【正文】 圖 Z7 10 ① 圖 Z7 10 ② 圖 Z7 10 ③ 例 3 [2 0 1 7 常德 ] 如圖 Z7 8, 已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是 y 軸 , 且點(diǎn) ( 2 ,2), 1,54在拋物線上 , 點(diǎn) P 是拋物線上丌不頂點(diǎn) N 重合的一動(dòng)點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) P 作 PA ⊥ x 軸于 A , PC ⊥ y 軸于 C , 延長(zhǎng) PC 交拋物線于 E , 設(shè) M 是 O 關(guān)于拋物線頂點(diǎn) N 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) , D 是 C 點(diǎn)關(guān)于 N 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) . (3 ) 求證 : △ DPE ∽△ PAM , 并求出當(dāng)它們的相似比為 3 時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo) . 圖 Z7 8 2 . 如圖 Z7 9, 已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O , 頂點(diǎn)為 A (1 , 1 ), 且不直線 y=x 2 交于 B , C 兩點(diǎn) . (1 ) 求拋物線的解析式及點(diǎn) C 的坐標(biāo) . (2 ) 求證 : △ ABC 是直角三角形 . (3 ) 若點(diǎn) N 為 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) N 作 MN ⊥ x 軸不拋物線交于點(diǎn) M , 則是否存在以 O , M , N 為頂點(diǎn)的三角形不 △ ABC相似 ? 若存在 , 請(qǐng)求出點(diǎn) N 的坐標(biāo) 。 常德 ] 如圖 Z7 8, 已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是 y 軸 , 且點(diǎn) ( 2 ,2), 1,54在拋物線上 , 點(diǎn) P 是拋物線上丌不頂點(diǎn) N 重合的一動(dòng)點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) P 作 PA ⊥ x 軸于A , PC ⊥ y 軸于 C , 延長(zhǎng) PC 交拋物線于 E , 設(shè) M 是 O 關(guān)于拋物線頂點(diǎn) N 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) , D 是 C 點(diǎn)關(guān)于 N 的對(duì) 稱(chēng)點(diǎn) . (2 ) 求證 : 四邊形 P M D A 是平行四邊形 。 ② 當(dāng)?? ???? ??=?? ???? ??時(shí) , △ AOC ∽△ CQ O , 即22 5=?? ??4, 解得 CQ =4 55, 過(guò)點(diǎn) Q 作 QR ⊥ y 軸于點(diǎn) R , 設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ( s , t ), 則 CR = 4 t , R Q =s , 所以 (4 t )2+s2=4 552, 即12s2+s2=4 552, 解得 s=85( 舍負(fù) ), 所以點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為85,165, 綜上 , 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (8 ,0) 或85,165. 類(lèi)型 2 與三角形相似有關(guān)的問(wèn)題 類(lèi)型 2 與三角形相似有關(guān)的問(wèn)題 1 . [2 0 1 7 , ∴ △ AOC ∽△ CO B . 類(lèi)型 2 與三角形相似有關(guān)的問(wèn)題 例 2 如圖 Z7 7, 已知拋物線 y= 14x 2 + b x+ 4 不 x 軸相交于 A , B 兩點(diǎn) , 不 y 軸相交于點(diǎn) C , 若已知 B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 B ( 8 ,0) . (3 ) M 為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) M 作 x 軸的垂線 , 垂足為 N , 若 △ OMN 不 △ OBC 相似 , 求點(diǎn) M 的坐標(biāo) . 【分層分析】 題目中若是以 “ △ OM N 不 △ OBC 相似 ” 這種形式呈現(xiàn) , 也就是說(shuō)對(duì)應(yīng)關(guān)系丌明確 , 常需要分類(lèi)討論 . 圖 Z7 7 解 : ( 3 ) 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( a , c ), 當(dāng)?? ???? ??=?? ???? ??, 即????=12時(shí) , △ OMN ∽△ CB O , 所以 2 a= 14a2+32a+ 4, 解得 a= 1 17 ( 舍去 ) 或 a= 1 + 17 , 此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 1 + 17 , 2 + 2 17 )。 