【正文】 增函數(shù)。 習(xí)題十 ．設(shè) 0?a ，xx eaaexf ??)( 是 R 上的偶函數(shù)。 2 ????xy ， 6|39。 習(xí)題八． 設(shè) 0?a ，求函數(shù) ),0()(l n ()( ?????? xaxxxf 的單調(diào)區(qū)間 . 分析： 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力 . 解： )0(12 1)( ????? xaxxxf. 當(dāng) 0,0 ?? xa 時(shí) 0)42(0)( 22 ??????? axaxxf . 0)42(0)( 22 ??????? axaxxf （ i）當(dāng) 1?a 時(shí)，對(duì)所有 0?x ，有 0)42( 22 ???? aax . 即 0)( ?? xf ，此時(shí) )(xf 在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)遞增 . （ ii）當(dāng) 1?a 時(shí)，對(duì) 1?x ，有 0)42( 22 ???? axax ， 即 0)( ?? xf ，此時(shí) )(xf 在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù) )(xf 在 x=1 處連續(xù)，因此， 函數(shù) )(xf 在（ 0， +? ）內(nèi)單調(diào)遞增 （ iii）當(dāng) 10 ??a 時(shí)，令 0)( ?? xf ，即 0)42( 22 ???? axax . 解得 aaxaax ???????? 122,122 或. 因 此 ， 函 數(shù) )(xf 在區(qū)間 )122,0( aa ??? 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 ， 在 區(qū) 間),122( ????? aa 內(nèi)也單調(diào)遞增 . 令 0)42(,0)( 22 ?????? axaxxf 即 ，解得aaxaa ???????? 122122 . 因此，函數(shù) )(xf 在區(qū)間 )122,122 aaaa ?????（ 內(nèi)單調(diào)遞減 . 習(xí)題九． 已知拋物線 42 ??xy 與直線 y=x+2 相交于 A、 B兩點(diǎn)，過(guò) A、 B 兩點(diǎn)的切線分別為 1l 和 2l 。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式 1)39。 22 tttS ??????? ?? tttttttt 4214)1(2 3242 ???????? 2726111227291|39。 ???? ???? x xx xxxy， 04 22|39。 解： 若 )(xf 為偶函數(shù) )()( xfxf ?? 令)()()(lim 0 xfx xfxxfx ??? ????? x xfxxfx xfxxfxf xx ?? ?????? ???????? ???? )()(l i m)()(l i m)( 00 )()()(l i m0 xfxfxxfx ????? ????? ?? ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證： )()()(])([ xfxxfxff ????????????? ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 習(xí)題四． （ 1）求曲線122 ??x xy在點(diǎn)（ 1， 1）處的切線方程； （ 2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為 22 21 tttS ???，求 t=3 時(shí)的速度。23)()(l i m213)()3(l i m232)()(l i m2)()3(l i m0000???????????????????? （ 2） ?????? ??????? hhafhafh afhafhh 22020)()(l i m)()(l i m 00)(39。 綜合提高 答案： 習(xí)題一??? ?? ??? 11)( 2 xbax xxxfy 在 1?x 處可導(dǎo)，則 ?a ?b 思路 ：??? ?? ??? 11)( 2 xbax xxxfy 在 1?x 處可導(dǎo)，必連續(xù) 1)(lim1 ??? xfx baxfx ???? )(lim1 1)1( ?f ∴ 1??ba 2lim0 ?????? xyx axyx ?????? 0lim ∴ 2?a 1??b 習(xí)題二． 已知 f(x)在 x=a 處可導(dǎo)，且 f′ (a)=b，求下列極限： （ 1）h hafhafh 2 )()3(lim 0 ?????； （ 2） h afhafh)()(lim 20???? 分析 ： 在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△ x的形式是多種多樣，但不論△ x 選擇哪種形式，△ y 也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。23 12 12 ?? ??? nnnn xxx （Ⅱ） 21 )21()21( ?? ?? nnn x。 12． 請(qǐng)您設(shè)計(jì) 一個(gè)帳篷。 5． 對(duì)于 R 上可導(dǎo)的任意函數(shù) f（ x），若滿(mǎn)足（ x－ 1） fx?（） ?0，則必有（ ） A． f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） B. f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） C． f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） D. f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） 6． 函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間 ),( ba ，導(dǎo)函數(shù) )(xf? 在 ),( ba 內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) )(xf 在開(kāi)區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) 7． 已知函數(shù) ? ? 11 axxf x ex ??? ?。 （ I）求 a 的值； （ II）證明 )(xf 在 ),0( ?? 上是增函數(shù)。 習(xí)題五． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間 （ 1） 5221)( 23 ????? xxxxfy （ 2）xxy 12 ?? （ 3） xxky ?? 2 )0( ?k （ 4） ?ln2 2 ?? xy 習(xí)題六． 求證下列不等式 （ 1）)1(2)1ln(222xxxxxx ?????? ),0( ???x （ 2）?xx 2sin ? )2,0( ??x （ 3） xxxx ??? tansin )2,0( ??x 習(xí)題七． 利用導(dǎo)數(shù)求和： （ 1） ； （ 2） 。所以，磁盤(pán)總存儲(chǔ)量 )(22)( rRmn rn rm rRrf ????? ππ 它是一個(gè)關(guān)于 r 的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是 r 越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大． 