【正文】 寫出各級、各位的數(shù)，哪些數(shù)位上的數(shù)是零，就用“ 0”表示。 但是，財政部門開具票證時，為了避免錯誤，在用漢字寫數(shù)時，除了個級以外，仍然把每一級末尾的零寫出來。 每一級末尾的零，可以 不讀。 （ 2）四位以上的數(shù)，從最高位起，順次讀出各級里的數(shù)及它的級名。就是說，記在各個數(shù)位上的每一個數(shù)字，不但有其本身的數(shù)值，還有位置值，這就是阿拉伯記數(shù)法的位值原 則。 （ 3）要規(guī)定數(shù)字記在數(shù)位上的原則。十進位制要有 10 個記數(shù)符號，就是： 0、 9。 （ 3）要有數(shù)的命名方法。 （ 2）要有一系列的十進計數(shù)單位。 ？ 等量公理有以下幾條： （ 1）等量加等量，和相等； （ 2）等量減等量，差相等； （ 3）等量的同倍量相等； （ 4）等量的同分量相等； （ 5）在等式中，一個量可以用它的等量來代替（簡稱“等量代換”）?！?，“這所學校已經(jīng)有 60 年的歷史了”，“張勇同學今天不來了”等，都是判斷。例如，乘法對加法的分配律（ a+b） c=ac+bc，就是定律。每個定理都包含“條件”和“結論”兩個部分，條件是已知的部分，結論是從條件經(jīng)過推理而得到的結果。 對定理的理解是，能用推理的方法證明是正確的命題叫做定理。 用外延法定義概念，就是把概念所反映的具體對象一一羅列出來。 用內涵法定義概念采用如下公式： 被定義概念 =鄰近的種 +類差。例如，“如果整數(shù) a能被自然數(shù) b整除，那么 a 叫做 b的倍數(shù)， b叫做 a 的約數(shù)”，這就是倍數(shù)、約數(shù)的定義。反之，當它的內涵擴大時，它的外延就縮小。在一個概念中，當它的內涵擴大時，則它的外延就縮??；當它的內涵縮小時。這兩個本質屬性的總和就是平行四邊形的內涵?！? 概念的內涵就是那個概念所包括的一切對象的共同的本質屬性的總和。某種事物的本質屬性，就是這種事物所具有的而別種事物都不具有的性質。 通過計算一些象 上面所舉出來的一組一組的數(shù)學題，使學生進一步認識到，事物是不斷變化的，同時，事物和事物之間又是有聯(lián)系的，變化是有規(guī)律的。有時，“差”也隨著“減數(shù)”的變化而變化。在這一組加法式題里，一個加數(shù)“ 9”是不變的，而另一個加數(shù)有變化，于是，它們的和也要隨著變化。我們可以說，花的棵數(shù)比花盆的個數(shù)少，花盆的個數(shù)比花的棵數(shù)多。這時，我們可以說，螺絲釘?shù)膫€數(shù)和螺絲帽相等。還可以看出，杯子和杯蓋的數(shù)是相等的。 “對應”呢？ 在小學數(shù)學教材里，對于“對應”的概念沒有進行深入講解，只是通過一些插圖和簡單的事例使學生初步接觸并有所體會就可以了。 表示一個書包的集合。 表示 4只綿羊的集合。我們把這種表示集合的方法叫做韋恩圖（韋恩是英國一個數(shù)學家）。像前面所舉的 4個例子，這些集合中的元素都是有限多個。元素也簡稱為“元”。 （ 2）在禮堂里聽報告的每一個人是這個集合中的一個元素。 使學生初步體會到，集合是指具有明確范圍的一些確定的對象的全體。例如： （ 1）一個班的所有學生可以作為一個集合。超過十萬、百萬、千萬、億的數(shù)，仍然按照這個規(guī)律，一個一個地數(shù)下去。從 1 個十到 10 十，也是利用前 10個數(shù)的名稱和順序數(shù)出來的。 一、二、三、四、五、六、七、八、九、十， 十一、十二、十三、十四、十五、十六、十七、十八、十九、二十， ?? 八十一、八十二、??八十九、九十， 九十一、九十二、??九十九、一百。當需要數(shù)的事物比較少的時候，特別是在不超過 10個的情況下，我們可以伸出手來，利用 10個手指，就屈指可數(shù)了。） （在十位上商 4，四九三十六，從 37個“十”里減去 36個“十”，余下 1個“十”與個位上的 8，組成 18，再被 9除，商 2。