【正文】 寫(xiě)出各級(jí)、各位的數(shù)，哪些數(shù)位上的數(shù)是零，就用“ 0”表示。 但是，財(cái)政部門(mén)開(kāi)具票證時(shí)，為了避免錯(cuò)誤，在用漢字寫(xiě)數(shù)時(shí)，除了個(gè)級(jí)以外，仍然把每一級(jí)末尾的零寫(xiě)出來(lái)。 每一級(jí)末尾的零，可以 不讀。 （ 2）四位以上的數(shù)，從最高位起，順次讀出各級(jí)里的數(shù)及它的級(jí)名。就是說(shuō)，記在各個(gè)數(shù)位上的每一個(gè)數(shù)字，不但有其本身的數(shù)值，還有位置值，這就是阿拉伯記數(shù)法的位值原 則。 （ 3）要規(guī)定數(shù)字記在數(shù)位上的原則。十進(jìn)位制要有 10 個(gè)記數(shù)符號(hào)，就是： 0、 9。 （ 3）要有數(shù)的命名方法。 （ 2）要有一系列的十進(jìn)計(jì)數(shù)單位。 ？ 等量公理有以下幾條： （ 1）等量加等量，和相等； （ 2）等量減等量，差相等； （ 3）等量的同倍量相等； （ 4）等量的同分量相等； （ 5）在等式中，一個(gè)量可以用它的等量來(lái)代替（簡(jiǎn)稱“等量代換”）。”，“這所學(xué)校已經(jīng)有 60 年的歷史了”，“張勇同學(xué)今天不來(lái)了”等，都是判斷。例如，乘法對(duì)加法的分配律（ a+b） c=ac+bc，就是定律。每個(gè)定理都包含“條件”和“結(jié)論”兩個(gè)部分，條件是已知的部分，結(jié)論是從條件經(jīng)過(guò)推理而得到的結(jié)果。 對(duì)定理的理解是，能用推理的方法證明是正確的命題叫做定理。 用外延法定義概念，就是把概念所反映的具體對(duì)象一一羅列出來(lái)。 用內(nèi)涵法定義概念采用如下公式： 被定義概念 =鄰近的種 +類(lèi)差。例如，“如果整數(shù) a能被自然數(shù) b整除，那么 a 叫做 b的倍數(shù)， b叫做 a 的約數(shù)”，這就是倍數(shù)、約數(shù)的定義。反之，當(dāng)它的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí)，它的外延就縮小。在一個(gè)概念中，當(dāng)它的內(nèi)涵擴(kuò)大時(shí)，則它的外延就縮小；當(dāng)它的內(nèi)涵縮小時(shí)。這兩個(gè)本質(zhì)屬性的總和就是平行四邊形的內(nèi)涵?！? 概念的內(nèi)涵就是那個(gè)概念所包括的一切對(duì)象的共同的本質(zhì)屬性的總和。某種事物的本質(zhì)屬性，就是這種事物所具有的而別種事物都不具有的性質(zhì)。 通過(guò)計(jì)算一些象 上面所舉出來(lái)的一組一組的數(shù)學(xué)題，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，事物是不斷變化的，同時(shí)，事物和事物之間又是有聯(lián)系的，變化是有規(guī)律的。有時(shí)，“差”也隨著“減數(shù)”的變化而變化。在這一組加法式題里，一個(gè)加數(shù)“ 9”是不變的，而另一個(gè)加數(shù)有變化，于是，它們的和也要隨著變化。我們可以說(shuō)，花的棵數(shù)比花盆的個(gè)數(shù)少，花盆的個(gè)數(shù)比花的棵數(shù)多。這時(shí)，我們可以說(shuō)，螺絲釘?shù)膫€(gè)數(shù)和螺絲帽相等。還可以看出，杯子和杯蓋的數(shù)是相等的。 “對(duì)應(yīng)”呢？ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，對(duì)于“對(duì)應(yīng)”的概念沒(méi)有進(jìn)行深入講解，只是通過(guò)一些插圖和簡(jiǎn)單的事例使學(xué)生初步接觸并有所體會(huì)就可以了。 表示一個(gè)書(shū)包的集合。 表示 4只綿羊的集合。我們把這種表示集合的方法叫做韋恩圖（韋恩是英國(guó)一個(gè)數(shù)學(xué)家）。像前面所舉的 4個(gè)例子，這些集合中的元素都是有限多個(gè)。元素也簡(jiǎn)稱為“元”。 （ 2）在禮堂里聽(tīng)報(bào)告的每一個(gè)人是這個(gè)集合中的一個(gè)元素。 使學(xué)生初步體會(huì)到，集合是指具有明確范圍的一些確定的對(duì)象的全體。例如： （ 1）一個(gè)班的所有學(xué)生可以作為一個(gè)集合。超過(guò)十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億的數(shù)，仍然按照這個(gè)規(guī)律，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)下去。從 1 個(gè)十到 10 十，也是利用前 10個(gè)數(shù)的名稱和順序數(shù)出來(lái)的。 一、二、三、四、五、六、七、八、九、十， 十一、十二、十三、十四、十五、十六、十七、十八、十九、二十， ?? 八十一、八十二、??八十九、九十， 九十一、九十二、??九十九、一百。當(dāng)需要數(shù)的事物比較少的時(shí)候，特別是在不超過(guò) 10個(gè)的情況下，我們可以伸出手來(lái)，利用 10個(gè)手指，就屈指可數(shù)了。） （在十位上商 4，四九三十六，從 37個(gè)“十”里減去 36個(gè)“十”，余下 1個(gè)“十”與個(gè)位上的 8，組成 18，再被 9除，商 2。至于計(jì)算乘、除法 的時(shí)候也要用到數(shù)的組成知識(shí)。 （ 3）對(duì)于學(xué)習(xí)四則計(jì)算是個(gè)重要的基礎(chǔ)。 （ 2） 對(duì)于自然數(shù)列的特點(diǎn)有個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。例如： 8是 7和 1， 6 和 2， 5和 3， 4 和 4 組成的；當(dāng)然還可以說(shuō) 8 是 1 和 7， 2和 6， 3和 5組成的。例如： 7是 7 個(gè)“一”組成的； 28是由 2 個(gè)“十”和 8個(gè)“一”組成的；等等。例如：為了使小學(xué)生認(rèn)識(shí)“ 2”，可以使用兩支鉛筆、兩塊橡皮、兩個(gè)茶杯、兩本書(shū)等實(shí)物以及每一張畫(huà)有兩件物品的畫(huà)片等等，使學(xué)生體會(huì)到，不管它是動(dòng)物還是植物，不管它是鐵的、木頭的或是紙的，只要每一組事物的數(shù)量可以用兩個(gè)手指來(lái)表示的話，就可以寫(xiě)成數(shù)字“ 2”。老師問(wèn)他為什么這樣寫(xiě)，這個(gè)小學(xué)生理直氣壯地回答：“您不是講過(guò)嗎，‘ 1’表示一個(gè)皮球，那么，兩個(gè)‘ 1’不就是表示兩個(gè)皮球嗎！” 看來(lái)，這位老師講課時(shí)使用的直觀教具太少，使小學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為：“ 2”就是表示兩支鉛筆，“ 1”就是表示一個(gè)皮球。就這樣講完了 1和 2，然后就指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)寫(xiě)數(shù)了?！? 老師：“對(duì)！念做 1。 一年級(jí)小學(xué)生聚精會(huì)神地聽(tīng)老師講算術(shù)課，老師對(duì)學(xué)生說(shuō)：“今天咱們學(xué)習(xí)一和二。 2=1（余 0）?把 1進(jìn)到第六位，余下的 0是第五位數(shù)字； 1247。 2=21（余 1）?把 21 進(jìn)到第二位，余下的 1 是第一位數(shù)字； 21247。 為了把 1011012 化為十進(jìn)數(shù)，可以把 1011012 先改寫(xiě)成不同 計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式，再改寫(xiě)成十進(jìn)數(shù)。因此二進(jìn)位制廣泛應(yīng)用于電子計(jì)算機(jī)中。寫(xiě)二進(jìn)數(shù)只用 0和 1兩個(gè)數(shù)字就可以了。它的特點(diǎn)是滿 10進(jìn)一，它需要 10 個(gè)數(shù)碼；基數(shù)是 2 的進(jìn)位制叫做二進(jìn)位制，用二進(jìn)位制記出的數(shù)簡(jiǎn)稱為二進(jìn)數(shù)。