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[高三數(shù)學]圓錐曲線專題研究-全文預覽

2025-01-30 11:01 上一頁面

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【正文】 (除實軸上兩個端點外)為頂點的 21PFF? ,叫做雙曲線的焦點三角形 [7]. 設 21PFF? =? , 21FPF? =? , 12FPF? =β,雙曲線的離心率為 e ,則有以下性質(zhì): O F 2F 1Pyx 圖 5 性質(zhì) 1 .c os1 2 221 ???? bPFPF 證明:在 21PFF? 中,由余弦定理,有 22221 ?? PFPF ??? ?cos21 PFPF 2221 )2( cFF ? ① aPFPF 221 ??? 2212221 42 aPFPFPFPF ????? ② 由①②得 .c os1 2 221 ???? bPFPF 例 1 設 1F 和 2F 為雙曲線 1916 22 ?? yx 的兩個焦點,點 P 在雙曲線上且滿足??? 9021PFF ,求 21PFF? 的面積 . 解: 1890c os1 92c os1 2 221 ?? ????? ??bPFPF? 990s in21 21 ?????? ?PFPFS . 性質(zhì) 2 2cot221???? bS PFF . 證明:由性質(zhì) 1得 ?s in212121 ????? PFPFS PFF ?? sincos1 221 2 ???? b ??cos1 sin2 ???b ??? sincos12tan ??? ??? cos1 sin2cot ??? 2c ot221 ???? ? bS PFF . 例 2 已知點 1F ( 0,2? )、 2F ( 0,2 ),動點 P 滿足 212 ?? PFPF .當點 P 的縱坐標是 21 時,若令 ??? 21PFF ,求 2cot? 的 值. 解:由雙曲線的第一定義可知點 P的軌跡方程為 ).0(122 ??? xyx 則 2,1 22 ?? cb .所以 222122121 ????? cS PFF .222cot222cot2???????b 例 3 設點 )0)(,( 000 ?yyxP 是雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax 上任一點,且,21 ??? PFF 求證: .2cot20 ???? cby 分析:此題根據(jù)已知條件列方程求解,計算量大且過程繁瑣,應另外尋求解法,由于 0y和 21PFF? 的高相等,不妨從 21PFF? 的面積入手進行求解 . 證明:0212121 yFFS PFF ????? 2cot221???? bS PFF 2c ot221 20 ?????? byc 00 ?y? .2c ot20 ????? cby 性質(zhì) 3 離心率 2sin2sin???????e ( ??? ) . 證明:由正弦定理,有 )s i n(s i ns i ns i n 212121 ????? ???? FFFFPFPF ?? sinsin ?? .)s in(s ins in 2121 ???? ????? FFPFPF 即 ????2s in2c o s???? a2co s2sin???? ??? c 又 02c os, ????? ?????o 2sin2sin????????? ace . 例 4 ( 2022年上海高考題) 如圖 6,已知 1F 、 2F 為雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax的焦點,過 2F 作垂直于 x軸的直線交雙曲線于點 P ,且 ??? 3021FPF .求雙曲線的漸近線方程. 分析:由于雙曲線的漸近線方程為 xaby ?? ,若能求出 a ,b 的值,漸近線方程就可確定 .在此題中,我們不易求出 a , b 的值,我們將 xaby ?? 作一下變形,2222 222222 )1( xexa acxaby ???????? ,若能求出 e的值,則漸近線方程就求出.知道??? 3021FPF , ??? 9012 FPF ,利用 性質(zhì) 4可求 e. F 2F 1PO xy圖 6 解: 330s in60s in2s in2s in ????? ??????e? .22 22xyxy????? 性質(zhì) 4 ( 1)當 P點在雙曲線右支上時 .112c ot2tan ???? ee?? ( 2)當 P點在雙曲線左支上時 .112c ot2tan ???? ee?? 證明:( 1)當 P點在雙曲線右支上時 .221 aPFPF ?? 由正弦定理,有 ??? sinsinsin 2121 FFPFPF ?? )s i n (s i ns i n22)s i n (s i ns i ns i ns i ns i n2121??????????????????????caFFPFPF ?????? ?? ?? s ins in )s in(ace2sin2c o s22c o s2sin2???????????? 2s i n2c os2c os2s i n2s i n2c os2c os2s i n2s i n2s i n?????????????????????? 2cot2tan12cot2tan1????????? .112c ot2tan ????? ee?? 例 5( 2022年福建高考題)已知 1F 、 2F 是雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax 的兩焦點,以線段 21FF 為邊作正三角形 21FMF ,若邊 1MF 的中點在雙曲線上,求雙曲線的離心率 [8]. MF 2 F1ONyx 圖 7 解:連接 NF2 ,則 ??? 3012 FNF ??? 6021FNF 所以 .13113)32(3230tan45tan130tan45tan)3045t a n (15tan1130c o t15tan.11260c o t230tan????????????????????????????????????eeeeeee? 