【正文】 理 ]3[14 （ Dini 定理） 設(shè)每個(gè) ??xUn 在有窮閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)而且非頁，若 ? ?xUnn???1在 ? ?ba, 處處收斂于連續(xù)函數(shù) ??xS ，則 ? ?xUnn???1在閉區(qū)間 ? ?ba, 上一致收斂。 定理 ]5[12 （ De Lickley 判別法 ） 若級(jí)數(shù) ? ? ? ?xbxannn???1滿足下面的 條件： 1) 函數(shù)列 ??? ?xan 對(duì)每個(gè) Ix? 是單調(diào)的，且在區(qū)間 I 一致收斂于 0 ； 2) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nn b???1的部分和函數(shù)列 ??? ?xBn 在區(qū)間 I 一致有界。 證明：只需要證明它的通項(xiàng) ? ? nxn nexU ?? 在 ? ???,0 上非一致收斂于 0，即 01?? ， ??? NN ， Nn ?? 0 ， ? ?????? ,0100 nx，有 11 10100000 ??????????? ?? enennU nnn。 定理 ]2[9 設(shè) ? ?xUnn???1在點(diǎn)集上一致收斂于 ??xS ， ??xf 在 S 上有界，則 ? ? ? ?xUxfnn???1在 X 上一致收斂于 ? ?? ?xsxf 。 注：逐項(xiàng)求導(dǎo)的定理中的條件，只是充分條件，在條件不滿足時(shí)，也可以利用導(dǎo)數(shù)的定義證明和函數(shù)的可微性。 這是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一般性質(zhì)，下面本文給出和函數(shù)的分析性質(zhì)。再根據(jù)本推論， ???1n 2211xn? 在? ?1,0 內(nèi)不一致收斂。 定理 ]5[3 ???1n??xUn 在點(diǎn)集 X 上一致收斂的充分必要條件是對(duì)任意 0?? ，都存在自然數(shù) N ， 當(dāng) Nn? 和 Xx? 是，對(duì)任意自然數(shù) p ，都有 ? ? ? ?xUxU knkkpnk 11 ??? ?? ? = ? ?xUkpnnk????1 = ? ? ????? xU knpk 1 成立。 suplim??n ? ? ? rxrxxx knk ??????? :11 ? = suplim??n ? ?rxrxn ???? :1 = 1lim??? nn r =0， suplim??n ? ? ? ?10:11 ?????? xxxx knk = suplim??n ? ?10:1 ??? xx n = 1lim??n =1 定理 ]5[2 ???1n??xUn 在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 ??xS 的充分必要條件是對(duì)任意數(shù)列? ? ? ??,2,1: ?? nXxx nn ，都有 ??nlim ? ? ? ? 01 ???? nnknk xSxU。 若和函數(shù) ??xS 在區(qū)間 I 的圖像是一條連續(xù)的曲線，那么函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n??xUn 在區(qū)間 I 一致收斂于和函數(shù)的幾何意義是，無論給定的以曲線 ??xS ?? 與 ??xS ?? 為邊界的帶形區(qū)域怎樣窄，總存在正整數(shù) N ， Nn?? ，任意一個(gè)部分和 ??xSn 的圖像都位于這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi)。 由定義我們可以知道，若函數(shù)級(jí)數(shù) ???1n??xUn 在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 ??xS ，則在 X上收斂于 ??xS 。 定理 ]10[14 （ Dini 定理） 設(shè) ? ?ba, 是一有界閉區(qū)間， ? ? ??? RbafNn n ,:, 連續(xù)函數(shù)且滿足下列條件： 1）函數(shù)序列 ??? ?xfn 是單調(diào)的，即 Nn? ， ? ? ? ?xfxf nn 1?? ， ? ? ? ?xfxf nn 1?? ； 2）函數(shù)序列 ??? ?xfn 在 ? ?ba, 上 ? ?ba, 逐點(diǎn)收斂于一連續(xù)函數(shù) ? ? Rbaf ?,: ， 那么，函數(shù)序列 ??? ?xfn 在 ? ?ba, 是一致收斂于函數(shù)。 