【正文】 = ∠ B E C. 類(lèi)型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 3 . [2 0 1 8 (2 ) 若 B C= 2, BD= 1, 求 CE 的長(zhǎng)及 sin ∠ ABF 的值 . 圖 Z5 13 類(lèi)型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 解 : ( 1 ) 證明 :∵ ∠ A CB = 9 0 176。綿陽(yáng) ] 如圖 Z5 1 2 , AB 是☉ O 的直徑 , 點(diǎn) D 在☉ O 上 ( 點(diǎn) D 丌不 A , B 重合 ), 直線(xiàn) AD 交過(guò)點(diǎn) B 的切線(xiàn)于點(diǎn) C , 過(guò)點(diǎn) D 作☉ O 的切線(xiàn) DE 交 BC 于點(diǎn) E. (2 ) 若 DE ∥ AB , 求 s i n ∠ A CO 的值 . 圖 Z5 12 (2 ) 過(guò)點(diǎn) O 作 OH ⊥ AD 于點(diǎn) H , 如圖 , 設(shè)☉ O 的半徑為 r ,∵ DE ∥ AB ,∴ ∠ DOB= ∠ O D E = 9 0 176。綿陽(yáng) ] 如圖 Z5 1 2 , AB 是☉ O 的直徑 , 點(diǎn) D 在☉ O 上 ( 點(diǎn) D 丌不 A , B 重合 ), 直線(xiàn) AD 交過(guò)點(diǎn) B 的切線(xiàn)于點(diǎn) C , 過(guò)點(diǎn) D 作☉ O 的切線(xiàn) DE 交 BC 于點(diǎn) E. (1 ) 求證 : B E =CE 。白銀 ] 如圖 Z5 1 1 , O 是△ ABC 的邊 AB 上一點(diǎn) , ☉ O 不邊 AC 相切于點(diǎn) E , 不邊 BC , AB 分別交于點(diǎn) D , F ,且 D E =E F . (2 ) 當(dāng) B C= 3 ,s i n A=35時(shí) , 求 AF 的長(zhǎng) . 圖 Z5 11 (2 ) 由 ( 1 ) 問(wèn)證明知 : ∠ C= 9 0 176。 。 ,∴ CF2+O F2=O C2,∴ CF = 2 2 . 在 Rt △ CF B 中 ,∵ ∠ C F B = 9 0 176。包頭 ] 如圖 Z5 1 0 , AB 是☉ O 的直徑 , 弦 CD 不 AB 交于點(diǎn) E , 過(guò)點(diǎn) B 的切線(xiàn) BP 不 CD 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) P , 連接 OC , CB . (2 ) 若☉ O 的半徑為 3, OE= 2 BE ,?? ???? ??=95, 求 t an ∠ OBC 的值及 DP 的長(zhǎng) . 圖 Z5 10 (2 ) ∵ ☉ O 的半徑為 3, ∴ O A =O B =O C= 3 .∵ OE= 2 BE ,∴ OE= 2, BE= 1, AE= 5 .∵?? ???? ??=95,∴ 設(shè) CE = 9 x , DE= 5 x. ∵ AE ED 。 , A M =B M . 又 ∵ AB= 4, ∴ BM= 2 2 , ∴ MN , 即 OC ⊥ CP . ∵ OC 為☉ O 的半徑 , ∴ PC 是☉ O 的切線(xiàn) . 類(lèi)型 2 圓與相似的綜合 4 . 如圖 Z5 9, 已知 AB 是☉ O 的直徑 , 點(diǎn) C 在☉ O 上 , 過(guò)點(diǎn) C 的直線(xiàn)不 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) P , A C=P C , ∠ CO B = 2∠ P CB . (2 ) 求證 : B C=12AB 。 (2 ) 求證 : B C=12AB 。青山區(qū)二模 ] 如圖 Z5 8, ☉ O 是△ ABC 的外接圓 , FH 是☉ O 的切線(xiàn) , 切點(diǎn)為 F , FH ∥ BC , 連接 AF 交 BC于點(diǎn) E , ∠ ABC 的平分線(xiàn) BD 交 AF 于點(diǎn) D , 連接 BF. (2 ) 求證 : B F =F D 。 . 又 ∵ CO =H O ,∴ △ CO H 是等邊三角形 , ∴ CO =CH = 4, ∴ ?? ?? ?? 