【正文】 0 lena 128 50 1： 1： 180 250 通過(guò)上述重建的圖像效果和表 各圖像重建的條件一一對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：其他條件相同時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度越多重建的圖像效果越好；同理射線(xiàn)條數(shù)越多，重建的圖像效果也越好；通過(guò)圖 和圖 的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)圖像的重建效果不一定與迭代次數(shù)成正比，而通過(guò)圖 和圖 的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn) TV 算法可以通過(guò)改變參數(shù)改變圖像的噪聲水平，減少偽跡。它們重建的條件如表 所示。圖 和圖 是比較掃描的角度對(duì)迭代重建圖像的影響。 圖 Sheep—Logan 頭模型 第四章 迭代重建算法 28 利用旋轉(zhuǎn)角度為 0： 5： 180，平行射線(xiàn)束為 75 的平行掃描投影數(shù)據(jù)，進(jìn)行Kaczmarz 算法、 Symmetric Kaczmarz 算法、 Randomized Kaczmarz 算法的重建圖像如下。待重建的圖像表示為一個(gè)含有 imageN 維的向量 f 它的運(yùn)算公式如下： ? ? ??? ?????? ts ts tststststsTVts ffffff , , 21,2,1, )()(|||||| （ ） 其中 。具體步驟： ⑴設(shè)定任一初始圖像向量 NRX ?0 ，一般情況下取 TX )0,...,0,0(0 ? ； ⑵迭代步驟： 第四章 迭代重建算法 27 iMi iiiiiii AAA XAyXX ???????? 111 () 此算法以減慢收斂速度換取比 ART 較好的圖像質(zhì)量。跟 Kaczmarz 相比，不 同之處在于 symmetric Kaczmarz 方法的 .2,3, . . . ,1,1, . . . ,2,1 ??? mmmi 而Kaczmarz 方法的 i 只取 .,...,2,1 mi? 而 Randomized Kaczmarz 方法（隨機(jī) Kaczmarz方法 ）隨機(jī)選擇 i ，但選中的概率正比于 2||||ia 。否則， Eggermont ]17[ 及 Censor ]18[ 引進(jìn)了松弛系列 k? ，目的是有效的減小噪聲。這種方法引入的松弛參數(shù) k? 。首先介紹 ART方法。為了在后面部分更好的說(shuō)明，不妨將式 ()重新整理， ikNk ikiiijij aazyxx ??? ???1 21 （ ） 式中 ?? ?? ?? Nk ikikiii xaXAz 1 11 （ ） 式 ()說(shuō)明將第 1?i 次迭代解投影到第 i 個(gè)超平上時(shí)，第 j 個(gè)像素的灰度值（其當(dāng)前值為 1?ijx ）可以通過(guò)差值 ?ijx 得到， ?ijxikNk ikiiijij aazyxx ????????121 （ ） 代數(shù)重建法 ART 上一節(jié)介紹了迭代算法的基本原理，我們知道迭代法的要旨是：從一個(gè)假設(shè)的初始圖像出發(fā)，采用迭代的方法，將根據(jù)人為設(shè) 定并經(jīng)理論計(jì)算得到的投影值同實(shí)驗(yàn)測(cè)得的投影值比較，不斷進(jìn)行逼近，按照某種最優(yōu)化準(zhǔn)則尋找最優(yōu)解。很明顯，超平面間的夾角很大程度上影響了求解的收斂速度。 如前述，迭代重建的計(jì)算過(guò)程如下：給定一個(gè)初始解，將其投影到方程 ()表示的某個(gè)超平面上，得到另一個(gè)解，再將其投向下一個(gè)超平面上，依此循環(huán)，當(dāng)所有方程所表示的超平面都被投影過(guò)后，得到 MX 。一般情況下可以設(shè)置)0,...0,0(0 ?X 。