【正文】 次多項式為 1 0 1( ) ( ) ( ) ( )nnx x x x x x x? ? ? ? ? ?則 01, , , nx x x 是高斯點的充要條件是對于任意不超過 n 次的多項式 ()qx ，成立1( ) ( ) 0b na q x x dx? ? ?? 證明 1）必要性。 例： 10 0 1 11 ( ) ( ) ( )f x d x A f x A f x? ??? 其中， 01,xx固定在 1,1? ， 01,AA可以適當選取，只有兩個自由度，得到的是梯形公式，其代數(shù)精度 只 有 1。這種特點使得求積公式便于構(gòu)造，復(fù)化求積公式易于形成。 下面給出龍貝格求積算法的計算步驟： 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 第 1步：算出 ()fa和 ()fb的值，根據(jù)公式 () 計算 1T ； 第 2 步：將 ? ?,ab 分半，算出 ()2abf ? 后，根據(jù)公式 () 計算 2T ,再根據(jù)公式 () 計算 1S ； 第 3 步：再將區(qū)間分半，算出 ()4bafa ??及 ( 3 )4bafa ???的值，并根據(jù)公式 () 和 () 計算出 4T 及 2S ，再由公式 () 計算出 1C ； 第 4步：將區(qū)間再次分半，計算 8T ， 4S ， 2C ，并由公式 () 計算 1R ； 第 5步：將區(qū)間再次分半，類似上述過程計算 16T ， 8S ， 4C ， 2R 。故通常外推到龍貝格序列為止。我們將序列 ??NT ,? ?NS ? ?NC 和 ? ?NR 分別稱為梯形序列、辛浦生序列、科特斯序列和龍貝格序列?？梢栽O(shè)想，如果用這個誤差作為 2NT 的一種補償，即將 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 222 41 ( ) =3 4 1NNN N N TTT T T ??? ? 作為積分的近似值，可望提高其精確度。 通過類似的推導(dǎo)，還可以得到下面的結(jié)論 對于辛浦生公式，假定 (4)()fx在 ? ?,ab 上變化不大，則有 2 2 2 2211( ) ( )1 5 4 1N N N N N NI S S S S S S? ? ? ? ? ?? () 對于科特斯公式，假定 (6)()fx在 ? ?,ab 上變化不大， 則有 2 2 2 2311( ) ( )6 3 4 1N N N N N NI C C C C C C? ? ? ? ? ?? () 第 二 節(jié) 龍貝格求積公式 梯形法的算法簡單，單精度低，收斂的速度緩慢。此時所得積分近似值記為 2NT ，則再由余 項公式 () 可知，積分值為 222( ) ( )1 2 2N b a b aI T fN ??? ???? 2()ab??? 假定 ()fx?? 在 ? ?,ab 上變化不大，即 有 12( ) ( )ff???? ??? ，于是得 24NNITIT? ?? ，左式也可以寫成為 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 2 2 2 211( ) ( )3 4 1N N N N N NI T T T T T T? ? ? ? ? ?? () 這說明用 2NT 作為積分 I 的近似值時，其誤差近似 為21()3 NNTT?。步長太大精度難以保證，步長太小則又會導(dǎo)致計算量 的 增加，而事先給出一個合適的步長往往是困難的。與復(fù)化梯形公式的分析相類似，可以證明，當 2Nm? ?? 時，用復(fù)化 Simpson 公式所求得的近似值收斂于積分值，而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性。 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 二 、 復(fù)化辛浦生求積公式 如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用 Simpson 公式計算積分近似值，就可導(dǎo)出復(fù)化 Simpson 公式。 定義 [4] 將積分區(qū)間 [, ]ab 進行 N 等分，記 為 bah N?? , kx a kh?? 在每個小區(qū)間 1[ , ]kkxx? ( 0,1, , 1)kN??上用梯形公式求和，得 111 100( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2kkNNbxkkax kk hf x d x f x d x f x f x??????? ? ????? 若將所得的近似值記為 NT ， 整理得 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 11( ) [ ( ) ( ) 2 ( ) ]2NbkNa khf x d x f a f b f x T??? ? ? ??? () 稱 式 () 為 復(fù)化梯形公式。 一、 復(fù)化梯形求積公式 在實際應(yīng)用中，若將積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在各個小區(qū)間上采用低次的求積分式（梯形公式或 辛浦生 公式），然后再利用積分的區(qū)間可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，便得到新的求積公式，這就是復(fù)化積分公式的基本思想。龍格現(xiàn)象表明，這樣做并不一定能提高精度。若設(shè)是一個 ( 1)n? 次多項式，這時 ( 1)()nf ?? 為一常數(shù)，而 ? ? ( 1 ) 01()( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nbbnnaa fR f f x L x d x x x x x x x d xn ??? ? ? ? ? ???? 因此，只要證明在 n 是偶數(shù)時 ，01( )( ) ( ) 0b na x x x x x x d x? ? ? ??， ? ? 0Rf? ，定理就可得證。 同理根據(jù)式 () 可求得其 誤差 估計式 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 8 6 ( 6 )4 2 ( )[ ] ( ) ( )9 4 5 4b a b aR f f??? ? ? ( ( , ))ab?? () 三 、 求積公式的代數(shù)精度 如果 被積函數(shù) ()fx為任意一個次數(shù)不高于 n 次的多項式時，數(shù)值求積公式一般形式的截斷誤差 ? ? 0Rf? ；而當它是 ( 1)n? 次多項式時， ? ? 0Rf? ， 則說明數(shù)值求積公式具有 n 次代數(shù)精度。 下面對 辛浦生 求積公式的誤差進行估計。 矩形求積公式 定義 在牛頓 科特斯求積公式中，如果取 0n? ，用零次多項式（即常數(shù)）代替被積函數(shù)，即用矩形面積代替曲邊梯 形的面積，則有 ( 0 )0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x dx L x dx b a c f x b a f x? ? ? ? ??? () 稱式 () 為 矩形求積公式 根據(jù)牛頓 科特斯求積公式的誤差理論式 () ，矩形求積公式的誤差估計為 ( 0 1 )0 0 1()( ) ( ) ( ) ( )( 0 1 ) ! bafR f x d x f b a? ???? ?? ? ?? ? 