因此，需要建立一種讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)制度 進(jìn)位制。這時(shí)，正整數(shù)（自然數(shù)）、零、負(fù)整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)，而正整數(shù)和零可稱為非負(fù)整數(shù)。應(yīng)該進(jìn)一步弄清阿拉伯記數(shù)法的特點(diǎn) —— 數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)記數(shù)。 古代羅馬因?yàn)槿狈ξ恢翟瓌t，寫(xiě)數(shù)與計(jì)算非常繁難，于是，羅馬記數(shù)法就逐漸被淘汰了。也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了本身的值以外，還有一個(gè)“位置值”?？傊?，一位數(shù)是： 19：兩位數(shù)是 1099，三位數(shù)是 100999；四位數(shù)是 1000－ 9999；?? 學(xué)生也可能問(wèn)“最小的一位數(shù)是不是 0？”這句話本身就是不對(duì)的?！庇痔貏e指出：“除數(shù)碼 0 以外其他的數(shù)碼（如 1， 2， 3， 4， 5，6， 7， 8， 9）都叫做有效數(shù)碼”。因此，在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾（其中最左端的數(shù)字不是 0），這個(gè)數(shù)就叫做幾位數(shù)。用兩個(gè)數(shù)字，其中最左端的數(shù)字不是 0，所表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)。這是因?yàn)椤皞€(gè)位”上的計(jì)數(shù)單位是“一（個(gè)），“十位”上的計(jì)數(shù)單位是“十”，“百位”上的計(jì)數(shù)單位是“百”，“千位”上的計(jì)數(shù)單位是“千”，“萬(wàn)位”上的計(jì)數(shù)單位是“萬(wàn)”，等等。 數(shù)位是指寫(xiě)數(shù)時(shí)，把數(shù)字并列排成橫列，一個(gè)數(shù)字占有一個(gè)位置，這些位置，都叫做數(shù)位。 十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特 點(diǎn)是“滿 10進(jìn)一”。 算草是演算時(shí)所做的草式。通常稱為橫式。例如： （ 125+6832）247。 算術(shù)數(shù)是自然數(shù)、零和正分?jǐn)?shù)（小數(shù)）的統(tǒng)稱。 ？ 算術(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它主要討論非負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的讀數(shù)法、記數(shù)法和它們?cè)诩印p、乘、除、乘方等運(yùn)算下產(chǎn)生的數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則。這組數(shù)字最早起源于印度， 8 世紀(jì)前后傳到阿拉伯。 13 世紀(jì)以前，羅馬數(shù)字曾盛行于歐洲。 （ 3）在數(shù)字上加一條橫線，表示 1000 倍，或者在這數(shù)字的右下角寫(xiě)一個(gè)字母 M，就表示若干個(gè)千組成的數(shù)。 （ l）相同的數(shù)字連寫(xiě)，或者把較小 的數(shù)字寫(xiě)在較大的數(shù)字右邊，所表示的數(shù)就等于這些數(shù)合并在一起所得的數(shù)。 ？ 羅馬數(shù)字是羅馬人創(chuàng)造的記數(shù)符號(hào)。 0，這類(lèi)式子是沒(méi)有意義的。 a=0。 （ 6）任何數(shù)減 0，它的值不變，即 a0=a。 （ 2）在十進(jìn)制記數(shù)法中， 0 起占位的作用。開(kāi)始第一個(gè)石頭樁上刻的號(hào)是“ 0”，表明這段公路的起點(diǎn)。