這一概念進(jìn)一步用圖 ，為理解方便，這里僅考慮有兩個(gè)像素 21,xx 的情況，它們滿(mǎn)足下面的方程， 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ya x a x y??????? （ ） 第四章 迭代重建算法 24 圖 Kaczmarz 交替投影法求解線(xiàn)性方程組的示意圖 找尋圖 中解的計(jì)算過(guò)程如下：先從一個(gè)初始圖像 0X 開(kāi)始，把這一初始向量投影到第一根射線(xiàn)，把投影點(diǎn)再投到第二根射線(xiàn)上，然后將投影點(diǎn)再投回到第一根射線(xiàn)上，依此類(lèi)推。為了說(shuō)明這些方法中的計(jì)算步驟，可以把 ()式寫(xiě)成如下形式， MNMNMMNNNNyxaxaxayxaxaxayxaxaxa????????????. . ..... . .. . .22112222212111212111 （ ） 令 TNxxxX ),...,( 21? 。假設(shè) NM和 等于 16384的情況， 式 ()中的矩陣 ][ija 的大小等于 16384 16384，而這將使任何直接求解矩陣的逆變得無(wú)法實(shí)現(xiàn)。需要注意，大多數(shù) ija 均為 0，對(duì)于任意一條射線(xiàn)和，只有很少的像素單元有貢獻(xiàn)。此第四章 迭代重建算法 23 時(shí)線(xiàn)積分被稱(chēng)為射線(xiàn)和。 迭代重建的數(shù)學(xué)模型 圖 斷層截面與投影的 幾何布置 如圖 所示，圖中將截面離散化，即在圖像 ),( yxf 上疊加一個(gè)方格網(wǎng)。圖像重建的解析算法與圖像重建的迭代算法之間的另一個(gè)區(qū)別是 解析算法著力對(duì)一個(gè)積分方程求解，而迭代算法著力對(duì)一個(gè)線(xiàn)性方程組求解 ]3[ 。在解析算法中，假設(shè)圖像是連續(xù)的，每個(gè)像素只是一個(gè)點(diǎn)，這些離散的點(diǎn)是以圖像顯示為目的的，這些點(diǎn)的選擇可以是隨意的，與圖像重建無(wú)關(guān)。另一種算法是扇束投影直接重建算法，這種算法不必先把數(shù)據(jù)重排，而是根據(jù)扇束投影數(shù)據(jù)自身的特點(diǎn)，發(fā)展出直接用扇形束投影數(shù)據(jù)重建圖像的方法。 以上介紹的是平行束投影重建算法。視覺(jué)相似度越接近 1說(shuō)明重建圖像與原圖越相進(jìn)。 解析重建算 法的實(shí)現(xiàn)和對(duì)比分析 針對(duì)本章介紹的幾種重建算法，文本用 matlab 進(jìn)行了模擬重建，下面采用的是調(diào)用系統(tǒng)函數(shù) phantom生成的標(biāo)準(zhǔn) Sheep Logon 頭模型。 設(shè)在某一旋轉(zhuǎn)角 ? 時(shí)，采的投影 ),( ?tp ，濾波函數(shù)為 )(th ，則濾波后的投影為 )(*),(),( thtptg ?? ? （ ） 由于數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)是離散的，故應(yīng)進(jìn)行離散卷積。對(duì)上式進(jìn)行不同的數(shù)學(xué)變形，將導(dǎo)致不同的物理解釋?zhuān)鄳?yīng)于不同的重建算法。它是通過(guò)轉(zhuǎn)換極坐標(biāo)中傅里葉逆變換和重新確定積分限來(lái)實(shí)現(xiàn)的。由于理想的插值方法還在探索中，這阻礙了基于中心切片定理的二維傅立葉逆變換圖像重建法的發(fā)展。在 ),(st 系統(tǒng)中沿著常量為 t 的直線(xiàn)進(jìn)行的投影可表示成： ????? dsstftP ),()(? （ ） 第三章 CT 圖像解析重建算法 16 其傅里葉變換 ???? ?? dtetPS tj ???? ? 2)()( （ ） 將以上兩式合并，可以發(fā)現(xiàn) ? ???? ????? dtedsstfS tj ??? ? 