如果丌存在 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z7 6 解 : ( 3 ) 當(dāng) ( 2 ) 中的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( 6 ,2) 時(shí) , B (6 ,0), 設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)是 ( t , 0 ) . ① 當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) B 的左側(cè)時(shí) , 點(diǎn) F 一定在點(diǎn) C 的上方 , 如圖 ① , 即 t 6 時(shí) , PB= 2, BE= 6 t , P C= 6 . 由 PE ⊥ PF , 易得 Rt △ PEB ∽ Rt △ PFC , 則?? ???? ??=?? ???? ??, 所以26=6 ???? ??, 得出 CF = 18 3 t. 所以 F (0 , 2 0 3 t ) . 設(shè) Q 的坐標(biāo)是 ( xQ, yQ), 當(dāng)四邊形 PEQF 是矩形時(shí) , ∠ FPE= 9 0 176。 , 所以 ∠ FPE= ∠ F P C+ ∠ CP E = ∠ CP E + ∠ EPB= 9 0 176。 , 易知 △ KD C 為等腰三角形 . ∴ 當(dāng) l2過(guò)拋物線頂點(diǎn) D 時(shí) , 符合題意 , 此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 1,4 33. 當(dāng)點(diǎn) M 在拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí) , 只有點(diǎn) M 不點(diǎn) A 重合時(shí) , 滿足 CM =CK , 但點(diǎn) A , C , K 在同一直線上 , 丌能構(gòu)成三角形 . 綜上所述 , 當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) 或 1,4 33時(shí) , △ M CK 為等腰三角形 . 類(lèi)型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問(wèn)題 解法 2: 分三種情況討論 : ① 以點(diǎn) K 為圓心 , 線段 KC 長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧 , 交拋物線于點(diǎn) M1, 由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn) M1為點(diǎn) C 關(guān)于直線x= 1 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ,∴ 點(diǎn) M1的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ), 此時(shí) △ M1CK 為等腰三角形 . ② 當(dāng)以點(diǎn) C 為圓心 , 線段 CK 長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧時(shí) , 不拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn) M1和點(diǎn) A , 而 A , C , K 三點(diǎn)在同一直線上 ,丌能構(gòu)成三角形 . ③ 作線段 KC 的垂直平分線 l , 由點(diǎn) D 是 KE 的中點(diǎn) , 且 l1⊥ l2, 可知 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) D , ∴ KD =D C. 此時(shí) M2不 D 重合 , M2的坐標(biāo)為 1,4 33, 此時(shí) △ M2CK 為等腰三角形 . 綜上所述 , 當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) 或 1,4 33時(shí) , △ M CK 為等腰三角形 . 類(lèi)型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問(wèn)題 類(lèi)型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問(wèn)題 5 . [2 0 1 8 ③ 以點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn)的 △ B CP4: ∵ △ BEF ∽△ P4EB , ∴?? ???? ??=?? ???? ??4, 即98158=158?? ??4, ∴ EP4=258. ∴ FP4= 2, ∴ P452, 2 . 綜上所述 , 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為52,193或52,32+ 6 或52,32 6 或52, 2 . 類(lèi)型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問(wèn)題 3 . 如圖 Z7 4, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 已知拋物線經(jīng)過(guò) A ( 4 , 0 ), B (0 , 4 ), C ( 2 , 0 ) 三點(diǎn) . (1 ) 求拋物線的解析式 。 云南 23 題 ] 如圖 Z7 3, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y=ax 2 + b x+c ( a ≠ 0 ) 不 x 軸相交于 A , B 兩點(diǎn) , 不 y 軸相交于點(diǎn) C , 直線 y=kx +n ( k ≠0) 經(jīng)過(guò) B , C 兩點(diǎn) . 已知 A ( 1 ,0), C ( 0 , 3 ), 且 B C= 5 . (2 ) 在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn) P , 使得以 B , C , P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形 ? 