常微分方程第二章練習與答案-全文預覽
【正文】 ? dyydxex x ． （３）． rddr?? ， 2)0( ?r ； 解：原方程即為： ?drdr? ，兩邊積分得： cr ???ln ， 因為 2)0( ?r ， 所以 2ln?c ， 所以原方程滿足初值問題的解為： 2lnln ???r 即 ?er 2? ． （４）． ,1ln 2yxdxdy ?? 0)1( ?y 。又因為此齊次方程的解或者恒等于０，或者恒不 等于０，所以 0)( ?xu ，從而 )0()( ywy ? ，由 x 的任意性，則有)()( xywxy ?? 。 ② dssfeef xx sxaax )(11m a x)( 2 )(220 ? ? ???? ?? ???? dsedssfe xx sxaxsxax ? ? ??????? ?? ???? 2 )(2220 )(m a x11m a x fkaeef aa ?????42 11 所以 ?是有界算子 . 。 （２）證 ? 是一個線性有界算子。因此只需詳細考慮經(jīng)過 1R 內(nèi)某一點 ),( 0 ??ax 的積分曲線， 它由（ *）式確定 . 若 ??aa yfdy? )(收斂，即存在 1xx? ，使得01)( xxyfdyaa ?????, 即所討論的積分曲線 當 1xx? 時達到直線 ay? 上點（ ax,1 ） . 由（ *）式易看出， 所論積分曲線在（ ax,1 ）處與 ay? 相切，在這種情形下，經(jīng)過此直線上的 一點就不只有一條積分曲線，與局部唯一矛盾，所以 ??aa yfdy? )(發(fā)散 . 若積分 ??aa yfdy? )(發(fā)散，此時由（ *）式易看出，所論的經(jīng)過 ),( 0 ??ax的積分 曲線，不可能達到直線 ay? 上，而以直線 ay? 為漸近線，又注意到 ay? 也 是（２ .13）的積分曲線，所以（ ）過 ),( 0 ??ax 的解是唯一的 . 注：對于 2R 內(nèi)某點（ ??ax,0 ）完全可類似地證明 . 6. 作出下列微分方程積分曲線族的大致圖形． （１）． ydxdy? ； （２）．?????? 00 0ln yyyydxdy ()? 習 題 ２ 3 １． 求解微分方程： （１） xxeydxdy ??? 2 。 解：原方程即為： dxxdyy ln)1( 2 ?? , 兩邊積分得： 3 ln3yy x x x c? ? ? ?, 因為 0)1( ?y ， 所以 1?c ， 所以原方程滿足初值為： 3 ln 13yy x x x? ? ? ? （５）． 321 xydxdyx ?? ， 1)0( ?y ； 解：原方程即為： dxxxydy 23 1??， 兩邊積分得： cxy ???? ? 22 121 ， 因為 1)0( ?y ， 所以 23??c ， 所以原方程滿足初值問題的解為： 311222 ??? yx． １． 解下列微分方程，并作出相應積分曲線的簡圖． （１）． xdxdy cos? 解：兩邊積分得： cxy ??sin ． 積分曲線的簡圖如下： （２）． aydxdy? ， （常數(shù) 0?a ）； 解： ①當 0?y 時， 原方程即為： dxaydy? 積分得： cxya ??ln1 ， 即 )0( ?? ccey ax ② 0?y 也是方程的解． 積分曲線的簡圖如下： y （３）． 21 ydxdy ?? ； 解： ①當 1??y 時， 原方程即為： dxydy ?? )1( 2 積分得： cxyy ???? 211ln， 即 1122 ???xxcecey ． ② 1??y 也是方程的解． 積分曲線的簡圖如下： （４）． nydxdy? ， )2,1,31( ?n ； 解： ①當 0?y 時， ?。?2,31?n 時，原方程即為 dxydyn ?， 積分得： cynx n ??? ?111 ． ⅱ） 1?n 時，原方程即為 dx
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