【正文】 F在 BC邊的垂直平分線上 .? (12分 ) 證法二 :過 F作 FN⊥ BE交 BE的延長線于點(diǎn) N,連接 FB,FC.? (9分 ) ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,點(diǎn) E在 AB的延長線上 , ∴∠ CBE=∠ ABC=∠ N=90176。. ∴∠ 1+∠ 2=90176。. ∴∠ 1+∠ 3=90176。 (2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā) ,繼續(xù)進(jìn)行探究 ,如圖 2,連接 CE,以 CE為一邊在 CE的左下方作 正方形 CEFG,發(fā)現(xiàn)點(diǎn) G在線段 BC的垂直平分線上 ,請你給出證明 。BC=APBC=APBP. (2)探究 :如圖 2,在四邊形 ABCD中 ,點(diǎn) P為 AB上一點(diǎn) ,當(dāng) ∠ DPC=∠ A=∠ B=θ時(shí) ,上述結(jié)論是否依 然成立 ?說明理由 . (3)應(yīng)用 :請利用 (1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題 : 如圖 3,在△ ABD中 ,AB=6,AD=BD=5,點(diǎn) P以每秒 1個單位長度的速度由點(diǎn) A出發(fā) ,沿邊 AB向點(diǎn) B 運(yùn)動 ,且滿足 ∠ DPC=∠ A,設(shè)點(diǎn) P的運(yùn)動時(shí)間為 t(秒 ),當(dāng)以 D為圓心 ,DC為半徑的圓與 AB相切時(shí) , 求 t的值 . ? 解析 (1)證明 :∵∠ DPC=∠ A=∠ B=90176。sin 60176。, ∴∠ GDC=30176。,∴∠ DPF=30176。+120176。. 過點(diǎn) P作 PE⊥ BC于點(diǎn) E,易知四邊形 PDCE為矩形 , ∴ CE=PD=6, ∴ tan∠ 1=? =? =? , ∴∠ 1=30176。是△ EBC的中位線 , ∴ AD39。, ∴ E,A,B三點(diǎn)在同一直線上 .? (6分 ) 1212∵ AB=AB39。+∠ BAC=180176。與 AC重合 ,設(shè) D的 對應(yīng)點(diǎn)為 D39。, ∴ AD=? BC.? (7分 ) 證法三 :如圖 ,將△ AB39。D,B39。AF,AB=AF, ∴ △ ABC≌ △ AFC39。+∠ BAC=180176。+∠ C39。A至 F,使 AF=B39。, 1212∴∠ AC39。AC39。E+∠ B39。∥ B39。D=C39。,BC=12,CD=2? ,DA= 在點(diǎn) P,使△ PDC是△ PAB的“旋補(bǔ)三角形” ?若存在 ,給予證明 ,并求△ PAB的“旋補(bǔ)中線”長 。是△ ABC的“旋補(bǔ)三角形” ,AD是△ ABC的“旋補(bǔ)中線” . ①如圖 2,當(dāng)△ ABC為等邊三角形時(shí) ,AD與 BC的數(shù)量關(guān)系為 AD= BC。邊 B39。時(shí) ,我們稱△ AB39。,把 AC繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) β得到 AC39。 B,DC. 結(jié)論 :四邊形 A39。C的延長線上 ,a=C39。,∴ △ ACE∽ △ CBF. ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 CE=? . 當(dāng)四邊形 BCC″D39。=180176。. 又 ∵ BC=DC39。于點(diǎn) E. ? 由旋轉(zhuǎn)得 AC39。恰 好為正方形 ,求 a的值 .請你解答此問題 。D沿著射線 DB方向平移 a cm,得到△ A39。D,連接 DB,C39。D,分別延長 BC和 DC39。(2)依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和位似的性質(zhì)即可得出答案 。,∴∠ EAF=? ∠ BAD. 由【類比引申】的結(jié)論可得 EF=BE+DF=40(? +1)≈ 109米 . 3 3 3123二、思考與探究 (2022江蘇南京 ,27,11分 )折紙的思考 . 【操作體驗(yàn)】 用一張矩形紙片折等邊三角形 . 第一步 ,對折矩形紙片 ABCD(ABBC)(圖① ),使 AB與 DC重合 ,得到折痕 EF,把紙片展平 (圖② ). 第二步 ,如圖③ ,再一次折疊紙片 ,使點(diǎn) C落在 EF上的 P處 ,并使折痕經(jīng)過點(diǎn) B,得到折痕 BG,折出 PB、 PC,得到△ PBC. ? (1)說明△ PBC是等邊三角形 . 【數(shù)學(xué)思考】 (2)如圖④ ,小明畫出了圖③的矩形 ABCD和等邊三角形 ,在矩形 ABCD中把△ PBC 經(jīng)過圖形變化 ,可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形 .請描述圖形變化的過程 . (3)已知矩形一邊長為 3 cm,其鄰邊長為 a a的值 ,在矩形中都能畫出最大 的等邊三角形 .請畫出不同情形的示意圖 ,并寫出對應(yīng)的 a的取值范圍 . 