【正文】 對角陣 Q? 在其自身表象中的矩陣元 **?( ) ( )( ) ( ) ( 6)m n m nn m n n m nQ u x Qu x dxQ u x u x dx Q ???????????????????????00? 21Q因此我們常說 表象為以 為對角線的表象。量子力學中要用厄密算符來描寫力學量，所以同它們對應的矩陣必是厄密矩陣。即 * ( 2)AA? ?當一個矩陣等于它的厄密共軛矩陣，即滿足條件 ( 3 )AA? ?時，稱厄密自共軛矩陣，簡稱 厄密矩陣 。 F* ?( ) ( )mnu x Fu x dx? ? mnF?利用厄密算符的定義可得 The representation for the states and dynamical variable 29 1. 以二階矩陣為例： ?????????????????????????????????????*22*12*21*1122122111*22*21*12*11*22211211~aaaaAaaaaAaaaaAaaaaA共軛：轉(zhuǎn)置：復共軛： 厄密共軛矩陣是厄密共軛算符的對應物。 The representation for the states and dynamical variable 26 （ 1） ? ( , ) ( , ) ( , )F x i x t x tx??????即 ??mmm xutatx )()(),(? ( , ) ( ) ( )mmmx t b t u x? ? ? 選定力學量 表象， 算符的 正交歸一的本征函數(shù) 完備 系記為 Q ?Q{ ( )}n xu將 和 分別按函數(shù)系 展開 ( , )xt? ( , )xt? { ( ) }n xu代入坐標表象表達式 （ 1） ?? ????mmmmmm tuxixFtatutb )(),(?)()()( ?以 乘該式 ， 對 全部范圍積分 * ()nux x The representation for the states and dynamical variable 27 ? ? ? ?** ?( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )m n m m n mmmb t u x u x d x a t u x F x i u x d xx??? ??? ??mn?記為 nmF??mmnmn taFtb )()(111 1 1 2 1222112( ) ( )( ) ( )( ) ( )mn n n mnmb t a tF F Fb t a tFF F Fb t a t? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? F?記為 矩陣 和 分別是波函數(shù) 和 在 Q 表象中的形式。 解釋說明： The representation for the states and dynamical variable 25 算符的矩陣表示 力學量算符在坐標表象與動 量表象中的表示 222???2xxxPixTmx?????????坐標表象 動量表象 mpTpPpixxxxx2???2????? ?問題 力學量算符 在 表象中如何表示？ ?FQ 在 坐標 表象中 ， 力學量 F 用算符 表示 ， 設 作用于 得到 。 結(jié)論 The representation for the states and dynamical variable 24 同一態(tài)在不同表象中波函數(shù)的形式是不同的，但它們描述的是同一個態(tài)。 ?Q{ ( ) }n xuQ２ .任意態(tài)矢量 在 表象中的表示 是 一 列矩陣，矩陣元 是態(tài)矢量 在 算符的本征矢 上的投影。 ?Q { ( ) }nux? ? ? ? ?? ?? n m nmu x u x d x任一態(tài)矢 ????1)()(),(nxnutnatx?注意： 由于波函數(shù)必須歸一化，因而態(tài)矢的大小一定，不同的態(tài)矢只是方向不同。(? xxxxxx ??? ??本征值方程 : The representation for the states and dynamical variable 19 以上討論與三維矢量空間矢量的表示很類似 。(39。 P?P The representation for the states and dynamical variable 18 動量算符的本征方程 ? ( ) ( )P P P P P P?? ? ? ?? ? ?一般結(jié)論 : 力學量算符屬于連續(xù)本征值的本征函數(shù)在該力學量自身表象中為一 δ 函數(shù) 。 能級態(tài)的表示 n0010nA????????? ??????????第 n行 The representation for the states and dynamical variable 17 : ? ? 3 / 212 ?? ??i prPeSolve： 自由粒子 動量 算符的 本征函數(shù) 3( ) ( ) ( )??? ? ?PPr C P r d P( ) ( ) ( ) ??? ??? ? PPC P r r d 求自由粒子動量算符 具有確定本征值 的本征函數(shù)在動量自身表象中的形式 ?P ?P The representation for the states and dynamical variable ( 39。 . 