3圓錐曲線焦點弦的性質(zhì) 性質(zhì) 1 過橢圓 一個焦點 F 的直線與橢圓交于點 P 、 Q , 1A 、 2A 為橢圓長軸上的頂點, PA1 和 QA2 交于點 N , PA2 和 QA1 交于點 M ,則 NFMF? . FQA 2A 1PMNOyx圖 8 證明:如圖,設橢圓的方程為 )0(12222 ???? babyax ,則可設點 F 的坐標為 ),0,( c?點 P 、 Q 的坐標分別為 )sin,cos( ?? ba , )sin,cos( ?? ba ,則 PA1 的方程為 ).()c os1( s in axa by ???? ?? ① QA2 的方程為 。 focal point triangle。既考查了反證法、定值問題及二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題,又考查了分類與 整合的思想,以及領悟新知識的能力,探索論證能力 . 圓錐曲線焦點三角形和焦點弦性質(zhì)的探討 數(shù)學系 20221111班 朱家慶 指導教師 向長福 摘 要 : 圓錐曲線是現(xiàn)行高中解析幾何學的重要內(nèi)容之一,且圓錐曲線知識既是高中數(shù)學的重點,又是難點,因而成為高考的重點考查內(nèi)容。 12222 ?? byax ( ab0)的四個頂點為 A、 B、 C、 D,若四邊形 ABCD 的內(nèi)切圓恰好過焦點, 則橢圓的離心率是 215? L 過橢圓 12222 ?? byax ( ab0)的頂點 A( a,0)、 B(0,b),如果坐標原點到直線 L的距離為 2a , 則橢圓的離心率是 36 ,橢圓 22xyab??1( ab??0)的焦距為 2,以 O 為圓心, a 為半徑作圓,過點 2,0ac??????作圓的兩切線互相垂直,則離心率 e = 22 17. 設 橢 圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的 離 心 率 為 1e 2? , 右 焦 點 為 ( 0)Fc, , 方 程2 0ax bx c? ? ? 的兩個實根分別為 1x 和 2x ,則點 12()P x x, ( A ) A.必在圓 222xy??內(nèi) B.必在圓 222xy??上 C.必在圓 222xy??外 D.以上三種情形都有可能 二 、構造 ac, 的齊次式,解出 e 1.已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列,則 橢圓的離心率是 53 2. 以橢圓的右焦點 F2 為圓心作圓,使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于 M、 N 兩點,橢圓的左焦點為 F1,直線 MF1 與圓相切, 則 橢圓的離心率是 13? 3. 以橢圓的一個焦點 F 為圓心作一個圓,使該圓過橢圓的中心 O 并且與橢圓交于 M、 N 兩點,如果 ∣ MF∣ =∣ MO∣ , 則 橢圓的離心率是 13? 4. 設橢圓的兩個焦點分別為 F 、 F2,過 F2 作橢圓 長軸的垂線交橢圓于點 P,若 △ F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是 21? 5. 已知 F F2 是橢圓的兩個焦點,過 F1 且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A、 B 兩點,若△ ABF2 是正三角形,則這個橢圓的離心率是 33 6. 設 12FF、 分別是橢圓 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的左、右焦點, P 是其右準線上縱坐標為3c ( c 為半焦距)的點,且 1 2 2FF F P? ,則橢圓的離心率是 22 三 、 尋找特殊圖形中的不等關系或解三角形。 橢圓 )0(,12222 ???? babyax 短軸端點為 P 滿足 21 PFPF ? ,則橢圓的離心率為?e 22 。 (2) 由 題 設 可 知 M 、 N 關于 y 軸 對 稱 , 設1 1 1 1 1( , ) , ( , ) ( 0)M x y N x y x??,由 AMN? 的垂心為 B,有 21 1 130 ( ) ( ) 04B M A N x y b y b? ? ? ? ? ? ? ?。 ( 2022江西理數(shù) ) 21. (本小題滿 分 12分) 設橢圓221 : 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?,拋物線 222 :C x by b??。 |BF|=17證明:過 A、 B、 D三點的圓與x軸相切。 +=239。 = =239。設切點 00( , )Px y ,則切線的斜率為039。由圓錐曲線統(tǒng)一定義,得離心率 22d |MF|e ?? ,從而選 B。 解:由 22222222 k1ab1a baa baace ?????????(其中 k 為漸近線的斜率)。專題研究:圓錐曲線 【 定義法的應用】 一. 利用 圓錐 曲線定義 巧 求離心率 例 1. F F2是橢圓的兩個焦點,過 F2作一條直線交橢圓于 P、 Q兩點,使 PF1⊥PQ ,且|PF1| =| PQ|,求橢圓的離心率 e. 解: 設| PF1| =t,則| PQ| =t,| F1Q| = 2 t, 由橢圓定義有 : | PF1| +| PF2| =| QF1|+| QF2| =2a, ∴ | PF1| +| PQ| +| F1Q| =4a , 即 ( 2 +2)t=4a,t=(42 2 )a, ∴ | PF2|=2at=(2 2 2)a, 在 Rt△PF 1F2中,| F1F1| 2=(2c)2,∴ [ (42 2 )a] 2+[ (2 2 2)a] 2=(2c)2∴ (ac )2=96 2 , ∴ e=ac = 26? . 二. 利用圓錐曲線定義 巧 求 值
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【摘要】直線和圓錐曲線??糹an錐曲線經(jīng)