【正文】 淮安市 DMU8 ≥0 鹽城市 DMU9 ≥0 揚州市 DMU1 0 ≥0 鎮(zhèn)江市 DMU1 1 ≥0 泰州市 DMU1 2 ≥0 宿遷市 DMU1 3 ＝ 0 注：表 3 中的 “ ≥ ” 表示決策單元（城市）的 s+*和 s *向量分量 不全為零。 56 D M Uj0為 ED A 有效的經濟含義是：在這 n 個決策單元組成的系統(tǒng)中，在現(xiàn)有投入組合的基礎上，第 j0單元所獲得的產出 y0已達到最優(yōu)。 D 支出占 G DP 比例（％） x2 高新技術產業(yè)對工業(yè)產值增長的貢獻率（％） y1 每十萬人專利授權數（件 / 1 0 萬人） y2 第三產業(yè)增加值占 G DP 比重（％） y3 勞動生產率 （千元 / 人） y4 資源綜合利用指數 y5 區(qū)域創(chuàng)新經濟效率評價指標 產出指標 G DP 增長速度（％） y6 52 2 區(qū)域創(chuàng)新經濟效率評價模型 含有非阿基米德無窮小量 ε 的 C2R 模型 P ε： m ax μTy 0 ＝ V P s .t . ωTx j－ μTy j≥ 0 j＝ 1 ,…, n ωTx 0 =1 ω ≥ ε e? ， μ ≥ ε e 其中， e? ＝ ( 1,1 ,…, 1)T∈ Rm， e ＝ ( 1,1, …,1 )T∈ Rs 53 Pε的對偶規(guī)劃為 Dε： m i n[ θ － ε (e?Ts－+ eTs+)] ＝ VD . 01xsx ??????njjjλ 01ysy ?????njjjλ λj≥ 0 j＝ 1, …, n s－≥0 ， s+≥0 54 式中， VP、 VD為規(guī)劃目標值； ω 、λ 、 μ 為規(guī)劃決策變量； s+、 s－為松弛變量； x0、 y0為被評價單元已知的輸入輸出指標向量； ε 為非阿基米德無窮小量，一般取 ε ＝ 10－ 6； n為決策單元數。 49 ? 定理 6 設對偶規(guī)劃 (D)的最優(yōu)解為 λ0, s0, s0+, θ0，有： （ 1） θ0=1，當且僅當 DMUj0(x0, y0)是最大產出規(guī)模點； （ 2） 若 ，則評價單元的規(guī)模收益不變 ； （ 3）若 ，則評價單元的規(guī)模收益遞增； （ 4）若 ，則評價單元的規(guī)模收益遞減。則稱 (x,y)是有效生產活動。 ? 顯然， 在 C2R模型下， DEA有效的決策單元是技術有效的 。 ? 回顧 ： ? 定義 1 一般稱 T為所有可能的生產活動構成的 生產可能集 ： T =｛ (x, y)|產出 y能用輸入 x生產出來 ｝，有 (xj, yj)∈ T (j=1,2,…, n) 42 把 (D)還原為引入松弛變量之前 0 0 ???njjj θλ1 xx???njjj λ10yy),2,1(0 njλ j ???θV D ?m in(D) 還原 43 在 生產可能集 概念下，用模型 (D)評價 DMUj0的 DEA有效性，可以簡寫 ???njjj θλ1 xx???njjj λ10yy),2,1(0 njλ j ???θV D ?m in(D) ? ? ? ????? Tyx 00 ,m inθθD簡寫 44 ? 對偶規(guī)劃 的含義是： ? 當 (x0,y0)為一個生產活動時，考察相應于 (x0, y0)的DMUj0的有效性，實質上是在 (θx0, y0)∈ T條件下（即產出為 y0 ，投入為 θx0），追求以最小的投入獲得預期的產出，即求 θ的最小值。 ? 若企業(yè)利用 2種投入要素生產 1種產品，生產函數表示為： y = f(x1,x2) 40 ? 設有單輸入 x單輸出 y的生產函數 y = f(x) ? 它表示生產處于理想狀態(tài)，投入量為 x時能獲得 最大產出量 為 y。 0 0 36 定理 4 設 ε是非阿基米德無窮小，線性規(guī)劃 (Dε)的最優(yōu)解 λ0, s0, s0+, θ0有： 若 θ0=1，則評價單元 DMUj0為弱 DEA有效； 若 θ0=1，且 s0 = 0， s0+ = 0，則評價單元 DMUj0為DEA有效。 32 具有非阿基米德無窮小的 C2R模型 ? 根據定理 2，線性規(guī)劃（ D）判斷 DMUj0的 DEA有效性時，需檢查它的所有解 λ0, s0, s0+,θ0都滿足條件 VD =θ0=1， s0=0， s0+=0. ? 注意：如果只有 θ0=1，并非所有的 s0=0， s0+=0，不能保證 DMUj0的 DEA有效性。 ? DMUj0為 DEA有效 ，就是 DMUj0相對于其他評價單元，效率評價指標取得最優(yōu)值，在多指標投入和多指標產出情況下，取得最佳經濟效率。 例題附圖 DEA評價 C2R模型示意圖 0 0 (P) y0 0 26 27 評價系統(tǒng)的 DEA有效性 ? 定義 2 如果線性規(guī)劃 (P)的最優(yōu)解 ω0,μ0滿足條件 : Vp =μTy0 = 1 則稱評價單元 DMUj0為 弱 DEA有效。 ? 在約束條件 hj≤1 (j =1, 2, …, n)下， 選擇一組最優(yōu)權系數 u和 v, 使得 h0達到最大。 j=1, 2, …, p)。 11 （ 4）最小性 ? 生產可能集 T是滿足上述條件（ 1） ~（ 3）的所有集的交集。 7 2. DEA基本模型 基本概念 ? 在多投入和多產出的評價系統(tǒng)中，某種‘‘生產’’活動可以用一組投入指標值和產出指標值表示，評價單元 DMUj的一組投入指標值 xj和產出指標值 yj用向量表示為 xj = (x1j, x2j, …, xmj)T (1) yj = (y1j, y2j, …, ypj)T (2) 8 ? 定義 1 一般稱 T為所有可能的生產活動構成的生產可能集： T =｛ (x, y)|產出 y能用輸入 x生產出來 ｝，有 (xj, yj)∈ T (j=1,2,…, n) ? 一般假設生產可能集滿足下列 4條公理： (1)凸性； (2)錐性； (3)無效性； (4)最小性。 ? 1985年，查恩斯、庫伯、格拉尼 (B. Golany)、賽福德 (L. Seiford)和斯圖茨 (J. Stutz)提出了 C2GS2模型 。 ? 被評價對象是 相同類型的部門 、 企業(yè) 或者 同一部門（企業(yè)）的不同時期 的相對效率。 ? 假設各企業(yè)規(guī)模收益不變，同比例擴大產量到 120. 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 投入 1（ x1j） 19 1 1 2 10 5 8 20 投入 2（ x2j） 10 1 6 15 17 1 1 20 產出（ yj） 120 8 24 40 120 20 24 60 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 x1j 19 15 5 6 10 30 40 40 x2j 10 15 30 45 17 6 5 40 yj 120 120 120 120 120 120 120 120 3 x1j x2j 20 40 20 40 1 5 3 4 8 2 6 7 ? 把 8個生產點包圍在右上方最小的凸集中，形成的折線總體，稱為數據包絡曲線。試對其生產效率進行概略分析。它也是研究多投入多產出生產函數的有力工具。用這個 模型評價多投入多產出生產部門的規(guī)模有效性和技術有效性 ，都是卓有成效的。 DEA模型的特點之一 ： ? 應用客觀數據，避免了主觀性。 （ 3）無效性 ? 設 (x, y)∈ T， 若 x’≥x, 則 (x’, y)∈ T；若 y’≤y，則 (x, y’)∈ T. 此即，在原來生產活動的基礎上，增加投入或減少生產總是可能的。 13 DEA評價系統(tǒng)構成 權重 權重 14 圖中， xij—DMUj評價單元第 i種投入指標， xij＞ 0； yrj—DMUj評價單元第 r種產出指標的產出量， yrj＞ 0； vi—第 i種投入指標的權系數， vi≥0； ur—第 r種產出指標的權系數， ur≥0； (i=1, 2, …, m。 ? 假設第 j0個評價單元的投入向量和產出向量分別為 x0 = (x1j0, x2j0, …, xmj0)T y0 = (y1j0, y2j0, …, ypj0)T 效率指標 h0=hj0。請寫出 第一個評價單元 相對效率的 C2R模型。 ? 可見， DMUj0為 DEA弱有效是 DMUj0為 DEA有效的必要條件。 31 （ 2） DMUj0為 DEA有效的充分必要條件是：線性規(guī)劃（ D）的最優(yōu)解 VD =θ0=1，且對于每一個最優(yōu)解 λ0= (λ10,λ20,…, λn0)T, s0, s0+,θ0都滿足條件 s0=0，s0+=0. 定理 3 評價單元的最優(yōu)效率指標 Vp與投入指標 xij及產出指標 yrj的量綱選取無關。 35 利用 (Dε)模型，容易判斷評價單元的 DEA有效性。 ? 設有 n種生產要素投入 ， 則生產函數為： y = f(x1