【正文】 宮的九龍壁，都是九只龍，更有趣的是天壇有個(gè)歷代皇帝祭天的地方，無(wú)論是潔白的石欄桿，或是圓臺(tái)上磨平的石塊，其數(shù)目都和九字有關(guān)。重陽(yáng)節(jié)是雙九，人們十分重視這個(gè)節(jié)日，因?yàn)椤熬旁戮拧奔壹矣校藭r(shí)正是收獲的季節(jié)。三九、四九掩門喚狗?！　【牛诖鷶?shù)的世界里留有神奇的足跡……　　九的有趣性質(zhì)簡(jiǎn)直是太多啦!實(shí)在是舉不勝舉。九也是一個(gè)奇妙的再植數(shù)，從算式1098909=989010中看出，9竟然將這個(gè)數(shù)的最高兩位變成最低兩位。九也是一個(gè)神圣的自補(bǔ)數(shù)，因?yàn)?2=81，1+9=10。②用原數(shù)減去其數(shù)字之和(41818)，其差405也是九的倍數(shù)。第一個(gè)算式到第九個(gè)算式的變化，更能顯示出奇妙無(wú)比的秩序美。九的倍數(shù)的各位數(shù)字之和也一定是九的倍數(shù)，可知九的倍數(shù)是一個(gè)非常和諧圓滿的數(shù)系。　　九有一個(gè)非常奇妙的性質(zhì)，是其它數(shù)字所沒(méi)有的。作為一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，應(yīng)該去深入探索它的本質(zhì)及其它美妙的蘊(yùn)意。人分“九級(jí)”。道路謂之“九陌”。*** 數(shù)學(xué)小故事：神奇美妙的“9 ”　　九，是我們中華民族所崇拜的數(shù)字，在中國(guó)古代人們的觀念中，將天稱為“九天”、“九重”、“九霄”。*** 1至30的平方1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=36120*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900*** 世界上最神奇的數(shù)字是1除以7的循環(huán)節(jié)：142857 1/7= 142857 142857............它神奇在哪里呢？ 我們把它從1乘到6看看142857 X 1 = 142857 1→4→2→8→5→7142857 X 2 = 285714 2→8→5→7→1→4142857 X 3 = 428571 4→2→8→5→7→1142857 X 4 = 571428 5→7→1→4→2→8142857 X 5 = 714285 7→1→4→2→8→5142857 X 6 = 857142 8→5→7→1→4→2同樣的6個(gè)數(shù)字，只是依此調(diào)換了位置，反復(fù)出現(xiàn)。35．不定方程一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟：列方程；消元；寫出表達(dá)式；確定范圍；確定特征；確定答案；技巧總結(jié)：A、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；36．循環(huán)小數(shù)一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。移項(xiàng)關(guān)鍵問(wèn)題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號(hào)規(guī)則。列方程關(guān)鍵問(wèn)題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。成本100%；賣價(jià)=成本（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；成本=賣價(jià)247。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60 度，即1/2 度。關(guān)鍵問(wèn)題：①確定分針與時(shí)針的初始位置； ②確定分針與時(shí)針的路程差；基本方法：　?、俜指穹椒ǎ骸　r(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。28．幾何面積基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。③條件分析——圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線則表示否定的狀態(tài)。27．邏輯推理基本方法簡(jiǎn)介：①條件分析—假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。26．工程問(wèn)題基本公式：①工作總量=工作效率工作時(shí)間②工作效率=工作總量247。2水速=（順?biāo)俣饶嫠俣龋?47。時(shí)間=速度；路程247。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。；反之不成立。3（3+4）/1+ 12247。⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。（具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律）⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|ab，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(modm)，讀作a同余于b模m。②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|ab或c|ba。、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被125整除。兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)……(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟。14．加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。=An10n1+An110n2+An210n3+An310n4+An410n5+An610n7+……+A3102+A2101+A1100注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用0～1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。公差＋1；公差公式：d =（an－a1））247?；竟剑和?xiàng)公式：an = a1+（n－1）d；通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1) 公差；數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)n247。注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中nm，那么必有一個(gè)抽屜至少有:①k=[n/m ]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)?？偡輸?shù) 總數(shù)量=平均數(shù)總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量247。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。7．牛吃草問(wèn)題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。兩次每份數(shù)的差②當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）247?；竟剑孩侔阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)總頭數(shù)－總腳數(shù)）247。2=較大數(shù)較大數(shù)－差=較小數(shù)和－較大數(shù)=較小數(shù)和247。2=較小數(shù)較小數(shù)＋差=較大數(shù)和－較小數(shù)=較大數(shù)②(和＋差)247。關(guān)鍵問(wèn)題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4．植樹(shù)問(wèn)題基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只有一端植樹(shù)封閉曲線上植樹(shù)基本公式棵數(shù)=段數(shù)＋1棵距段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)－1棵距段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)棵距段數(shù)=總長(zhǎng)關(guān)鍵問(wèn)題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5．雞兔同籠問(wèn)題基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)；基本思路：①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。6．盈虧問(wèn)題基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量．基本題型：①一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）247。關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。（長(zhǎng)時(shí)間短時(shí)間）；總草量= 較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) 較長(zhǎng)時(shí)間生長(zhǎng)量；8．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除； 9．平均數(shù)基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量247。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特