【問題解決】 (4)用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為 4 cm和 1 cm的直角三角形鐵片 ,所需正方形鐵片 的邊長的最小值為 cm. 解析 (1)證明 :由折疊可知 PB=PC,BP=BC, 因此△ PBC是等邊三角形 . (2)本題答案不唯一 ,下列解法供參考 . 如圖 ,以點(diǎn) B為中心 ,在矩形 ABCD中把△ PBC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?,得到△ P1BC1。=15176。,∠ OAD=30176。, ∴∠ GAF=∠ FAE, 在△ GAF和△ FAE中 ,? ∴ △ AFG≌ △ AFE(SAS).∴ GF=EF. 又 ∵ DG=BE,∴ GF=BE+DF,∴ BE+DF=EF. 【類比引申】 ∠ BAD=2∠ EAF. 理由如下 :如圖 ,延長 CB至 M,使 BM=DF,連接 AM, ? ,A G A EG A F F A EA F A F???? ? ??? ??∵∠ ABC+∠ D=180176。,∠ ADC=120176。,試判斷 BE、 EF、 FD之間的數(shù)量關(guān)系 . 【發(fā)現(xiàn)證明】 小聰把△ ABE繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 (2)探究證明 把△ ADE繞點(diǎn) A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖 2的位置 ,連接 MN,BD,CE,判斷△ PMN的形狀 ,并說明理 由 。. 如圖所示 ,當(dāng)點(diǎn) C與點(diǎn) M重合時(shí) ,AC1,AC2的長即為所求 . ACBD 3CODO AOBO 3ACBD CODO 33 3ACBD 3思路分析 (1)證明△ AOC≌ △ BOD,得 AC=BD,∠ OAC=∠ OBD, ∠ AMB=∠ AOB=40176。,∴∠ DBO+∠ ABD+∠ BAO=90176。.(注 :若填為 40,不扣分 )(2分 ) (2)? =? ,∠ AMB=90176。,連接 AC,BD交于點(diǎn) : ① ? 的值為 。 實(shí)踐與探究 中考數(shù)學(xué) (河北專用 ) 一、拓展與探究 好題精練 1.(2022河南 ,22,10分 ) (1)問題發(fā)現(xiàn) 如圖 1,在△ OAB和△ OCD中 ,OA=OB,OC=OD,∠ AOB=∠ COD=40176。,連接 AC交 BD的延長線 于點(diǎn) ? 的值及 ∠ AMB的度數(shù) ,并說明理由 . ACBDACBD? ? (3)拓展延伸 在 (2)的條件下 ,將△ OCD繞點(diǎn) O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn) ,AC,BD所在直線交于點(diǎn) OD=1,OB=?, 請直 接寫出當(dāng)點(diǎn) C與點(diǎn) M重合時(shí) AC的長 . 7解析 (1)① 1.? (1分 ) ② 40176。,∴ ? =? =? , 又 ∠ COD+∠ AOD=∠ AOB+∠ AOD,即 ∠ AOC=∠ BOD. ∴ △ AOC∽ △ BOD.? (6分 ) ∴ ? =? =? ,∠ CAO=∠ DBO. ∵∠ AOB=90176。.? (8分 ) (3)AC的長為 2? 或 3? .? (10分 ) 【提示】在△ OCD旋轉(zhuǎn)過程中 ,(2)中的結(jié)論仍成立 ,即 ? =? ,∠ AMB=90176。,AB=AC,點(diǎn) D,E分別在邊 AB,AC上 ,AD=AE, 連接 DC,點(diǎn) M,P,N分別為 DE,DC,BC的中點(diǎn) . (1)觀察猜想 圖 1中 ,線段 PM與 PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 。,即△ PMN為 等腰直角三角形 .? (8分 ) (3)? .? (10分 ) 詳解 :同 (2)可證△ PMN是等腰直角三角形 ,PM=PN,PM⊥ PN. 1212492又知 PM=? EC,所以 S△ PMN=? PM2=? EC2, 所以當(dāng) EC最大時(shí) ,S△ PMN最大 . 如圖 ,EC的最大值為 AE+AC=AD+AB=4+10=14, ∴ S△ PMN的最大值為 ? . ? 12 12 184923.(2022湖北隨州 ,24,10分 )問題 :如圖 (1),點(diǎn) E、 F分別在正方形 ABCD的邊 BC、 CD上 ,∠ EAF=45 176。,點(diǎn) E、 F分別在邊 BC、 CD上 ,則 當(dāng) ∠ EAF與 ∠ BAD滿足 關(guān)系時(shí) ,仍有 EF=BE+FD. 【探究應(yīng)用】 如圖 (3),在某公園的同一水平面上 ,四條通道圍成四邊形 AB=AD=80米 ,∠ B=60176。,即 ∠ DAF+∠ BEA=∠ EAF=45176。,在 Rt△ AOD中 ,∠ ODA=60176。30176。=75176。. 易證 Rt△ AEF∽ Rt△ DCE, ∴ ? =? =? , ∴ 設(shè) AE=x cm,CD=4x cm,則 DE=3x cm. 在 Rt△ CDE中 ,