梯形求積公式 定義 [1] 在牛頓 科特斯求積公式中，如果 取 1n? ，用一次多項式代替被積函數(shù)，即用梯形面積代替曲邊梯形的面積，則有 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 6 ( 1 ) ( 1 )1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]bbaaf x dx L x dx b a c f x c f x? ? ? ??? 其中， 0( ) ( )f x f a? , 1( ) ( )f x f b? 查表可得 (1) (1)0112cc??代入上式得出 1 ()( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2bbaa baf x d x L x d x f a f b?? ? ??? () 稱式 () 為 梯形求積公式 由于用一次多項式 1()Lx近似代替被積函數(shù) ()fx， 所以它的精度是 1。 表 部分科特斯系數(shù) 表 知道了 什么是牛頓 科特斯求積公式，下面我們來看它的誤差估計，首先來看看牛頓 科特斯求積公式的截斷誤差。 部分科特斯系數(shù)取值如下表 科特斯系數(shù)具有以下特點 [1] （ 1） ()0 1n niC ?? （ 2） ( ) ( )nni n iCC?? （ 3） 當 n ? 8 時，出現(xiàn)負數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證。 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 3 知道了插值型求積公式以及其構(gòu)造方法。 對于積分 ()ba f xdx?，用一個容易積分 的函數(shù) ()x? 去代替被積函數(shù) ()fx，這樣的()x? 自然以多項式 ()nLx為最佳，因為多項式能很好的逼近任何連續(xù)函數(shù)，而且容易求出其原函數(shù)。 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 2 第一章 牛頓 科特斯求積公式 第一節(jié) 數(shù)值求積公式的構(gòu)造 大多數(shù)實際問題的積分是需要用數(shù)值積分方法求出近似結(jié)果的?，F(xiàn)在，數(shù)值積分在計算機圖形學，積分方程，工程計算，金融數(shù)學等應(yīng)用科學領(lǐng)域都有著相當重要的應(yīng)用，所以研究數(shù)值積分問題有 著 很重要的意義。 而數(shù)值積分就是解決此類問題的一種有效的方法， 它的特點是利用被積函數(shù) ()fx在一些節(jié)點上的信息求出定積分的近似值。 被積函數(shù) ()fx的原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達出來 ， 例如 2sin( ) , xxf x ex ??等 ；有的函數(shù) ()fx的原函數(shù) ()Fx存在，但其表達式太復(fù)雜， 計算量太大， 有的甚至無法有解析表達式。 本文較詳細 地 介紹了 牛頓 科特 斯 求積公式， 以及 為了提高積分 計算精 度 的 高 精度 數(shù)值積分公式， 即 龍貝格求積公式 和 高斯 勒讓德 求積公式。 畢業(yè)設(shè)計（論文） 設(shè)計（論文）題目： 數(shù)值積分算法與 MATLAB 實現(xiàn) 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） I 摘 要 在求一些函數(shù)的 定積分 時，由于原函數(shù)十分復(fù)雜難以 求出或 用初等函數(shù)表達，導(dǎo)致積分很難精確求出 ， 只能 設(shè)法 求其近似值， 因此能夠 直接 借助牛頓 萊布尼茲公式計算定積分的 情形 是不多的 。 本文從數(shù)值積分問題的產(chǎn)生出發(fā) ， 詳細介紹了一些數(shù)值積分的重要方法 。 therefore, exploring the approximate calculation of the numerical integration method has obvious practical significance. This article departure from the numerical integration problem, described in detail some important numerical integration methods. This paper has introduced detail the Newton Coates quadrature formula, and in order to improve the calculation accuracy of numerical integration formulas, More precise formulas have Romberg quadrature formulas and the Gauss Legendre quadrature formula. In addition to the study of these numerical integration algorithm theory, the article also involve what these numerical integration algorithm be programmed by matlab software on the puter, and an example is calculated with a variety of quadrature formulas, finally analysis and parison to various quadrature formulas calculation error. 【 Key words】 Numerical integration NewtonCotes quadrature formula Highprecision quadrature formula Matlab software 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） III 目 錄 前 言 ........................................................................ 1 第一章 牛頓 科特斯求積公式 ................................................... 2 第一節(jié) 數(shù)值求積公式的構(gòu)造 ................................................. 2 第二節(jié) 復(fù)化求積公式 .....................................................