對(duì)數(shù)函數(shù)概念和性質(zhì)-全文預(yù)覽
【正文】 定義域?yàn)?R . ∵ x2＋ 4 ≥ 4 ， ∴ log2( x2＋ 4) ≥ log24 ＝ 2. ∴ y ＝ log2( x2＋ 4) 的值域?yàn)?{ y | y ≥ 2} ． ( 2) 設(shè) u ＝ 3 ＋ 2 x － x2， 則 u ＝－ ( x － 1)2＋ 4 ≤ 4. ∵ u 0 ， ∴ 0 u ≤ 4. 又 y ＝ log 12 u 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是減函數(shù)， ∴ log 12 u ≥ log 12 4 ＝－ 2 ， ∴ y ＝ log 12 (3 ＋ 2 x － x2) 的值域?yàn)?{ y | y ≥ － 2} ． [ 例 3] 判斷下列函數(shù)的奇偶性． ( 1) y ＝ lo g2| x |； ( 2) y ＝ lg1 － x1 ＋ x； ( 3) y ＝ l g ( x － 1) ＋ lg( x ＋ 1) ． 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性 3 [ 解析 ] ( 1) 設(shè) f ( x ) ＝ log2| x | ， f ( － x ) ＝ lo g2|－ x | ＝ log2| x | ＝f ( x ) ， ∴ f ( x ) ＝ lo g2| x |為偶函數(shù)． ( 2) 設(shè) f ( x ) ＝ lg1 － x1 ＋ x， f ( － x ) ＝ lg1 ＋ x1 － x＝ lg (1 － x1 ＋ x)－ 1＝－ lg1 － x1 ＋ x＝－ f ( x ) ， ∴ y ＝ lg1 － x1 ＋ x為奇函數(shù)． ( 3) 由于????? x － 1 0x ＋ 1 0， ∴ x 1 ，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． ∴ 此函數(shù)不具備奇偶性． 判斷下列函數(shù)奇偶性： ( 1) y ＝ lo g2x2； ( 2) y ＝ | lo g 12 x |； ( 3) y ＝ l g ( 1 － x ) ＋ lg(1 ＋ x ) ． [ 答案 ] ( 1) 偶函數(shù)； ( 2) 非奇偶性； ( 3) 偶函數(shù)． ? 4． 若函數(shù) y＝ log2(x2－ 2)的值域?yàn)?[1，log214]， 則其定義域?yàn)?________． ? 解析 ∵ 1≤log2(x2－ 2)≤log214， ? ∴ 2≤x2－ 2≤14， ∴ 4≤x2≤16， ? ∴ 2≤x≤4或－ 4≤x≤－ 2， ? ∴ 定義域?yàn)?[－ 4， － 2]∪ [2,4]． ? 答案 [－ 4， － 2]∪ [2,4] 4 ． 設(shè) a 1 ，函數(shù) f ( x ) ＝ l ogax 在區(qū)間 [ a, 2 a ] 上的最大值與最小值之差為12，則 a ＝ ( ) A. 2 B ． 2 C ． 2 2 D ． 4 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由 a 1 知， f ( x ) ＝ logax 在區(qū)間 [ a, 2 a ] 上為增函數(shù)，所以 f ( x )m ax＝ lo ga2 a ＝ 1 ＋ loga2 ， f ( x )m in＝ logaa ＝ 1 ，所以 loga2＝12，得 a ＝ 4. [ 例 1] 已知 f ( x ) ＝????? ( 6 － a ) x － 4 a ( x 1 )logax ( x ≥ 1 )是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的增 函數(shù)，求 a 的取值范圍． [ 分析 ] f ( x ) 在 R 上單調(diào)增，故在 ( － ∞ ， 1) 和 [1 ，＋∞ ) 上都單調(diào)增，且在 [1 ，＋ ∞ ) 上的最小值不小于 (6 －a ) 1 － 4 a . [ 解析 ] f ( x ) 是 R 上的增函數(shù)，則當(dāng) x ≥ 1 時(shí)， y ＝ logax 是增函數(shù)， ∴ a 1. 又當(dāng) x 1 時(shí)，函數(shù) y ＝ (6 － a ) x － 4 a 是增函數(shù)， ∴ 6 － a 0 ， ∴ a 6. 又由 (6 － a ) 1 － 4 a ≤ loga1 得， a ≥65. ∴65≤ a 6. [例 2] 作出函數(shù) y＝ |log2(x＋ 1)|＋ 2的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間． [思路點(diǎn)撥 ] 按下列順序作圖，作圖后再觀察得出單調(diào)區(qū)間． y＝ log2x→ y＝ log2(x＋ 1)→ y＝ |log2(x＋ 1)|→ y＝|log
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