【正文】 3 0 0XE X t R?? ????? ?22 0 20 0X X XRm? ? ? ?于是， 10 10 0 c os 10( ) 10 0 10 0XRe? ?? ?? ? ?()Xt65/117 2022/2/14 作業(yè)： 66/117 2022/2/14 功率譜密度與互功率譜密度 確定信號(hào) 時(shí)域：信號(hào)隨時(shí)間變化的特性 頻域：信號(hào)頻率成分及各頻率成分大小 信號(hào)譜 隨機(jī)信號(hào) 時(shí)域：從統(tǒng)計(jì)意義上分析 頻域：一個(gè)樣本函數(shù)的特性不能代表全體，故也應(yīng)從統(tǒng)計(jì)意義上分析 功率譜 68/117 2022/2/14 由帕塞瓦爾定理： ? ? ? ? 22 12E x t d t X d?????? ? ? ?????? ? 2X ?能量譜分布密度函數(shù)， 表征了信號(hào)能量沿 軸的分布。 , ) e xp{2( 1 )21( ) 2 ( ) ( ) ( ) [ ] } Xxxx x x xt t T C TCTTf x x t tx m x m x m x m??? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ???當(dāng) 時(shí)：T T 4 ()XC ??62/117 2022/2/14 1 2 1 222221 1 2 2221 2 1 222221 1 2 222( , 。 )111e xp88( , 。 ) e xp82411( 。 ? ?1 2 1 1 2 2( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]X X XC t t E X t m t X t m t? ? ?57/117 2022/2/14 2） ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?2222200001 si n,210 , 0 12si n,12si n2,bXYX X Y YbXYbc X Xc Y Yc X c YbC e CbCCbebd e dbbddbbX t Y t??????????? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?????????????? ? ? ???? ? ?? ? ??????所以 比 的起伏速度快sin x dxx ?????－58/117 2022/2/14 補(bǔ)充例：若 . 的自相關(guān)函數(shù) 如圖所示，求 (1) ； (2) 當(dāng) t1t2= 和 t1t2= 時(shí)的二維聯(lián)合概率密度函數(shù) 。 τ0 越小， ρ(τ) 隨 τ的 增加降低越快 ,隨機(jī)過(guò)程的起伏越快； τ0 越大，隨機(jī)過(guò)程的起伏越慢。 工程上，近似認(rèn)為只要 ρX(τ) 小于某值，則這兩個(gè)時(shí)刻的 RV就近似不相關(guān)了 。式 指明了這點(diǎn)； ()Xt ()R?2( ) ( )R C m????② 若信號(hào) 含有周期分量，則 將含有同樣周期的周期分量。 且： 注意 ：如果振蕩不是隨機(jī)相位的，則輸出信號(hào)可能不是平穩(wěn)的，輸入與輸出信號(hào)不會(huì)正交，也不會(huì)聯(lián)合廣義平穩(wěn)。 )( , 。 , , , , , )X Y n m n mX Y n m n mF x x y y t t s sF x x y y t u t u s u s u? ? ? ? ?Joint 41/117 2022/2/14 上式等同于： 1 1 1 11 1 1 1( , , , , , 。 2 2 c o s 3 s in3 3 3f x t x x t x t? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?221 2 1 2 1 2001 2 1 1 2 21 1 2 2, 。 ()Xt ()Ytco s ( )t? ??35/117 2022/2/14 解：由上題可知， . 是 WSS的 依題意： ( ) ( ) c o s ( )Y t X t t?? ? ?[ ( ) ] [ ( ) ] [ c o s( ) ]1c o s( ) 02XE Y t E X t E tm t d???? ? ???? ? ? ?? ? ? ??c os( )t? ??常數(shù) 36/117 2022/2/14 相關(guān)函數(shù)可以表示為 由于均值是常數(shù)且相關(guān)函數(shù)僅與 τ有關(guān)， Y(t)是廣義平穩(wěn)的。 0( ) c os( )X t A t?? ? ?0? A ?與2? ( 0 , 2 )U ??A25/117 2022/2/14 3. (1,1)半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào) ( ) [ ( ) ]m t E X t p q? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 21212( , ) 4 ( / / ) 1 41 , / /1 4 , / /R t t pq t T t T pqt T t Tpq t T t T?? ? ? ?? ??? ?????R(t1,t2)與 t1,t2 的絕對(duì)位置有關(guān)，故非廣義平穩(wěn) 常數(shù) 也非嚴(yán)平穩(wěn) 隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)卻是嚴(yán)平穩(wěn)的 . 26/117 2022/2/14 補(bǔ)充例： 隨機(jī)信號(hào) X(t)=Ay(t)， 其中 A為高斯隨機(jī)變量 ， y(t)為確定的時(shí)間函數(shù) ， 判斷 X(t)是否為. 221 ( )( ) e x p22Aamfa????? ??? ????解： ? ? ? ? ? ? ? ?E X t E A y t m y t? ? ?????與 t有關(guān) 故 X(t)非 . 與 t有關(guān) ,非 . 27/117 2022/2/14 ( ) , ( )y t k X t k A?若 為常數(shù) 即X(t)與 t無(wú)關(guān) ,X(t)的全部概率特性不隨觀察時(shí)刻組平移而變，故 X(t)是 . ()X t k A?t1111( , , 。 ) ( 。 ) ( 。 221 ( )( 。 ? 非平穩(wěn)信號(hào)：當(dāng)統(tǒng)計(jì)特性變化比較緩慢時(shí)，在一個(gè)較短的時(shí)段內(nèi)，非平穩(wěn)信號(hào)可近似為平穩(wěn)信號(hào)來(lái)處理。 ) ( )XxxR t t E X t X tx x f x x d x d x R??? ????????(3) 如果 SSS . X(t)的 相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、相關(guān)系數(shù) 存在，它們也只與兩時(shí)刻的相對(duì)位置 有關(guān)，而與兩時(shí)刻組的絕對(duì)位置 (t1,t2)無(wú)關(guān)。 , ) ( , 。 , ) ( , 。 ) ( )[ ( ) ] ( )()X X XXX X XE X t x f x t dx x f x dx mV ar X t E X t mx m f x dx ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ???????? ? ????均值均為 0，均值平穩(wěn)，但各時(shí)刻的 。 ) ( 。 , , , )X n nX n nF x x x t t tF x x x t u t u t u? ? ? ? 定義 若對(duì)于 任意的 ，隨機(jī)過(guò)程{ X(t),t∈ T } 的 任意 n 維概率分布函數(shù)滿足 u則稱(chēng) X(t)是 嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) , 記作 SSS 1. 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 SSS . 強(qiáng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 狹義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 7/117 2022/2/14 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)也可以由概率密度來(lái)定義： 1 2 1 21 2 1 2( , , , 。 1 2 1 2( 。 本章討論： 1）嚴(yán)格與廣義平穩(wěn)性； 循環(huán)平穩(wěn)性； 2）平穩(wěn)信號(hào)相關(guān)函數(shù)的特性；有關(guān)物理意義； 3）平穩(wěn)信號(hào)的功率譜密度與互功率譜密度； 4）白噪聲及其實(shí)例 ——熱噪聲 3/117 2022/2/14 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 * 循環(huán)平穩(wěn)性 平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù) 功率譜密度與互功率譜密度 白噪聲與熱噪聲 應(yīng)用舉例 4/117 2022/2/14 平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性 平穩(wěn)性（ Stationarity） : 平穩(wěn)性 是指隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性不隨觀察時(shí)刻 t（或觀察時(shí)刻組 t1,t2,?, tn）平移而變化的性質(zhì)，相應(yīng)的隨機(jī)信號(hào)被稱(chēng)為 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 。 , , , )( , , , 。 注意： a. ? ? ? ?X t X t? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?全部統(tǒng)計(jì)特的 對(duì)時(shí)刻嚴(yán)格平穩(wěn) 或時(shí)刻組是位移不變性的9/117 2022/2/14 ? SSS . X(t)的特性 ( 。 ) ( )F x t F x t u F xf x t f x t u f x? ? ?? ? ?(1) SSS . X(t)的一維概率分布、密度函數(shù)與時(shí)間 t無(wú)關(guān)；如果其均值與方差存在，它們也與時(shí)間 t無(wú)關(guān)，即： 一階平穩(wěn) 10/117 2022/2/14 一階密度函數(shù)平穩(wěn)性示例： 11/117 2022/2/14 ? ?? ?22 2[ ( ) ] ( 。 ( ) 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( , 。 )F x x t t F x xf x x t t f x x????12tt? ???21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( , 。 )utF x x t t F x x t u t uF x x t t F x x ???? ? ?? ? ?令證明： 13/117 2022/2/14 ? ? ? ?? ?? ?121 2 1 21 2 1 2 1 2( , )( , 。 關(guān)于隨機(jī)序列的平穩(wěn)性問(wèn)題，只需要將連續(xù)時(shí)間變量 t換為離散時(shí)間 n 18/117 2022/2/14 ? 平穩(wěn)性是隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)參量（組）的移動(dòng)不變性，即平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的測(cè)試不受觀察時(shí)刻的影響； ? 應(yīng)用與研究最多的平穩(wěn)信號(hào)是廣義平穩(wěn)信號(hào)； ? 嚴(yán)格平穩(wěn)性因要求太“苛刻”，更多地用于理論研究中； ? 經(jīng)驗(yàn)判據(jù)：如果產(chǎn)生與影響隨機(jī)信號(hào)的主要物理?xiàng)l件 不隨時(shí)間而改變，那么通?？梢哉J(rèn)為此信號(hào)是平穩(wěn)的。試分析其平穩(wěn)性。 ) ( 。 , , )( 。 24/117 2022/2/14 2. 隨機(jī)正弦信號(hào) ? ? ? ?0c o s 0E X t E A t?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 220 1 2( , )c o s ( )R t t E X t X ttt??? ??????R(t1,t2)與 t1,t2 的絕對(duì)位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)，故廣義平穩(wěn) 常數(shù) ， 是確定量， 獨(dú)立， 服從參數(shù)為 的瑞利分布， 。試討論隨機(jī)信號(hào) Y(t)的 平穩(wěn)性 。 ,f x t f x x t t（ 2） ? ? ? ?12,XE X t R t t???? （ 3）是否廣義平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)？ 求：（ 1） 自學(xué) 38/117 2022/2/14 解 : (1) ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1。 , , , , , )( , , , , , 。 , ) ( , 。 44/117 2022/2/14 ()Xt ()Ytco s ( )t? ??解：由例 ， X(t)與Y(t)分別廣義平穩(wěn) 例 討論例 的互相關(guān)函數(shù)與聯(lián)合平穩(wěn)性。 48/117 2022/2/14 判斷下列圖形可否成為實(shí) WSS ？ 都不是自相關(guān)函數(shù) (3)(4)不滿足 (4)不滿足 (1) (2)不滿足 (4)不滿足 (1)不滿足 ? 判斷原則： (1)對(duì)稱(chēng)性 (2)非負(fù)， 最大值點(diǎn) (3)連續(xù)性 (4)周期性 (2)不滿足 ( ) ( 0)RR? ?49/117 2022/2/14 性質(zhì)