【正文】 ，個零點，根據(jù)羅爾定理上有在處均為零，所以，在，證明：設(shè)],[ , 1 ],[)(],[)()()(1],[)()( ),())(]([)( )(0100babaxqnbaxqxqxqnbaxqxxxqxxxxxxxxxfxqnnnn????=???? f[x0,x1,…,x k]= f[x1,…, x k1,xk] f[x0,x1, …, xk1] xkx0 2186。 P2(x)=f(x0) + (xx0) + (xx0)(xx1) f[x0,x1] f[x0,x1,x2] x=x0時 0 注 : 1. 事實上 ,從上述可看出二次牛頓插值公式是用 待定系數(shù)法 求得的 。 X=[pi/6 ,pi/4, pi/3]。 =，用拉格朗日及其誤差估計的 MATLAB函數(shù)求sin40 176。 end R=M*q1/c1。 end q1=abs(q1*(zX(j)))。 for k=1:n p=。 [C, L ,L1,l]= lagran1(X,Y) 運行后輸出五次拉格朗日插值多項式 L及其系數(shù)向量 C，基函數(shù) l及其系數(shù)矩陣 L1如下 C = L =*x+*x^2+*x^3+*x^4*x^5 L1 = l = [ *x^5+*x^*x^*x^2+*] [ *x^*x^*x^3+*x^*x+] [ *x^5+*x^4+*x^*x^*x+] [ *x^*x^*x^3+*x^2+*] [ *x^5+*x^4+*x^*x^*x+] [ *x^5+ *x^*x^3+*x^2+*] 估計其誤差的公式為 ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?,!665???=?? xxxxxxfxR五、拉格朗日插值及其誤差估計的 Matlab程序 function [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M) n=length(X)。L=Y*l return 新建一個 ，將程序拷貝到文件中，并將文件保存到 matlab的工作目錄下，即可直接調(diào)用函數(shù)。 for k=1: m V=1。 Y = polyval(P,x) 運行后輸出插值多項式和插值為 L = x^3+4*x^24*x+1 Y =. 輸入程序 syms M。 p2=poly(X(2))。 R2=M*abs((xX(1))*(xX(2)) *(xX(3)))/6 運行后輸出誤差限為 R2 =. ?cos (π/6)= … 三、 n次拉格朗日插值的 Matlab程序 例 *14給出節(jié)點數(shù)據(jù) f()=， f()= ，f()=， f()= ，作三次拉格朗日插值多項式計算 f()，并估計其誤差。 R1=M*abs((xX(1))*(xX(2)))/2 運行后輸出誤差限為 R1 =. n=2輸入程序 X=0:pi/4:pi/2。 R1=M*max(abs((xX(1)).*(xX(2))))./2 運行后輸出誤差限為 R1 = . 點乘和點除表示向量對應(yīng)相乘和對應(yīng)相除 二、拋物線插值的 Matlab程序 例 *13求將區(qū)間 [0,π/2]分成 n等份（ n=1,2），用 y=f(x)=cos(x)產(chǎn)生 n+1個節(jié)點，分別作線性插值函數(shù)和拋物線插值函數(shù)，并用它們分別計算 cos (π/6) (取四位有效數(shù)字 )，并估計其誤差 . 解： n=1輸入程序 X=[0,pi/2]。 Y = polyval(P,x) 運行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項式的系數(shù)向量 P、插值多項式 L和插值 Y為 l0 = l1 = L = Y = 1/2*x+3/2 1/2*x1/2 1/2*x+1/2 一、線性插值的 Matlab程序 逗號會將本句程序的結(jié)果輸出到命令窗口，分號則不會輸出 輸入程序 M=5。roots(C) 輸出結(jié)果為 ans = 數(shù)值解 輸入 poly(1:2) 輸出 ans = 1 3 2 輸入 roots(poly(1:2)) 輸出 ans = 2 1 1到 n的等差數(shù)列，其中 n=20 輸入 roots(poly(1:4)) 輸出 ans = 若常數(shù) a為矩陣 A的特征值，則返回 0 返回 n到 1的數(shù)值 例 *11已知函數(shù) f(x)在 [1,3]上具有二階連續(xù)導數(shù)， ，且滿足條件 f(1) =1， f(3)=2，求線性插值多項式和函數(shù)值 f()，并估計其誤差。A=[1 3]。y=poly2sym(c,’s’) ； 或者 c=[1 3]。) ) 輸入程序 p = [3 2 1]。 ? ? 123 2 ??= xxxp(三 ) POLY2SYM 函數(shù) 調(diào)用格式一 ： poly2sym (C) 調(diào)用格式二 ： f1=poly2sym(C,39。 *1 拉格朗日插值的 Matlab實現(xiàn) 常用的幾個函數(shù) (一 ) POLY 函數(shù) 調(diào)用格式 ： Y = poly (V) (二 ) POLYVAL 函數(shù) 調(diào)用格式 ： Y = polyval(p,x) 返回矩陣特征多項式的系數(shù)。 計算機上 實現(xiàn) 也很 容易 . 也有一些 缺點 ： 一是 計算量大 ，這是顯然的；另外，還有一個更嚴重的缺點，當插值節(jié)點增加時， 全部插值基函數(shù) 均要隨之 變化 ，整個計算工作必須從頭開始：不僅原來的每一項都要改變，還要 增加一項 計算。 