為求 )(rf 的最大值，計(jì)算 0)(` ?rf ． ? ?2( ) 2f r R rmn?? ?? 令 0)(` ?rf ，解得2Rr? 當(dāng)2Rr?時(shí)， 0)(` ?rf ；當(dāng)2Rr?時(shí)， 0)(` ?rf ． 因此2Rr?時(shí)， 磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤(pán)格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。磁盤(pán)是帶有磁性介質(zhì)的圓盤(pán)，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。 ( ) cos 1 0f x x? ? ? 因此，函數(shù) xxxf ?? sin)( 在 ),0(π 單調(diào)遞減． 結(jié)論：一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些． 例 14：求證：函數(shù) 11232)( 23 ???? xxxxf 在區(qū)間 (2,1)內(nèi)是減函數(shù)． 證明：因?yàn)? ? ? ? ? ? ?39。 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù) ))(( xgfy ? 的導(dǎo)數(shù)和函數(shù) )(ufy? 和 )(xgu? 的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 ``` xux uyy ?? ，即 y對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)等于 y對(duì) u的導(dǎo)數(shù)與 u 對(duì) x的導(dǎo)數(shù)的乘積． 若 ))(( xgfy ? ，則 )())(())](([ ```` xgxgfxgfy ??? . 【典型例題】 例 10 求 xxy 44 cossin ?? 的導(dǎo)數(shù)． 分析：利用公式 1cossin 22 ?? xx 求解 . 例 11 曲線 y ＝ x（ x ＋ 1）（ 2－ x）有兩條平行于直線 y ＝ x 的切線，求此二切線之間的距離． 【解】 xxxy 223 ???? 223 2` ???? xxy 令 y′＝ 1 解得 x ＝－31或 x ＝ 1． 于是切點(diǎn)為 P（ 1， 2）， Q（－31，－2714）， 過(guò)點(diǎn) P的切線方程為， y － 2＝ x － 1 即 x － y ＋ 1＝ 0． 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個(gè)區(qū)間 ),( ba 內(nèi)，如果 0)(` ?xf ，那么函數(shù) )(xfy? 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單 調(diào)遞增；如果 0)(` ?xf ，那么函數(shù) )(xfy? 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說(shuō)明：（ 1）特別的，如果 0)(` ?xf ，那么函數(shù) )(xfy? 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 函數(shù) )(xfy? 單調(diào)區(qū)間 求解函數(shù) )(xfy? 單調(diào)區(qū)間的步驟： （ 1）確定函數(shù) )(xfy? 的定義域； （ 2）求導(dǎo)數(shù) )(`` xfy ? ； （ 3）解不等式 0)(` ?xf ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間； （ 4）解不等式 0)(` ?xf ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． 【典型例題】 例 12．已知導(dǎo)函數(shù) )(` xf 的下列信息： 當(dāng) 1x4 時(shí)， 0)(` ?xf ； 當(dāng) x4,或 x1 時(shí)， 0)(` ?xf ； 當(dāng) x=4, 或 x=1 時(shí)， 0)(` ?xf . 試畫(huà)出函數(shù) )(xfy? 圖像的大致形狀． 解：當(dāng) 1x4 時(shí)， 0)(` ?xf ，可知 )(xfy? 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng) x4,或 x1 時(shí)， 0)(` ?xf ；可知 )(xfy? 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 當(dāng) x=4, 或 x=1 時(shí)， 0)(` ?xf ，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱(chēng)為“臨界點(diǎn)”． 例 13．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間． （ 1） 3( ) 3f x x x??； （ 2） 2( ) 2 3f x x x? ? ? （ 3） ( ) si n ( 0 , )f x x x x ?? ? ?； 解：（ 1）因?yàn)? 3( ) 3f x x x??， 所以， 39。39。 ( ) ln ? 所以 39。 ln ( 0)xy a a a? ? ? () xy f x e?? 39。 0y? *( ) ( )ny f x x n Q? ? ? 39。2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)()()f x f x g x f x g x gxgxgx?? ??????? 注意： ? ?39。39。 39。 x 【典型例題】 例 4．（ 1）求函數(shù) 23xy? 在 x=1 處的導(dǎo)數(shù) . 分析：先求Δ f=Δ y=f(１＋Δ x)f(１ )=6Δ x+(Δ x)2 再求 xxf ????? 6再求 6lim ????? xfox。 oxf 或oxxxf ?|)(39。 導(dǎo)數(shù) 變化率問(wèn)題 平均變化率概念 : 式子 1212 )()( xx xfxf ?? , 稱(chēng)為函數(shù) f(x)從 x1 到 x2 的平均變化率。 導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念 1, 導(dǎo)數(shù)概念 一般的，定義在區(qū)間（ a ， b ）上的函數(shù) )(xf ， )( baxo ，? ，當(dāng) x? 無(wú)限趨近于 0時(shí)， x xfxxfxy oo ? ?????? )()( 無(wú)限趨近于一個(gè)固定的常數(shù) A，則稱(chēng) )(xf在 oxx? 處可導(dǎo)，并稱(chēng) A 為 )(xf 在 oxx? 處的導(dǎo)數(shù)，記作 )(39。 ? 幾何意義： )(xf 在 oxx? 處的導(dǎo)數(shù)就是 )(xf 在 oxx? 處的切線斜率。 （ 2）因?yàn)? 2 2 2 21 1 1 13 3 1 3 ( 1 )| l im l im l im 3 ( 1 ) 611x x x xxxyxxx? ? ? ?