注 The representation for the states and dynamical variable 14 ? ?? ? 1 / 212???ipxp xe動量本征函數(shù) Solve 選擇動量表象 : 10( ) ( ) ( )apx C p x dp?? ? ?展開系數(shù) ： ? ? ? ? ? ?1???? ?pC p x x d x? ? 1 / 2 012s in .2ia pxx e d xaa???? ?2 2 2 21/ipaaepa????? The representation for the states and dynamical variable 15 能量表象 ： ? ? 2 s i n ?? ?n nxxaa本征函數(shù) ? ? ? ? ? ?1??? ? nnnx a E x? ? ? ? nnn dxxxEa ,1*1 )( ??? ?? ?可見能量算符的本征函數(shù)在能量自身表象中取 δ符號形式。 是粒子狀態(tài)波函數(shù)在 Q 表象中的表示 ， 稱為 Q 表象波函數(shù) . ( , )? qt( , )? rt( , )? qt ( , )? qt( , )? rt二者從不同角度對同一量子態(tài)給予描述 , 物理意義是等價的 ,數(shù)學上也是等價的 . 表示量子態(tài)在 t時刻測量粒 子坐標為 x 的概率 2),( tx? The representation for the states and dynamical variable 13 ????12 1)(nn ta? ? 1),(32 rdtr ???歸一化條件 ( , ) ( , ) 1q t q t??? ?（歸一化條件的矩陣 表述形式） 以上討論可推廣到 Q 有連續(xù)譜的情況 。 r P The representation for the states and dynamical variable 10 證 1 * ( , ) ( , )??? ? x t x t dx[ ( , ) ( ) ] * [ ( , ) ( ) ]ppC p t x d p C p t x d p d x?????? ? ? ?( , ) * ( , )C p t C p t d p? ?()pp? ? ?（歸一化條件） 命題 若 是歸一化波函數(shù)，則 也歸一。 ( , )rt?r2( , )C P t 是在 所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動量所得結(jié)果為 的幾率。 ? ( , )rt ( , )C P t任一狀態(tài) 可按其展開： ? The representation for the states and dynamical variable 9 稱為坐標表象中的 狀態(tài) 波函數(shù)， 稱為 動量表象中的 狀態(tài) 波函數(shù)。 態(tài)的表象 動量算符本征函數(shù)： ???? 3 / 21()(2 )i PrP re 組成 完備系 展開系數(shù) 構(gòu)成付里葉變換與逆變換 從數(shù)學上 講， 知道其一 , 必可唯一地求出另一。 作業(yè) ： 見課本 130頁 The representation for the states and dynamical variable 5 ? 態(tài)的表象 The representation of the state ? 算符的矩陣表示 Matrix representation of operators ? 量子力學公式的矩陣表示 Matrix representation of formula for quantum mechanism ? 幺正變換 Unitary transformation ? 狄喇克符號 Dirac symbols ? 線形諧振子與占有數(shù)表象 Linear oscillator and occupation number representation 研究內(nèi)容 The representation for the states and dynamical variable 6 重點掌握的內(nèi)容 ◆ 二個表示： 態(tài)在任意表象中的表示； 算符在任意表象中的表示。這一章我們討論其他表象，并介紹文獻中常用的狄喇克符號。 量子力學中 態(tài)和力學量的具體表示方式稱為表象 。坐標系有直角坐標系、球坐標系、柱坐標系等，但它們對空間的描寫是完全是等價的。那么，是否還可以選擇其它力學量 算符的本征值作為變量而寫出波函數(shù)及力學量算符的具體形式 呢？回答是肯定的。 The representation for the states and dynamical variable 1 態(tài)和力學量的表象 The representation for the states and dynamical variable The representation for the states and dynamical variable 2 引言 按量子力學基本原理， 體系 的狀態(tài)用波函數(shù)描述，力學量用線性厄米算符 表示 。前面所使用的波函數(shù)及力學量算符是 以坐標這個力學量算符的本征值為變量 寫出它們 的 具體形式的。 這就是說 量子力學中 波函數(shù)和力學量算符 的 描述方式不是唯一的 ，這正如幾何學中選用坐標系不是唯一的一樣。 量子力學中態(tài)和力學量的具體表示方式稱為表象