至于計算乘、除法 的時候也要用到數(shù)的組成知識。 （ 3）對于學習四則計算是個重要的基礎。 （ 2） 對于自然數(shù)列的特點有個初步的認識。例如： 8是 7和 1， 6 和 2， 5和 3， 4 和 4 組成的；當然還可以說 8 是 1 和 7， 2和 6， 3和 5組成的。例如： 7是 7 個“一”組成的； 28是由 2 個“十”和 8個“一”組成的；等等。例如：為了使小學生認識“ 2”，可以使用兩支鉛筆、兩塊橡皮、兩個茶杯、兩本書等實物以及每一張畫有兩件物品的畫片等等，使學生體會到，不管它是動物還是植物，不管它是鐵的、木頭的或是紙的，只要每一組事物的數(shù)量可以用兩個手指來表示的話，就可以寫成數(shù)字“ 2”。老師問他為什么這樣寫，這個小學生理直氣壯地回答：“您不是講過嗎，‘ 1’表示一個皮球，那么，兩個‘ 1’不就是表示兩個皮球嗎！” 看來，這位老師講課時使用的直觀教具太少，使小學生錯誤地認為：“ 2”就是表示兩支鉛筆，“ 1”就是表示一個皮球。就這樣講完了 1和 2，然后就指導學生練習寫數(shù)了?！? 老師：“對！念做 1。 一年級小學生聚精會神地聽老師講算術課，老師對學生說：“今天咱們學習一和二。 2=1（余 0）?把 1進到第六位，余下的 0是第五位數(shù)字； 1247。 2=21（余 1）?把 21 進到第二位，余下的 1 是第一位數(shù)字； 21247。 為了把 1011012 化為十進數(shù)，可以把 1011012 先改寫成不同 計數(shù)單位的數(shù)之和的形式，再改寫成十進數(shù)。因此二進位制廣泛應用于電子計算機中。寫二進數(shù)只用 0和 1兩個數(shù)字就可以了。它的特點是滿 10進一，它需要 10 個數(shù)碼；基數(shù)是 2 的進位制叫做二進位制，用二進位制記出的數(shù)簡稱為二進數(shù)。因此，需要建立一種讀數(shù)、寫數(shù)制度 進位制。這時，正整數(shù)（自然數(shù)）、零、負整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)，而正整數(shù)和零可稱為非負整數(shù)。應該進一步弄清阿拉伯記數(shù)法的特點 —— 數(shù)字和數(shù)位結合起來記數(shù)。 古代羅馬因為缺乏位值原則，寫數(shù)與計算非常繁難，于是，羅馬記數(shù)法就逐漸被淘汰了。也就是說，每一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”?？傊?，一位數(shù)是： 19：兩位數(shù)是 1099，三位數(shù)是 100999；四位數(shù)是 1000－ 9999；?? 學生也可能問“最小的一位數(shù)是不是 0？”這句話本身就是不對的。”又特別指出：“除數(shù)碼 0 以外其他的數(shù)碼（如 1， 2， 3， 4， 5，6， 7， 8， 9）都叫做有效數(shù)碼”。因此，在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左端的數(shù)字不是 0），這個數(shù)就叫做幾位數(shù)。用兩個數(shù)字，其中最左端的數(shù)字不是 0，所表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)。這是因為“個位”上的計數(shù)單位是“一（個），“十位”上的計數(shù)單位是“十”，“百位”上的計數(shù)單位是“百”，“千位”上的計數(shù)單位是“千”，“萬位”上的計數(shù)單位是“萬”，等等。 數(shù)位是指寫數(shù)時，把數(shù)字并列排成橫列，一個數(shù)字占有一個位置，這些位置，都叫做數(shù)位。 十進制計數(shù)法的特 點是“滿 10進一”。 算草是演算時所做的草式。通常稱為橫式。