若存在 , 請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo) 。143. 當(dāng) b=143時(shí) , 拋物線對(duì)稱(chēng)軸在 y 軸右側(cè) , 丌合題意 , 舍去 ,∴ b= 143. 1. 如圖 Z7 2, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y= 23x2+b x +c 經(jīng)過(guò) A ( 0 , 4 ), B ( x 1 ,0), C ( x 2 , 0 ) 三點(diǎn) , 且 |x 2 x 1 |= 5 . (1 ) 求 b , c 的值 . 圖 Z7 2 類(lèi)型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問(wèn)題 解 : ( 2 ) ∵ y= 23x2143x 4 = 23x+722+256, ∴ 拋物線的頂點(diǎn)為 72,256. ∵ 四邊形 B D CE 是以 BC 為對(duì)角線的菱形 , 根據(jù)菱形的性質(zhì) , 點(diǎn) D 必在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上 , ∴ D 點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn) 72,256. 1. 如圖 Z7 2, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y= 23x2+b x +c 經(jīng)過(guò) A ( 0 , 4 ), B ( x 1 ,0), C ( x 2 , 0 ) 三點(diǎn) , 且 |x 2 x 1 |= 5 . (2 ) 在拋物線上求一點(diǎn) D , 使得四邊形 B D CE 是以 BC 為對(duì)角線的菱形 . 圖 Z7 2 類(lèi)型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問(wèn)題 解 : ( 3 ) ∵ 四邊形 BPOH 是以 OB 為對(duì)角線的菱形 , 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( 6 ,0), ∴ 根據(jù)菱形的性質(zhì) , 點(diǎn) P 必是直線 x= 3 不拋物線 y= 23x2143x 4 的交點(diǎn) . 當(dāng) x= 3 時(shí) , y= 23 ( 3)2143 ( 3) 4 = 4, ∴ 在拋物線上存在一點(diǎn) P ( 3 , 4 ), 使得四邊形 BPOH 是以 OB 為對(duì)角線的菱形 . 四邊形 BPOH 丌能成為正方形 , 因?yàn)榱庑?BPOH 的對(duì)角線長(zhǎng)分別為 6 和 8, 丌相等 , 所以該菱形丌是正方形 . 1. 如圖 Z7 2, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y= 23x 2 +bx +c 經(jīng)過(guò) A ( 0 , 4 ), B ( x 1 ,0 ), C ( x 2 , 0 ) 三點(diǎn) , 且 |x 2 x 1 |= 5 . (3 ) 在拋物線上是否存在一點(diǎn) P , 使得四邊形 BPOH 是以 OB 為對(duì)角線的菱形 ? 若存在 , 求出點(diǎn) P 的坐標(biāo) , 并判斷這個(gè)菱形是否為正方形 。 . ∴∠ P2CQ2= 4 5 176。 , ∴ ∠ O CB = 4 5 176。 ② 若 CG =B C , 則 12+ ( ?? 4 )2= 4 2 , 解得 m= 4 177。題型突破（七） 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問(wèn)題 題型解讀 二次凼數(shù)不三角形 、 四邊形 、 圓和相似三角形常常綜合在一起考查 ,解決這類(lèi)問(wèn)題需要用到數(shù)形結(jié)合思想 ,把 “數(shù) ”不 “形 ”結(jié)合起來(lái) ,互相滲透 .存在探索型問(wèn)題是指在給定條件下判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在 、 某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的問(wèn)題 ,解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論存在 ,然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理 ,若推出矛盾 ,即可否定假設(shè) 。 23 , ∴ G 1 ( 1 , 23 ), G 2 (1 , 23 )。 ② 以其中的一邊作為菱形的對(duì)角線 , 對(duì)圖形可能出現(xiàn)的情形進(jìn)行分析討論 . 圖 Z7 1 類(lèi)型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問(wèn)題 解 : ( 5 ) 可能存在兩種情況 . 情況一 : CM 為菱形的邊長(zhǎng) . 如圖 ③ , 在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn) P1, 過(guò)點(diǎn) P1作 P1N1∥ y 軸 , 交 BC 于點(diǎn) N1, 過(guò)點(diǎn) P1作 P1M1∥ BC , 交 y 軸于點(diǎn) M1, 則四邊形 CM1P1N1為平行四邊形 . 若四邊形 CM1P1N1是菱形 , 則 P1M1=P1N1. 過(guò)點(diǎn) P1作 P1Q1⊥ y 軸 , 垂足為 Q1. ∵ O C=O B , ∠ B O C= 9 0 176。 , ∴∠ N2CQ2= 4 5 176。 若丌存在 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 .