全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題(含詳細答案)-預覽頁
【正文】 ……，只要證， ……，即證 ，注意式以及，只要證，即，也即…由于最大角滿足：，而，則，所以，故成立，因此得證，由及得成立，從而成立，即，因此本題得證．、（分）對于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個“等和劃分”（與算是同一個劃分）．試確定集共有多少個“等和劃分”．解一：不妨設(shè)，由于當集確定后，集便唯一確定，故只須考慮集的個數(shù)，設(shè)，為最大數(shù)，由，則，于是 ，故中有奇數(shù)個奇數(shù)．、若中有個奇數(shù)，因中的六個奇數(shù)之和為，而，則，這時得到唯一的；、若中有個奇數(shù)、兩個偶數(shù)；用表示中這兩個偶數(shù)之和；表示中這三個奇數(shù)之和，則，于是．共得的種情形．其中，、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形．、若中有一個奇數(shù)、四個偶數(shù)，由于中除外，其余的五個偶數(shù)和，從中去掉一個偶數(shù)，補加一個奇數(shù)，使中五數(shù)之和為，分別得到的個情形：．綜合以上三步討論，可知集有種情形，即有種“等和劃分”． 解二：元素交換法，顯然，恒設(shè)；、首先注意極端情況的一個分劃：，顯然數(shù)組與中，若有一組數(shù)全在中，則另一組數(shù)必全在中；以下考慮兩數(shù)至少一個不在中的情況，為此，考慮中個數(shù)相同且和數(shù)相等的元素交換：；；；；共得到個對換；；；；；；共得到個對換；；；；；；；共得到個對換．每個對換都得到一個新的劃分，因此，本題共得種等和劃分．
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