例如： （ 125+6832）247。 算術數(shù)是自然數(shù)、零和正分數(shù)（小數(shù)）的統(tǒng)稱。 ？ 算術是數(shù)學的一個分支，它主要討論非負整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的讀數(shù)法、記數(shù)法和它們在加、減、乘、除、乘方等運算下產(chǎn)生的數(shù)的性質、運算法則。這組數(shù)字最早起源于印度， 8 世紀前后傳到阿拉伯。 13 世紀以前，羅馬數(shù)字曾盛行于歐洲。 （ 3）在數(shù)字上加一條橫線，表示 1000 倍，或者在這數(shù)字的右下角寫一個字母 M，就表示若干個千組成的數(shù)。 （ l）相同的數(shù)字連寫，或者把較小 的數(shù)字寫在較大的數(shù)字右邊，所表示的數(shù)就等于這些數(shù)合并在一起所得的數(shù)。 ？ 羅馬數(shù)字是羅馬人創(chuàng)造的記數(shù)符號。 0，這類式子是沒有意義的。 a=0。 （ 6）任何數(shù)減 0，它的值不變，即 a0=a。 （ 2）在十進制記數(shù)法中， 0 起占位的作用。開始第一個石頭樁上刻的號是“ 0”，表明這段公路的起點。如果隨意增添或去掉，那么，不是把表示的數(shù)量擴大了若干倍就是縮小了若干倍。 （ 2）“ 0”占有數(shù)位。因此，原點“ 0”比表示正負數(shù)的任何點 都更重要。 既然“ 0”不僅僅是表示“沒有”，那么它還有哪些意義和作用呢？ （ 1）表示分界。 11.“ 0”是不是只表示沒有？ 這個問題要分兩方面來講。 我國明、清時代，在商業(yè)上曾用過如下 的數(shù)碼： 這種數(shù)字，也叫做“蘇州碼子”，又叫“草碼”，直到解放前，有時記帳還用它。各位籌式必須縱橫相間：個位、百位、萬位等用縱式；十位、千位、十萬位等用橫式。算籌記數(shù)的規(guī)則，最早載于《孫子算經(jīng)》：“凡算之法先識其位。下面是甲骨文的十三個記數(shù)單字： 這些數(shù)字可以說是我國現(xiàn)存最早的數(shù)字了。 ？ 我國古代很早就有了數(shù)字。中國數(shù)字，不論大寫的還是小寫的，在我國的許多書上常常見到。 零和自然數(shù)都是整數(shù)。 ？ 我們知道自然數(shù)列是按照后面的一個自然數(shù)比前面的一個多 1 的順序排列的。 為了使學生懂得自然數(shù)的雙重意義，可以舉些實例予以說明。 我們可以把這一橫隊的學生的全體看做是一個集合，其中每一個學生，可以看做是這個集合中的一個元素。例如，同學們在上體育課的時候，有時排成一列橫隊 ，老師發(fā)出口令：“報數(shù)！”，于是從橫隊由右邊排頭開始，一！二！三！四！??，排尾報的是三十五。自然數(shù)列里的自然數(shù)都是按照一定順序排列著的，在“ 1”后面的一個自然數(shù)是“ 2”，在“ 2”后面的一個自然數(shù)是“ 3”，??這就是說，每個自然數(shù)后面都有一個而且只有一個后繼數(shù)。 ？ 我們把自然數(shù)大家庭中的所有成員按照從小到大的順序排成一列長長的隊伍，自然數(shù) 1是這個隊伍的“排頭兵”， 2排在 1 的后面， 3排在2 的后面??這樣一直排下去，誰也看不見這個隊伍的排尾。例如， 1 的后繼數(shù)是 2， 2的后繼數(shù)是 3，等等。前者等價集合的標記是“ 2”，后者等價集合的標記是“ 5”。 從集合的觀點看，每一個自然數(shù)是一類等價的非空有限集合的標記。因此，自然數(shù)有無限多個。 實數(shù)概念的產(chǎn)生經(jīng)過相當長的時間，然而在解方程中，像 x2=1無法解下去時，促使人們考慮數(shù)的概念還應繼續(xù)發(fā)展。為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們又引進了 樣，就把整數(shù)擴大為有理數(shù)。 ？ 數(shù)的概念是由人類生產(chǎn)和生活的實踐需要而逐漸形成和發(fā)展起來的。 我國對于一元同余方程組的研究約在公元 400 年時就開始了，到了秦九韶時代（公元 1247 年）已經(jīng)有完整的解法，被世界稱為“中國剩余定理。西方人大約在 14世紀才開始研究幻方構造。僅舉幾例說明。因此我國應稱為古代數(shù)學王國。如圖，每行每列 3個數(shù)的和都是 15，而且兩條主對角線上的 3個數(shù)的和也都是 15。魏晉間杰出的數(shù)學家劉徽在公元 263 年又有所發(fā)展，而西方出 現(xiàn)類似的方法晚于公元 390 年。 我們最早提出的代數(shù)方程的近似解法 秦九韶法，賈憲三角形或稱楊輝三角形是世界上最早研究二項式展開式系數(shù)的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。 為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)法的要求，人們引進了零及負數(shù)，把自然數(shù)看作正整數(shù)，把正整數(shù)、零、負整數(shù)合并在一起，構成整數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)的全體組成實數(shù)。 誰也不能把自然數(shù)全部數(shù)出來或全部寫出來。 1 是最小的自然數(shù)，但是自然數(shù)沒有最大的。又如，把五本練習本作為一個集合，把人的一只手上的手指作為一個集合，這兩個集合也是等價集合。（一個數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個數(shù)后面的數(shù)。其中的性質（ 5）是數(shù)學歸納法的依據(jù)。 哪些？ 自然數(shù)列的性質主要有以下三點： （ 1）自然數(shù)列是有序的。 “自然數(shù)有兩方面的意義：一是基數(shù)的意義，二是序數(shù)的意義”，這是怎么一回事呢？ 在日常生活中，自然數(shù)在不同的情況下有不同的意義。這個“ 35”，既可以表示這橫隊共有 35 個學生，也可以表示站在排尾的這個學生是第 35 號。所謂基數(shù)的意義，即被數(shù)的事物有“多少個”；所謂序數(shù)的意義，即最后被數(shù)的事物是“第幾個”。（如圖）數(shù)軸上的“ 5”，一方面表示的點是原點右邊的“第 5 個” 整點，這時“ 5”就是序數(shù)；另一方面，用“ 5”表示的點同原點之間的距離是“ 5 個”單位，這時“ 5”就是基數(shù)。 在擴大的自然數(shù)列里，只有零不是自然數(shù)，其他的數(shù)都是自然數(shù)。 （ 1）（ 5）（ 10）（ 50）（ 100）（ 500）（ 1000） 阿拉伯數(shù)字，是現(xiàn)在世界各國通用的數(shù)字，在我們的數(shù)學書上也使用阿拉伯數(shù)字。今天，在一些鐘表盤上還能見到它。在 我國河南省發(fā)現(xiàn)的殷墟甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字，說明早在三千多年前人們已經(jīng)能用一、二、三、??十、百、千、萬等記數(shù)，并且采用十進制，只是文字的形體和后來的有所不同。據(jù)文獻記載，算籌除竹籌外，還有木籌、鐵籌、骨籌、玉籌和牙籌，并且有盛裝算籌的算袋和算子筒?！庇盟慊I表示數(shù)目有縱、橫兩種方式： 表示一個多位數(shù)，是把各位數(shù)碼由高位到低位從左至右橫列。這與現(xiàn)今的十進制記數(shù)法基本一致。雖然我國的大寫數(shù)字是目前世界上最繁的數(shù)字，但是它的優(yōu)點是不易涂改，因此我國還把它用在會計工作中以及在重要票證或證件的編號上。例如：全班同學都到操場上體育課去了，教室里一個同學也