) 。 (2)☉ C的圓心在 x軸上 ,半徑為 1,直線 y=? x+2? 與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A, 線段 AB上存在 3 ,02??????333 3點(diǎn) P,使得點(diǎn) P關(guān)于☉ C的反稱點(diǎn) P39。,使得 OP+OP39。在☉ C的內(nèi)部 ,則 1CP≤ 2. 依題意可知 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (6,0),點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (0,2? ),∠ BAO=30176。 (2)若函數(shù) y=x+1(a≤ x≤ b,ba)的邊界值是 2,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是 2,求 b的取值范圍 。 1x當(dāng) x=m時(shí) ,y=m2m. 根據(jù)二次函數(shù)的對稱性 , 當(dāng) 0≤ m≤ 1時(shí) ,1m≥ m2m。,若直線 l上的點(diǎn) P(m,n)是☉ O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) ,求 m 的取值范圍 。, ∴∠ OGF=60176。時(shí) ,稱點(diǎn) P是線段 MN關(guān)于點(diǎn) O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) .圖 1是 點(diǎn) P為線段 MN關(guān)于點(diǎn) O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的示意圖 . ? 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,☉ O的半徑為 1. (1)如圖 2,M? ,N? .在 A(1,0),B(1,1),C(? ,0)三點(diǎn)中 ,是線段 MN關(guān)于點(diǎn) O的關(guān)聯(lián) 點(diǎn)的是 。. ②△ MNE是等邊三角形 ,點(diǎn) E的坐標(biāo)為 (? ,1). ③ 直線 y=? x+2交 y軸于點(diǎn) K(0,2),交 x軸于點(diǎn) T(2? ,0). ∴ OK=2,OT=2? . ∴∠ OKT=60176。. 又 OG=? ,ON=1, ∴∠ OGN=30176。 (2)若☉ C上存在“ k相關(guān)依附點(diǎn)” M, ① 當(dāng) r=1,直線 QM與☉ C相切時(shí) ,求 k的值 。 ② 點(diǎn) P在直線 y=x上 ,若 P為☉ A的反射點(diǎn) ,求點(diǎn) P的橫坐標(biāo)的取值范圍 。≤ 3,∴ 1≤ OP≤ 3. 32222 22 322反之 ,若 1≤ OP≤ 3,☉ A上存在點(diǎn) Q,使得 OP=OQ,故線段 PQ的垂直平分線經(jīng)過原點(diǎn) ,且與☉ A相 交 .因此點(diǎn) P是☉ A的反射點(diǎn) . ∴ 點(diǎn) P的橫坐標(biāo) x的取值范圍是 ? ≤ x≤ ? 或 ? ≤ x≤ ? . (2)圓心 C的橫坐標(biāo) x的取值范圍是 4≤ x≤ 4. 提示 :OT與 y軸正半軸的夾角 ∠ POT越小 ,則 OP39。最大 ,如圖 ,此時(shí) ∠ COP39。,又圓 C的半徑為 2,故此時(shí) OC為 y軸左側(cè)時(shí)同理 .故圓心 C的橫坐標(biāo) x的取值 范圍是 4≤ x≤ 4. ? 322 22 22 322129.(2022北京朝陽一模 ,28)對于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點(diǎn) P和線段 AB,其中 A(t,0)、 B(t+2,0),給 出如下定義 :若在線段 AB上存在一點(diǎn) Q,使得 P,Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于 1,則稱 P為線段 AB的 伴隨點(diǎn) . (1)當(dāng) t=3時(shí) , ① 在點(diǎn) P1(1,1),P2(0,0),P3(2,1)中 ,線段 AB的伴隨點(diǎn)是 。角和伴隨點(diǎn) 定義可知 ,當(dāng)點(diǎn) B在射線左側(cè)時(shí) ,點(diǎn) B橫坐標(biāo)的最小值為 1t,令 1t=t+2,得 t=? 。 (2)已知點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (0,0),若直線 l:y=x+b上只存在一個(gè)點(diǎn) B,使得點(diǎn) A,B的“確定圓”的面積為 9π,求點(diǎn) B的坐標(biāo) 。? . 綜上所述 ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 ? 或 ? . (3)m≤ 5或 m≥ 11. 提示 :易得 A、 B兩點(diǎn)間距離的最小值為 4,直線 y=? x+? 與 x軸的夾角為 30176。2. ② 設(shè) C(x0,y0),則 DCO=x0+y0, ∵ 點(diǎn) C在直線 y=x+3上 ,∴ x+y=3, 即 x0+y0=3,故 DCO為定值 3. ∴ DCO的最小值為 3. (2)2? . 5213.(2022北京大興一模 ,28)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,過 y軸上一點(diǎn) A作平行于 x軸的直線交某函 數(shù)圖象于點(diǎn) D,點(diǎn) P是 x軸上一動(dòng)點(diǎn) ,連接 DP,過點(diǎn) P作 DP的垂線交 y軸于點(diǎn) E(E在線段 OA上 ,E不 與點(diǎn) O重合 ),則稱 ∠ DPE為點(diǎn) D,P,E的“平橫縱直角” .圖 1為點(diǎn) D,P,E的“平橫縱直角”的示 意圖 . ? 圖 1 ? 圖 2 如圖 2,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,已知某二次函數(shù)的圖象與 y軸交于點(diǎn) F(0,m)(m0),與 x軸分別 交于點(diǎn) B(3,0),C(12,0).若過點(diǎn) F作平行于 x軸的直線交該拋物線于點(diǎn) N. (1)點(diǎn) N的橫坐標(biāo)為 。時(shí) ,求 m的取值范圍 . 解析 (1)9. (2)解法一 :∵ MK