的長(zhǎng) =120 4 π180=83π . 類(lèi)型 2 圓與相似的綜合 3 . [2 0 1 8 圖 Z5 7 (2 ) ∵ ∠ H CB = ∠ HAB , ∠ HAB= ∠ HAC ,∴ ∠ H CB = ∠ H A C. 又 ∵ ∠ CH A = ∠ DHC ,∴ △ CH D ∽△ AHC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴ CH2= 8 2 = 16, ∴ CH = 4 . 類(lèi)型 2 圓與相似的綜合 2 . 如圖 Z5 7, △ ABC 中 , AD 平分∠ BAC 交△ ABC 的外接圓☉ O 于點(diǎn) H , 過(guò)點(diǎn) H 作 EF ∥ BC , 不 AC 的延長(zhǎng)線(xiàn) , AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn) E , F. (3 ) 若∠ CA B = 6 0 176。 , ∠ F= ∠ F ,∴ △ F CA ∽△ F D B ,∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即1 + ?? ?? 2 2 + ( 1 + ?? ?? )2+ 2=24, 整理 , 得 3 EF2 2 EF 5 = 0 .∴ EF=53( 負(fù)值已舍去 ) . 故線(xiàn)段 EF 的長(zhǎng)為53. 類(lèi)型 2 圓與相似的綜合 2 . 如圖 Z5 7, △ ABC 中 , AD 平分∠ BAC 交△ ABC 的外接圓☉ O 于點(diǎn) H , 過(guò)點(diǎn) H 作 EF ∥ BC , 不 AC 的延長(zhǎng)線(xiàn) , AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn) E , F. (1 ) 求證 : EF 是☉ O 的切線(xiàn) 。 AE , A C=A D , ∴?? ???? ??=?? ???? ??. 又 ∵ ∠ DAB= ∠ BAE , ∴ △ DAB ∽△ BAE , ∴ ∠ ABE= ∠ ADB= 9 0 176。,∴ 點(diǎn) D在☉ O上 . 類(lèi)型 2 圓與相似的綜合 針 對(duì) 訓(xùn) 練 1 . [2 0 1 8 (2 ) 在線(xiàn)段 AD 的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn) E , 使 AB2=A C 衢州 ] 如圖 Z5 5, 已知 AB 為☉ O 的直徑 , AC 是☉ O 的切線(xiàn) , 連接 BC 交☉ O 于點(diǎn) F , 取 ?? ?? 的中點(diǎn)D , 連接 AD 交 BC 于點(diǎn) E , 過(guò)點(diǎn) E 作 EH ⊥ AB 于點(diǎn) H. (2 ) 若 CF = 4, BF= 5, 求 AC 和 EH 的長(zhǎng) . 圖 Z5 5 (2 ) 連接 AF ,∵ AB 是直徑 ,∴ ∠ AFB= 9 0 176。 EH=154. 類(lèi)型 2 圓與相似的綜合 例 2 [2 0 1 8 圖 Z5 4 (2 ) 證明 :∵ AD 是∠ BAC 的平分線(xiàn) , ∴ ∠ CA D = ∠ DAB. ∵ O D =O A , ∴ ∠ OAD= ∠ ODA , ∴ ∠ CA D = ∠ ODA , ∴ AC ∥ OD ,∴ ∠ C= ∠ ODB= 90176。 (2 ) 求證 : BC 是☉ O 的切線(xiàn) 。 ,∴ E F =12AE=3 32. 在 Rt △ CF E 中 ,∵ ∠ C F E = 9 0 176。 ,∴ ∠ D= 1 5 176。包頭樣題一 ] 如圖 Z5 3, 已知 AB 是☉ O 的直徑 , 點(diǎn) C 在☉ O 上 , 過(guò)點(diǎn) C 的切線(xiàn)不 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P , 過(guò)點(diǎn) O 作 OD ⊥ AB 交☉ O 于點(diǎn) D , 連接 CD 交 AB 于點(diǎn) E , 連接 A C. (2 ) 若 P C= 3 , PB= 1, 求∠ D 的度數(shù)及 CE 的長(zhǎng) . 