如果隨意增添或去掉，那么，不是把表示的數(shù)量擴(kuò)大了若干倍就是縮小了若干倍。 （ 2）“ 0”占有數(shù)位。因此，原點(diǎn)“ 0”比表示正負(fù)數(shù)的任何點(diǎn) 都更重要。 既然“ 0”不僅僅是表示“沒(méi)有”，那么它還有哪些意義和作用呢？ （ 1）表示分界。 11.“ 0”是不是只表示沒(méi)有？ 這個(gè)問(wèn)題要分兩方面來(lái)講。 我國(guó)明、清時(shí)代，在商業(yè)上曾用過(guò)如下 的數(shù)碼： 這種數(shù)字，也叫做“蘇州碼子”，又叫“草碼”，直到解放前，有時(shí)記帳還用它。各位籌式必須縱橫相間：個(gè)位、百位、萬(wàn)位等用縱式；十位、千位、十萬(wàn)位等用橫式。算籌記數(shù)的規(guī)則，最早載于《孫子算經(jīng)》：“凡算之法先識(shí)其位。下面是甲骨文的十三個(gè)記數(shù)單字： 這些數(shù)字可以說(shuō)是我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)字了。 ？ 我國(guó)古代很早就有了數(shù)字。中國(guó)數(shù)字，不論大寫(xiě)的還是小寫(xiě)的，在我國(guó)的許多書(shū)上常常見(jiàn)到。 零和自然數(shù)都是整數(shù)。 ？ 我們知道自然數(shù)列是按照后面的一個(gè)自然數(shù)比前面的一個(gè)多 1 的順序排列的。 為了使學(xué)生懂得自然數(shù)的雙重意義，可以舉些實(shí)例予以說(shuō)明。 我們可以把這一橫隊(duì)的學(xué)生的全體看做是一個(gè)集合，其中每一個(gè)學(xué)生，可以看做是這個(gè)集合中的一個(gè)元素。例如，同學(xué)們?cè)谏象w育課的時(shí)候，有時(shí)排成一列橫隊(duì) ，老師發(fā)出口令：“報(bào)數(shù)！”，于是從橫隊(duì)由右邊排頭開(kāi)始，一！二！三！四！??，排尾報(bào)的是三十五。自然數(shù)列里的自然數(shù)都是按照一定順序排列著的，在“ 1”后面的一個(gè)自然數(shù)是“ 2”，在“ 2”后面的一個(gè)自然數(shù)是“ 3”，??這就是說(shuō)，每個(gè)自然數(shù)后面都有一個(gè)而且只有一個(gè)后繼數(shù)。 ？ 我們把自然數(shù)大家庭中的所有成員按照從小到大的順序排成一列長(zhǎng)長(zhǎng)的隊(duì)伍，自然數(shù) 1是這個(gè)隊(duì)伍的“排頭兵”， 2排在 1 的后面， 3排在2 的后面??這樣一直排下去，誰(shuí)也看不見(jiàn)這個(gè)隊(duì)伍的排尾。例如， 1 的后繼數(shù)是 2， 2的后繼數(shù)是 3，等等。前者等價(jià)集合的標(biāo)記是“ 2”，后者等價(jià)集合的標(biāo)記是“ 5”。 從集合的觀點(diǎn)看，每一個(gè)自然數(shù)是一類(lèi)等價(jià)的非空有限集合的標(biāo)記。因此，自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)。 實(shí)數(shù)概念的產(chǎn)生經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，然而在解方程中，像 x2=1無(wú)法解下去時(shí)，促使人們考慮數(shù)的概念還應(yīng)繼續(xù)發(fā)展。為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們又引進(jìn)了 樣，就把整數(shù)擴(kuò)大為有理數(shù)。 ？ 數(shù)的概念是由人類(lèi)生產(chǎn)和生活的實(shí)踐需要而逐漸形成和發(fā)展起來(lái)的。 我國(guó)對(duì)于一元同余方程組的研究約在公元 400 年時(shí)就開(kāi)始了，到了秦九韶時(shí)代（公元 1247 年）已經(jīng)有完整的解法，被世界稱為“中國(guó)剩余定理。西方人大約在 14世紀(jì)才開(kāi)始研究幻方構(gòu)造。僅舉幾例說(shuō)明。因此我國(guó)應(yīng)稱為古代數(shù)學(xué)王國(guó)。