【正文】 22220212122000002122212122212202222? iiiiiiiiLy? The representation for the states and dynamical variable 60 .?0000000020002000022222200222202122212122212202222的本征值就是和，對(duì)角元素yLiiii????????????????????????????????????????????????????????????????????? The representation for the states and dynamical variable 61 具體見前面的例題 如果 的對(duì)角元就是 /F 是對(duì)角矩陣，即 B表象是 ?F 自身的表象，那么 /F ?F 的本征值 . 于是求算符本征值的問題歸結(jié)于尋找一個(gè)么正變換把算符 F從原來的表象變換到自身表象，使算符 F的矩陣表示對(duì)角化。 xL?設(shè)在 和 的共同表象中， 的本征函數(shù)為 ， 為所對(duì)應(yīng)的本征值。 。 239。? 39。39。xxdH x x V x x xm d x??? ? ? ? ? The representation for the states and dynamical variable 35 ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?*39。 39。 39。 39。 ?F求力學(xué)量算符矩陣的關(guān)鍵是求 其 矩陣元 Ex： 設(shè)一維粒子 Hamilton量 求 x表象中 x,p和 H的“矩陣元”， 求 p表象中 x,p和 H的“矩陣元” 。 nnA The representation for the states and dynamical variable 31 厄密算符的矩陣 是厄密矩陣 ： ? ?*****? ?( ) ( ) ( ( ) ) ( )?( ) ( ) ( 5 )m n m n m nn m nmF u x Fu x dx Fu x u x dxu x Fu x dx F???????算符在自身表象中為對(duì)角陣 Q? 在其自身表象中的矩陣元 **?( ) ( )( ) ( ) ( 6)m n m nn m n n m nQ u x Qu x dxQ u x u x dx Q ???????????????????????00? 21Q因此我們常說 表象為以 為對(duì)角線的表象。即 * ( 2)AA? ?當(dāng)一個(gè)矩陣等于它的厄密共軛矩陣，即滿足條件 ( 3 )AA? ?時(shí)，稱厄密自共軛矩陣，簡(jiǎn)稱 厄密矩陣 。 The representation for the states and dynamical variable 26 （ 1） ? ( , ) ( , ) ( , )F x i x t x tx??????即 ??mmm xutatx )()(),(? ( , ) ( ) ( )mmmx t b t u x? ? ? 選定力學(xué)量 表象， 算符的 正交歸一的本征函數(shù) 完備 系記為 Q ?Q{ ( )}n xu將 和 分別按函數(shù)系 展開 ( , )xt? ( , )xt? { ( ) }n xu代入坐標(biāo)表象表達(dá)式 （ 1） ?? ????mmmmmm tuxixFtatutb )(),(?)()()( ?以 乘該式 ， 對(duì) 全部范圍積分 * ()nux x The representation for the states and dynamical variable 27 ? ? ? ?** ?( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )m n m m n mmmb t u x u x d x a t u x F x i u x d xx??? ??? ??mn?記為 nmF??mmnmn taFtb )()(111 1 1 2 1222112( ) ( )( ) ( )( ) ( )mn n n mnmb t a tF F Fb t a tFF F Fb t a t? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? F?記為 矩陣 和 分別是波函數(shù) 和 在 Q 表象中的形式。 結(jié)論 The representation for the states and dynamical variable 24 同一態(tài)在不同表象中波函數(shù)的形式是不同的，但它們描述的是同一個(gè)態(tài)。 ?Q { ( ) }nux? ? ? ? ?? ?? n m nmu x u x d x任一態(tài)矢 ????1)()(),(nxnutnatx?注意： 由于波函數(shù)必須歸一化，因而態(tài)矢的大小一定，不同的態(tài)矢只是方向不同。(39。 能級(jí)態(tài)的表示 n0010nA????????? ??????????第 n行 The representation for the states and dynamical variable 17 : ? ? 3 / 212 ?? ??i prPeSolve： 自由粒子 動(dòng)量 算符的 本征函數(shù) 3( ) ( ) ( )??? ? ?PPr C P r d P( ) ( ) ( ) ??? ??? ? PPC P r r d 求自由粒子動(dòng)量算符 具有確定本征值 的本征函數(shù)在動(dòng)量自身表象中的形式 ?P ?P The representation for the states and dynamical variable ( 39。 