概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)_第三章-全文預(yù)覽
【正文】 分布函數(shù)與離散型二維隨機(jī)變量 分布律 、連 續(xù)型二維隨機(jī)變量 概率密度 的關(guān)系 [見(jiàn)后 ]. 隨機(jī)向量落在矩形區(qū)域的概率 三、離散型二維隨機(jī)變量 概念 定義 3 如果二維隨機(jī)變量 (X,Y)所有可能取值為 有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)點(diǎn) ,則稱(chēng) (X,Y)為 二維離散型隨機(jī) 變量 . ).,2,1,(},{ ????? ? jipyYxXP ijji 分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y)可能取值為 ),2,1,)(,( ??jiyx ji 則 (X,Y)的 分布律 (概率分布 )[X與 Y的 聯(lián)合分布律 ]為 分布律 滿(mǎn)足 : .11 1?? ?????i jijp 分布律可用表格 表示 : X Y ?? ixxx 21?? 12111 ippp?? ijjj ppp 21?? 22212 ippp???????jyyy21)。 [TTT] P{X=1,Y=1}=3/8。 P{X=3,Y=1}=P(φ)=0。 四、連續(xù)型二維隨機(jī)變量 ,),(),( ? ??? ???y xd ud vvufyxF 概念 定義 4 設(shè) 為二維隨機(jī)變量 (X,Y)分布函數(shù) , 如果存在非負(fù)函數(shù) 使對(duì)任意實(shí)數(shù) 有 ),( yxF),( yxf yx,則稱(chēng) (X,Y )為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ,其中 稱(chēng)為 隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度 ,或稱(chēng)為隨機(jī)變量 X與 Y的聯(lián) 合概率密度 . ),( yxf概率密度及其性質(zhì) 概率密度具有下列 性質(zhì) : ? 設(shè) G為平面 xoy上的一個(gè)區(qū)域 ,則隨機(jī)點(diǎn) (X,Y) 落在 G內(nèi)的概率為 : .),(}),{( ????Gd x d yyxfGYXP)。(3)求概率 }.{ XYP ? (1) 因?yàn)? ,2|)1(|)21( 002 CeeC yx ????? ??????200xyC e d x e d y? ? ? ???? ?? 所以 .2?C??? ?????其它,0,0,0,2),()2( yxeyxfyx 故 例 2續(xù) 1 (2)由概率密度求分布函數(shù) . ? 解題思路 ?畫(huà)出 聯(lián)合概率密度的 非零區(qū)域 。特別是會(huì)根據(jù) 不同形狀 的 概率密度非零區(qū)域 與所求概率的 事件 區(qū)域 G來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題。 二、離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布律 設(shè) 離散型 二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 分布律 為 ? ????????xx jijXipxFxF1),()().,2,1,(},{ ????? jipyYxXP ijji 則由聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)、聯(lián)合分布律關(guān) 系得： }{)( ????xxiXixXPxF 又由一維離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)與分布律關(guān)系得： 比較可得 X的分布律 為： ??????? ? ijiji ppxXP1}{ 同理可得 Y的分布律 為： ???? ?1iijj pp 我們稱(chēng) ???? ?1jiji ppjiijj ppyYP ??????? ?1}{ ——(X,Y)關(guān)于 X的 邊緣分布律 ——(X,Y)關(guān)于 Y的 邊緣分布律 顯然 ,由聯(lián)合分布律 可 求 得各個(gè) 邊緣分布律 ,只需 采用 “ 同一表格法 ” . 設(shè) Y的聯(lián)合分布律為 〖 解 〗 利用公式得邊緣分布律 ,見(jiàn)上表 “ 邊緣 ” . 求 X,Y的邊緣分布律 . 【 例 3】 三、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊緣概率密度 設(shè) 連續(xù)型 二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度 為 dxdyyxfxFxFxX ? ????????????????? ),(),()()),)((,( 2Ryxyxf ? 則由聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)、聯(lián)合概率密度關(guān)系得： dttfxFxXX )()( ???? 又由一維連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)與概率密度關(guān)系得： 比較可得 X為連續(xù)型隨機(jī)變量 ,且 X的概率密度 為： ?????? dyyxfxf X ),()( 同理可得 Y的概率密度 為： 我們稱(chēng) ?????? dyyxfxf X ),()(?????? dxyxfyf Y ),()( —(X,Y)關(guān)于 X的 邊緣概率密度 —(X,Y)關(guān)于 Y的 邊緣概率密度 顯然 ,由聯(lián)合概率密度 可 求 得各個(gè) 邊緣概率密度 , 只需對(duì)某 一個(gè)變量在 (∞,+∞)上積分 ,但必須注意 另 一個(gè)變量應(yīng)在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值 . ?????? dxyxfyf Y ),()(參量積分 【 例 4】 (典型題） 設(shè) Y的聯(lián)合概率密度為 ? 解題思路 求 X,Y的邊緣概率密度 . ??? ???,0,6),( 2其它xyxyxf ?畫(huà)出 聯(lián)合概率密度的 非零區(qū)域 。 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 則稱(chēng)隨機(jī)變量 X與 Y是 相互獨(dú)立 的 . },{}{},{ yYPxXPyYxXP ????? 定義 1 設(shè) 分別為二維隨機(jī) 變量 (X,Y)分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù) .如果對(duì)于任意 的實(shí)數(shù) 均有 )(),(),( yFxFyxF YXyx,一、概念 即 ),()(),( yFxFyxF YX? 利用兩事件的獨(dú)立性可以定義兩隨機(jī)變量的獨(dú)立性 . 二、判定 由定義可以判定隨機(jī)變量 X與 Y的 獨(dú)立性 : ).),()(()(),( 2RyxyFxFyxF YX ???? X與 Y相互 獨(dú)立 特別的，對(duì)離散性和連續(xù)性隨機(jī)變量，也可利 用其分布律與概率密度來(lái)判定獨(dú)立性。 (2)判定 X,Y的獨(dú)立性 . 〖 解 〗 (1)求 (X,Y)的邊緣概率 密度 dyyxfxf X ),()( ?????????????? ??,0,10,1其它xdyxx??? ???,0,10,2其它xxdxyxfyf Y ),()( ??????????????????????????,001,110,111其它ydxydxyy??? ?????,0,11|,|1其它yy?????????????,001,110,1其它yyyy例 1續(xù) 1 (2)判定獨(dú)立性 因?yàn)? )()(),( yfxfyxf YX? 即 X與 Y不獨(dú)立 。 本題知識(shí)點(diǎn)回顧 不難看出：對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X,Y),X與 Y相 互獨(dú)立的充要條件是參數(shù) ρ=0. 參數(shù) ρ稱(chēng)為 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) (ch4). 如果隨機(jī)變量 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) ρ=0,稱(chēng) X與 Y是 不 相關(guān) 的 . 一般 ,X與 Y相互 獨(dú)立 X與 Y不相關(guān) . 但對(duì) 二維正態(tài) 隨機(jī)變量 (X,Y),X與 Y獨(dú)立 與 不相 關(guān) 是 等價(jià) 的 . 續(xù)
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