第一章函數(shù)、極限與連續(xù)習(xí)題課-全文預(yù)覽
【正文】 ,)(),(000處也連續(xù)在點(diǎn)則處連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf???定理 1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù) . 定理 2 )].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx?????????則有連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)若初等函數(shù)的連續(xù)性 .)]([,)(,)(,)(00000也連續(xù)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)在點(diǎn)而函數(shù)且連續(xù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu??????????定理 3 定理 4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的 . 定理 5 一切初等函數(shù)在其 定義區(qū)間 內(nèi)都是連續(xù)的 . 定義區(qū)間 是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 . 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理 1(最大值和最小值定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 . 定理 3( 零點(diǎn)定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba ,上連續(xù)，且 )( af 與 )( bf 異號 ( 即 0)()( ?? bfaf ),那末在開區(qū)間 ? ?ba , 內(nèi)至少有函數(shù) )( xf 的一個零點(diǎn) , 即至少有一點(diǎn) ? )( ba ??? ，使 0)( ??f .定理 2(有界性定理 ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 . 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M與最小值 m之間的任何值 . 定理 4( 介值定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba , 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf ?)( 及 Bbf ?)( ,那末，對于 A 與 B 之間的任意一個數(shù) C ，在開區(qū)間? ?ba , 內(nèi)至少有一點(diǎn) ? ，使得 cf ?? )( )( ba ??? .二、典型例題 例 1 2( 1 )l o g ( 1 6 ) .xyx ???求 函 數(shù) 的 定 義 域解 ,016 2 ?? x,01 ??x,11 ??x????????214xxx,4221 ???? xx 及).4,2()2,1( ?即例 2 1( ) ( ) 2 , 0 , 1 .( ) .xf x f x x xxfx?? ? ? ?設(shè) 其 中求解 利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性 ,1xxt ??令 ,1 1 tx ??即 代入原方程得 ,1 2)()1 1( ttftf ????12( ) ( ) ,11f x f xx????即,11 1 uux ???令 1 1 ux ??即 代入上式得 ,)1(2)1()1 1( uuuufuf ?????1 1 2 ( 1 )( ) ( ) ,1xxffx x x?????即1( ) ( ) 212( ) ( )111 1 2 ( 1 )( ) ( )1xf x f xxf x fxxxxffx x x?????????????????????解聯(lián)立方程組 .11 11)( ?????? xxxxf例 3 2 4 21,li m( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .nnxx x x x???? ? ? ?當(dāng) 時求解 將分子、分母同乘以因子 (1x), 則 xxxxxx nn ????????? 1)1()1)(1)(1)(1(lim 242 ?原式xxxxx nn ???????? 1)1()1)(1)(1(lim 2422 ?xxx nnn ?????? 1)1)(1(lim 22xx nn ??? ??? 11lim 12.1 1 x?? .)0lim,1( 12 ?? ??? nxx n時當(dāng)?例 4 3101 t a nli m ( ) .1 sinxxxx???求解 解法討論 則設(shè) ,)(lim,0)(lim ??? xgxf)](1l n [)(lim)()](1l i m [ xfxgxg exf ??? )]()[(lim xfxge ??.)()(lim xfxge ?? ))(~)](1l n [( xfxf ???310)]1s in1 ta n1(1[lim xx xx ??????原式310]s in1 s inta n1[lim xx xxx?????301s i n1s i nta nlimxxxxx?? ??? 301c o s)s i n1()c o s1(s i nlimxxxxx?? ???xxxxxxx c o s)s i n1(1c o s1s i nlim20 ?????? ??21.21e?? 原式例 5 320()( ) , lim 2 ,()lim 1 , ( ) .xxp x xpxxpxpxx??????設(shè) 是 多 項(xiàng) 式 且求解 ,2)(lim 23?
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