如圖，每行每列 3個(gè)數(shù)的和都是 15，而且兩條主對(duì)角線上的 3個(gè)數(shù)的和也都是 15。魏晉間杰出的數(shù)學(xué)家劉徽在公元 263 年又有所發(fā)展，而西方出 現(xiàn)類(lèi)似的方法晚于公元 390 年。 我們最早提出的代數(shù)方程的近似解法 秦九韶法，賈憲三角形或稱楊輝三角形是世界上最早研究二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。 為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)法的要求，人們引進(jìn)了零及負(fù)數(shù)，把自然數(shù)看作正整數(shù)，把正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)合并在一起，構(gòu)成整數(shù)。有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的全體組成實(shí)數(shù)。 誰(shuí)也不能把自然數(shù)全部數(shù)出來(lái)或全部寫(xiě)出來(lái)。 1 是最小的自然數(shù)，但是自然數(shù)沒(méi)有最大的。又如，把五本練習(xí)本作為一個(gè)集合，把人的一只手上的手指作為一個(gè)集合，這兩個(gè)集合也是等價(jià)集合。（一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個(gè)數(shù)后面的數(shù)。其中的性質(zhì)（ 5）是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)。 哪些？ 自然數(shù)列的性質(zhì)主要有以下三點(diǎn)： （ 1）自然數(shù)列是有序的。 “自然數(shù)有兩方面的意義：一是基數(shù)的意義，二是序數(shù)的意義”，這是怎么一回事呢？ 在日常生活中，自然數(shù)在不同的情況下有不同的意義。這個(gè)“ 35”，既可以表示這橫隊(duì)共有 35 個(gè)學(xué)生，也可以表示站在排尾的這個(gè)學(xué)生是第 35 號(hào)。所謂基數(shù)的意義，即被數(shù)的事物有“多少個(gè)”；所謂序數(shù)的意義，即最后被數(shù)的事物是“第幾個(gè)”。（如圖）數(shù)軸上的“ 5”，一方面表示的點(diǎn)是原點(diǎn)右邊的“第 5 個(gè)” 整點(diǎn)，這時(shí)“ 5”就是序數(shù)；另一方面，用“ 5”表示的點(diǎn)同原點(diǎn)之間的距離是“ 5 個(gè)”單位，這時(shí)“ 5”就是基數(shù)。 在擴(kuò)大的自然數(shù)列里，只有零不是自然數(shù)，其他的數(shù)都是自然數(shù)。 （ 1）（ 5）（ 10）（ 50）（ 100）（ 500）（ 1000） 阿拉伯?dāng)?shù)字，是現(xiàn)在世界各國(guó)通用的數(shù)字，在我們的數(shù)學(xué)書(shū)上也使用阿拉伯?dāng)?shù)字。今天，在一些鐘表盤(pán)上還能見(jiàn)到它。在 我國(guó)河南省發(fā)現(xiàn)的殷墟甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字，說(shuō)明早在三千多年前人們已經(jīng)能用一、二、三、??十、百、千、萬(wàn)等記數(shù)，并且采用十進(jìn)制，只是文字的形體和后來(lái)的有所不同。據(jù)文獻(xiàn)記載，算籌除竹籌外，還有木籌、鐵籌、骨籌、玉籌和牙籌，并且有盛裝算籌的算袋和算子筒?！庇盟慊I表示數(shù)目有縱、橫兩種方式： 表示一個(gè)多位數(shù)，是把各位數(shù)碼由高位到低位從左至右橫列。這與現(xiàn)今的十進(jìn)制記數(shù)法基本一致。雖然我國(guó)的大寫(xiě)數(shù)字是目前世界上最繁的數(shù)字，但是它的優(yōu)點(diǎn)是不易涂改，因此我國(guó)還把它用在會(huì)計(jì)工作中以及在重要票證或證件的編號(hào)上。例如：全班同學(xué)都到操場(chǎng)上體育課去了，教室里一個(gè)同學(xué)也