2]),([)( （ ） 借助旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)定義可以得到關(guān)于 ),( yx 坐標(biāo)系統(tǒng)的變換形式 ? ???? ?????? dx dyeyxfS yxj ))s in()c os ((2),()( ????? ? （ ） 等式右邊表示一個(gè)空間域的傅里葉變換， )s in (),c o s ( ???? ?? vu 則 ))s i n ()co s ((),()( ???????? ，F(xiàn)FS ?? （ ） 這個(gè)等式是直接射線(xiàn)斷層成像的基礎(chǔ)，從而也證明了中心（傅里葉）切片定理。從而引出了成像系統(tǒng)中著名的中心（傅里葉）切片定理 ]2[ 。 圖 中心切片定理示意圖 通過(guò)上圖可知：某斷層（或它對(duì)應(yīng)的圖像） ),( yxf 在視角為 ? 時(shí)得到的平行投影（函數(shù)）的一維傅立葉變換，等于 ),( yxf 二維傅立葉變換 ),( 21 ??F 過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)垂直切片，且切片與軸 1? 相交成 ? 角 ]9[ 。 傅立葉變換的定義 ???? ???? dedeftf ii? ????????? ])([21)( （ ） 其中 第三章 CT 圖像解析重建算法 14 dtetfF ti?? ?????? )()( （實(shí)自變量的復(fù)值函數(shù)） （ ） 稱(chēng) 為 )(tf 的 Fourier 變換，記為 )]([ tfF 。 圖 定義 Radon 變換的坐標(biāo)系統(tǒng) 上述線(xiàn)積分可寫(xiě)為： ????? dlyxfpR f ),(),( ? （ ） 如果借助 Delta 函數(shù)，上述線(xiàn)積分還可寫(xiě)為： ? ???? ??? ??? dx dyyxpyxfpR f )s i nc os(),(),( ???? （ ） 上式通常稱(chēng)為 ),( yxf 的 Radon 變換。所謂CT 斷層的圖像重建，就是求取能夠反應(yīng)斷層內(nèi)部結(jié)構(gòu)和組成的某物理量的二維分布。 Radon 變換與傅立葉變換 為了有效和快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理，常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進(jìn)行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間以得到所需的效果 ]7[ 。 濾波反投影圖像重建法 （ FBP） 為了消除直接反投影法產(chǎn)生的星狀偽跡，提出了濾波反投影重建的方法，這種方法是在直接反投影重建方法的基礎(chǔ)上增加一個(gè)濾波器。 第三章 CT 圖像解析重建算法 11 如果想要去除星狀偽跡，可在系統(tǒng)的輸出端再加上一個(gè)濾波器，設(shè)其時(shí)域函數(shù)為 ),( yxq ，傳遞函數(shù)為 ),( 21 ??Q ，為了使該加了濾波器的系統(tǒng)輸出的圖像等于系統(tǒng)輸入的原圖 ),( yxu ，也就是要求 ),(),(**),( yxyxhyxq ?? （ ） 即 ),(1**),(22 yxyxyxq ?? ?? （ ） 對(duì)該式取二維傅立葉變換，得到： 11),(2221 ??? yxQ ??? （ ） 即 222121 ),( ????? ??Q （ ） 這是一個(gè)二維濾波器。 直接反投影圖像產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于，該方法是把取自有限物體空間的投影均勻地回抹（反投影）到了射線(xiàn)所及的無(wú)限空間的各個(gè)像素上，包括原來(lái)像素值為 0的點(diǎn)。改變方向后的多次掃描形成多次回抹，同一像素上多次回抹的灰度累加即完成圖像重建。 反投影重建法（ BP） 反投影是一個(gè)求和的過(guò)程，它把所有角度上的數(shù)據(jù)都加在一起。 第三章 CT 圖像解析重建算法 9 第三章 CT 圖像解析重建算法 通過(guò)上一章已經(jīng)知道 CT 圖像重建的基本原理，但由于使用最簡(jiǎn)單直接的方程組法不易求得斷層的各個(gè)像素的衰減系數(shù)。