是粒子狀態(tài)波函數(shù)在 Q 表象中的表示 ， 稱為 Q 表象波函數(shù) . ( , )? qt( , )? rt( , )? qt ( , )? qt( , )? rt二者從不同角度對(duì)同一量子態(tài)給予描述 , 物理意義是等價(jià)的 ,數(shù)學(xué)上也是等價(jià)的 . 表示量子態(tài)在 t時(shí)刻測(cè)量粒 子坐標(biāo)為 x 的概率 2),( tx? The representation for the states and dynamical variable 13 ????12 1)(nn ta? ? 1),(32 rdtr ???歸一化條件 ( , ) ( , ) 1q t q t??? ?（歸一化條件的矩陣 表述形式） 以上討論可推廣到 Q 有連續(xù)譜的情況 。 ( , )rt?r2( , )C P t 是在 所描寫的狀態(tài)中，測(cè)量粒子的動(dòng)量所得結(jié)果為 的幾率。 態(tài)的表象 動(dòng)量算符本征函數(shù)： ???? 3 / 21()(2 )i PrP re 組成 完備系 展開系數(shù) 構(gòu)成付里葉變換與逆變換 從數(shù)學(xué)上 講， 知道其一 , 必可唯一地求出另一。這一章我們討論其他表象，并介紹文獻(xiàn)中常用的狄喇克符號(hào)。坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等，但它們對(duì)空間的描寫是完全是等價(jià)的。 The representation for the states and dynamical variable 1 態(tài)和力學(xué)量的表象 The representation for the states and dynamical variable The representation for the states and dynamical variable 2 引言 按量子力學(xué)基本原理， 體系 的狀態(tài)用波函數(shù)描述，力學(xué)量用線性厄米算符 表示 。 這就是說 量子力學(xué)中 波函數(shù)和力學(xué)量算符 的 描述方式不是唯一的 ，這正如幾何學(xué)中選用坐標(biāo)系不是唯一的一樣。以前所采用的表象是坐標(biāo)表象。 ◆ 三個(gè)公式： 在任意表象中 的表示 平均值公式 本征值方程 薛定諤方程 ◆ 狄喇克符號(hào)及應(yīng)用 ◆ 幺正變換的基本性質(zhì) 表象的定義 ◆ 一個(gè)定義： ◆ 產(chǎn)生算符、湮滅算符、粒子數(shù)算符及它 們的物理意義 The representation for the states and dynamical variable 7 線性代數(shù) 主要數(shù)學(xué)工具 矩 陣 具體內(nèi)容見教案 The representation for the states and dynamical variable 8 33 / 21( , ) ( , )(2 )i PrC P t r t e d r????? ?1．態(tài)的動(dòng)量表象 ???? ? 33 / 21( , ) ( , )(2 )iPrr t C P t e d P167。 ( , )rt? ( , )C P t 物理意義 ？ ( , )C P t2( , )? rt 是在 所描寫的狀態(tài)中，測(cè)量粒子的位置所得結(jié)果 為 的幾率。 ( , )C P t( , )rt?( , ) * ( , )C p t C p t d p d p??? ??( , ) ( , ) ( ) ( )ppC p t C p t d p d p x x d x???? ???? ? ? ? The representation for the states and dynamical variable 11 ????1)()(),(nnn rutatr???2． Q 表象 力學(xué)量算符 的正交歸一的本征函數(shù) 完備 系： ? ?()nur?Q任一狀態(tài) 可按其展開： ??? rdtrruta nn ??? 3* ),()()( ?展開系數(shù)： 由上述兩式給出了 與 函數(shù)集之間的相互變換關(guān)系 ， 將 寫成矩陣 ( , )? rt ? ?()nat? ?()nat本征方程： ? ( ) ( )n n nQ u x q u x? The representation for the states and dynamical variable 12 1()( , )()natqtat??????????????),( tr?? 給出在 態(tài)中測(cè)量粒子的力學(xué)量 Q 取 值的幾率 . nq2()nat ( , )? rt 對(duì)于 與 ， 知道其一就可求得另一 ，因而 與 描述粒子同一狀態(tài) 。 The representation for the states and dynamical variable 16 基態(tài)的表示 1100A??????? ???????? 一般結(jié)論 : 力學(xué)量算符屬于分立本征值的本征函數(shù)在該力學(xué)量自身表象中為一 δ 符號(hào) , 其矩陣為單位元矩陣。 The repres