全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題(含詳細答案)-全文預覽
【正文】 斜邊上的高，（），分別是的內心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內心與旁心．證：如圖，連，由，則圓心在上，設直徑交于，并簡記的三內角為，由，所以∽，得，且，故∽，而，注意，所以，因此，同理得，故與重合，即圓心在上，而，所以平分；同理得平分，即是的內心，是的旁心．證二：如圖，因為，故的外接圓圓心在上，連，則由為內心知， 所以，于是四點共圓，所以，又因，因此點在上，即為與的交點．設與交于另一點，而由，可知，分別為的中點，所以，．因此，點分別為的內心與旁心．、（分）設為非負實數(shù)，滿足，證明：．簡證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為；據對稱性，不妨設，則，對正數(shù)作調整，由于 ，取等號當且僅當，此時條件式成為，則，且有，于是，只要證，即，也即，此為顯然，取等號當且僅當，故命題得證．詳證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為；據對稱性，不妨設，則；、當時，條件式成為，而，只要證，即，也即，此為顯然；取等號當且僅當．、再證，對所有滿足的非負實數(shù)，皆有．顯然，三數(shù)中至多有一個為，據對稱性，仍設，則，令，為銳角，以為內角，構作，則，于是，且由知，；于是，即是一個非鈍角三角形．下面采用調整法，對于任一個以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調整為以為頂角的等腰，其中，且設，記，據知，．今證明，．即 ……．即要證 ……先證 ……，即證 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此為顯然．由于在中，則；而在中，因此式成為
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