上式說(shuō)明，入射 X 射線(xiàn)強(qiáng)度與出射 X 射線(xiàn)強(qiáng)度之比經(jīng)對(duì)數(shù)運(yùn)算后，表示沿射線(xiàn)路徑上衰減系數(shù)的線(xiàn)積分，而投影 p 與射線(xiàn)穿越介質(zhì)的路徑長(zhǎng)度成正比。只要掃描線(xiàn)不重復(fù)且足夠多，這些衰減系數(shù)的確定值肯定可以通過(guò)解線(xiàn)性方程組的方法解第二章 CT 圖像重建的基本原理 8 出唯一實(shí)數(shù)解。將上述各式代入 整理，有： 圖 X射線(xiàn)通過(guò)非均勻介質(zhì)時(shí)的體素劃分 duuuu neII )...(0 321 ?????? （ ） 即 dpuuuu n /...321 ????? （ ） 式中， )ln( 0IIp? 是通過(guò)射線(xiàn)強(qiáng)度檢測(cè)得到的檢測(cè)值，是一個(gè)已知量，稱(chēng)為投影。 對(duì)于能量為 E 的單能射線(xiàn)，假設(shè)其投射的物體是均勻且為同一介質(zhì)，被投射物體的線(xiàn)性衰減系數(shù)為 u ，厚度為 x ，則在入射線(xiàn)強(qiáng)度為 0I ，出射 X 射線(xiàn)強(qiáng)度為I 時(shí)有 uxeII ?? 0 即 )/ln( 0 IIux? （ ） 這 就是著名的 LambertBeer 定律。組織對(duì) X 線(xiàn)的這種局部衰減特性是 X 線(xiàn)與被檢測(cè)物體之間的若干相互作用過(guò)程的產(chǎn)物。設(shè) X 線(xiàn)源發(fā)出的 X 射線(xiàn)強(qiáng)度是 0I ，探測(cè)器接收到的 X射線(xiàn)強(qiáng)度是 0I 一次掃射完成后將 X射線(xiàn)與探測(cè)器平移一個(gè)小的步長(zhǎng)，再次對(duì)成像對(duì)象進(jìn)行投射，探測(cè)器又接收到一個(gè)新的透射強(qiáng)度，在該投射角度上反復(fù)小步長(zhǎng)平移投射并記錄檢測(cè)的數(shù)據(jù)后，將 X 射線(xiàn)源與探測(cè)器繞被測(cè)對(duì)象旋轉(zhuǎn)一個(gè)小的角度后在進(jìn)行平行投射并平移，如此重復(fù)多次，直到旋轉(zhuǎn) 180度為止。 第五章總結(jié)部分，本章對(duì)論文中講述的 CT 重建算法進(jìn)行了認(rèn)真的總結(jié)和比較。例如，為了避免物體（如臟器）運(yùn)動(dòng)，或?yàn)榱藴p小劑量，投影數(shù)據(jù)采集不足；又如某物體在一個(gè)方向上尺寸特別長(zhǎng)，則在這一方向上的投影數(shù) 據(jù)無(wú)法或較難測(cè)得。在運(yùn)算的過(guò)程中根據(jù)卷積定理從而提出了卷積反投影重建算法，最后對(duì)上述三種解析算法重建的圖像進(jìn)行了對(duì)比分析。但當(dāng)斷層被劃分為更小更多的體素時(shí)，即使采用今天最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)解這一組方程組也不是件容易的事。 論文的組織結(jié)構(gòu) 論文主要研究輻射成像技術(shù)中的透射斷層成像理論。為進(jìn)行計(jì)算機(jī)處理，系統(tǒng)還需將測(cè)量得到的模擬量轉(zhuǎn)化成數(shù)字量。 CT 的組成結(jié)構(gòu) 以上幾種成像技術(shù)盡管使用的物理系統(tǒng)各不相同，但所有系統(tǒng)所測(cè)量到的數(shù)據(jù)均具有物體某種感興趣的物理特性在空間分布的積分形式。例如在前視第一章緒論 4 雷達(dá)（ FLR）中，雷達(dá)發(fā)射器從空中向地面發(fā)射無(wú)線(xiàn)電波；雷達(dá)接收器在特定角度所接收到 的回波強(qiáng)度是地面發(fā)射量的一個(gè)掃描段的積分。 ⑷超聲斷層成像 超聲斷層成像（ Ultrasound CT,