n = 2 23))(())((21))(())((21))(())(()(4363463464363646342 ? ?? ?? =?????????????????? xxxxxxxL) 18 5 ( 50 sin 2 0 ? ? ? L 2 3c os21。 1)1( )( ?? ? nn Mxf?=? ? niin xxnM01 ||)!1(?當 f(x) 為任一個次數(shù) ? n 的 多項式 時， , 可知 ，即插值多項式對于次數(shù) ? n 的 多項式是 精確 的。 考察 則 Qn 的階數(shù) ,)()()( xLxPxQnnn =? n 而 Qn 有 個不同的根 n + 1 x0 … xn 注： 若不將多項式次數(shù)限制為 n ，則插值多項式 不唯一 。因 l0(x)是以 x1, x2 為零點的二次多項式 ,所以它可寫成 l0(x)＝ ?0(x － x1)(x － x2), 其中 ?0 是待定系數(shù)。 待定系數(shù)法 對于線性插值的 兩種形式 解 進行適當?shù)姆治?, 從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā) ,就有了所謂的 拉格朗日插值法 (公式 )和 牛頓插值 (公式 ). 我們先來看看如何得到 二次 拉格朗日插值公式。 1 拉格朗日多項式 n i y x P i i n , ... , 0 , ) ( = = 求 n 次多項式 使得 nnn xaxaaxP ???= ?10)(條件： 無重合節(jié)點，即 ji xx ?ji ?n = 1 已知 x0 , x1 。這里的 g(x) 稱為 f(x) 的 插值函數(shù) 。 從實際需要出發(fā)：對于計算結(jié)果允許有一定的誤差，可以把函數(shù)關(guān)系用一個簡單的便于計算和處理的 近似表達式 來代替，從而使問題得到簡化。 有兩種情況： 一是 表格 形式 —— 一組 離散的數(shù)據(jù) 來表示函數(shù)關(guān)系；另一種是函數(shù)雖然 有明顯的 表達式 ，但很復雜 ，不便于研究和使用。 0 引言 第二章 插值 （ Interpolation） 法 插值法就是一種基本方法 當精確函數(shù) y = f(x) 非常復雜或未知時，在一系列節(jié)點 x0 … xn 處測得函數(shù)值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù) g(x) ? f(x)，滿足條件 g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 167。 y0 , y1 ,y2 , 求 22102 )( xaxaaxP ??=使得 0 0 2 , ) ( y x P 1 1 2 ) ( y x P = = 2 2 2 ) ( y x P = , 為求 P2(x),將三點代入其表達式 ,即可得到三個方程式 ,從而聯(lián)立方程組解出系數(shù) a0, a1, a2即可 : 2020210 xaxaay ??=2121101 xaxaay ??=2222102 xaxaay ??=方程組的 解是否存在 ? 若存在解 ,是否唯一 ?! 當 x0 , x1 , x2互異時 ,方程組的解存在且唯一 . 注： 顯然有 , 求 n 次插值時 , 由 n +1個點可有 n +1個方程 , 聯(lián)立方程組即可求出插值多項式的 n +1個系數(shù) . 然而 ,方程組的求解也并不是一件容易的事 。稱為 二次插值基函數(shù) . P2(x)= y0+ y1+ y2 (x x0)(x x2) (x1x0)(x1x2) (x x1)(x x2) (x0x1)(x0x2) (x x0)(x x1) (x2x0)(x2x1) 先考慮 l0(x)。 niyxP ii ,. ..,0,)( ==證明： ( 存在性 可利用 Vandermonde 行列式 論證 ) 反證：若不唯一，則除了 Ln(x) 外還有另一 n 階多項式 Pn(x) 滿足 Pn(xi) = yi 。 )(x? 0)()( 10 == xx ??),( 10 xx?? 0)( =? ??推廣： 若 0)()()(210 === xxx ??? ),(),( 211100 xxxx ?? ??使得 0)()(10 =?=? ???? ),( 10 ??? ?使得 0)( =?? ??0)()( 0 === nxx ?? ?存在 ),( ba?? 使得 0)()( =?? nRn(x) 至少有 個根 n+1 ? = = n i i n x x x K x R 0 ) ( ) ( ) ( 任意固定 x ? xi (i = 0, …, n), 考察 ? = = n i i x t x K t Rn t 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ? ?(t)有 n+2 個不同的根 x0 … xn x ),(,0)()1( baxxn ?=? ???! ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ? ? n x K R x n n ? 注意這里是對 t 求導 = ? ? ? ! ) 1 )( ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( n x K L f x n n x n ? ? ! ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ? = ? n f x K x n ? ?=??=niixnn xxnfxR0)1()(!)1( )()( ? 插值余項 (Remainder) ? 注： ? 通常不能確定 ?x , 而是估計 , ?x?(a,b) 將