圖 Z5 3 (2 ) 設(shè) O B =O C=x ,∴ O P =x+ 1 . 在 Rt △ P C O 中 ,∵ OC2+P C2=O P2, P C= 3 ,∴ x2+ ( 3 )2= ( x+ 1)2,∴ x= 1, ∴ O C=O B = 1, OP= 2 .∵ s i n P=?? ???? ??=12,∴ ∠ P= 3 0 176。 (2 ) 若 P C= 3 , PB= 1, 求∠ D 的度數(shù)及 CE 的長(zhǎng) . 圖 Z5 3 類(lèi)型 1 圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 O C. ∵ PC 是☉ O 的切線(xiàn) , 點(diǎn) C 是切點(diǎn) , ∴ ∠ O CP = 9 0 176。 , OC ⊥ PC ,∴ ∠ CO F = 6 0 176。 . ∵ PE ⊥ AB ,∴ ∠ O A C + ∠ ADE= 90176。 , A C= 3 cm, B C= 4 c m , 以 BC 為直徑作☉ O 交 AB 于點(diǎn) D. (2 ) E 是線(xiàn)段 AC 上的一點(diǎn) , 當(dāng)點(diǎn) E 在什么位置時(shí) , 直線(xiàn) ED 不☉ O 相切 ? 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z5 1 (2 ) 當(dāng)點(diǎn) E 在 AC 的中點(diǎn)處時(shí) , 直線(xiàn) ED 不☉ O 相切 . 理由如下 : 如圖 , 連接 ED , EO , OD. ∵ ED 不☉ O 相切 ,∴ ∠ EDO= ∠ E CO = 9 0 176。 B C=12CD , A C= 3 cm, B C= 4 c m , 以 BC 為直徑作☉ O 交 AB 于點(diǎn) D. (1 ) 求線(xiàn)段 AD 的長(zhǎng) 。棗莊 ] 如圖 Z5 1, 在 Rt △ A CB 中 , ∠ C= 9 0 176。 , A C= 3 cm , B C = 4 cm ,∴ AB= ?? ??2+ ?? ??2= 5 cm . ∵ S △ABC=12AC 棗莊 ] 如圖 Z5 1, 在 Rt △ A CB 中 , ∠ C= 9 0 176。 , BF= 2, 求△ P CD 的周長(zhǎng)和 AG 的長(zhǎng) . 圖 Z5 2 類(lèi)型 1 圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定 解 : ( 1 ) 證明 : 如圖 , 連接 O C. ∵ CF 是☉ O 的切線(xiàn) , C 為切點(diǎn) ,∴ OC ⊥ PC ,∴ ∠ P CD + ∠ A CO = 9 0 176。 . 易證 Rt △ AED ∽ Rt △ A CB ,∴?? ???? ??=?? ???? ??. ∵ ∠ F= 3 0 176。包頭樣題一 ] 如圖 Z5 3, 已知 AB 是☉ O 的直徑 , 點(diǎn) C 在☉ O 上 , 過(guò)點(diǎn) C 的切線(xiàn)不 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P , 過(guò)點(diǎn) O 作 OD ⊥ AB 交☉ O 于點(diǎn) D , 連接 CD 交 AB 于點(diǎn) E , 連接 A C. (1 ) 求證 : P C=P E 。 . ∵ O C=O D ,∴ ∠ O CD = ∠ D ,∴ ∠ P CD = ∠ OED. 又 ∵ ∠ OED= ∠ PEC ,∴ ∠ P CD = ∠ PEC ,∴ P C=P E . 類(lèi)型 1 圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定 2 . [2 0 1 8 ,∴ ∠ OED= ∠ P E C= 7 5 176。 .∵ O E =O P PE= 2 3 ,∴ A E =A O +O E = 3 3 . 過(guò)點(diǎn) E 作 EF ⊥ AC 于點(diǎn) F , 在 Rt △ AEF 中 ,∵ ∠ AFE= 9 0 176。 , ∠ BAC 的平分線(xiàn) AD 交 BC 于點(diǎn) D , 過(guò)點(diǎn) D 作 DE ⊥ AD交 AB 于點(diǎn) E , 以 AE 為直徑作☉ O. (1 ) 求