注（ 前面介紹的函數(shù)列的一致收斂性的充分必要條件、性質(zhì)，都能夠作為判定函數(shù)列的一致收 斂性的方法，有的可以判定函數(shù)列的一致收斂性，有的可以判定函數(shù)列的非一 致收斂性，有的兩種都可以判斷。當(dāng) Nn? ，對(duì)任? ? X???, ， ??xfn 均在 ? ???, 上可積，那么 ? ? ? ?dxxfdxxf nn ?? ??? ???? lim ， 即 ? ? ? ?dxxfdxxf nnnn ?? ???? ? ???? l iml im 說明積分號(hào)與極限號(hào)可以交換次序。 在定理當(dāng)中的 ??xf 在 X 上有界，以及存在 0?? ，使對(duì)任 意 Xx? ，都有 ? ? ??xg 成立，全都是不可缺少的。并且，本定理當(dāng)中的 ??xg 在 X 上有界，也是不能缺少的。 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì) 定理 ]2[4 設(shè) ??? ?xfn 與 ??? ?xgn 在點(diǎn)集 X 上分別一致收斂于 ??xf 與 ??xg ，則 ? ? ? ?? ?xgxf nn ? 在 X上一致收斂于 ? ? ? ?xgxf ? 。因此，當(dāng) NnNm ?? , 和 Xx? 時(shí)，恒有 ? ? ? ? 2??? xfxfm ? ? ? ? 2??? xfxfn 成立，所以，恒有 ? ? ? ? ??? xfxf nm 成立。于是， 對(duì)任意自然數(shù) k，均有 ? ? ? ? 0??? kkk nnn xfxf 成立。 證明：充分性 0??? ， ? 自然數(shù) N ,當(dāng) Nn? 時(shí)，恒有 ? ? ? ? ?? Xxxfxf n ?? :s u p ?? 成立，故對(duì)于任何的 Xx? ，都有 ? ? ? ? ??? xfxfn 成立，根據(jù)定義， ???? xfn 在 X 上一致收斂于 ??xf 。 函數(shù)序列 ???? xfn 在 ? ?ba, 上一致收斂于 ??xf ，從幾何上來講：對(duì)任給的 0?? ，存在自然數(shù) N，使得 nN 時(shí)，曲線 ? ?xfy n? 都落在以曲線 ? ? ??? xfy 與 ? ? ??? xfy 為邊 （也就是以曲線 ? ?xfy? 為“中心線”，寬度為 ?2 ） 的帶形區(qū)域內(nèi)。 第 1章 函數(shù)列的一致收斂性 函數(shù)列的一致收斂性 ， 表現(xiàn)了函數(shù)列 在整個(gè)點(diǎn)集上的整體性質(zhì)。 同樣的，我們討論含參變量廣義積分的分析性質(zhì)，一致收斂也發(fā)揮著重要作用。所以，研究函數(shù)的解析性質(zhì)可以利用函數(shù)列的解析性質(zhì)，而函數(shù)列的一致收斂性是我們學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》中的一個(gè)比較精細(xì)的概念，對(duì)于初學(xué)者，本文給出了詳細(xì)的解析。 參考文獻(xiàn) ...................................................................................................錯(cuò)誤 !未定義書簽。 第 1 章 函數(shù)列的一致收斂性 ...............................................................錯(cuò)誤 !未定義書簽。 由此我們可以看出，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，合理恰當(dāng)?shù)睦}會(huì) 更好 的展現(xiàn)出定理。 齊 齊 哈 爾 大 學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（ 論文 ） 題 目 一致收斂性及應(yīng)用 學(xué) 院 理學(xué)院 專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 數(shù)學(xué) 092 班 學(xué)生姓名 黃曉杰 指導(dǎo)教師 鄭大釗 成 績 2021 年 6 月 20 日 摘要 對(duì)函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂 性的研究，是為了解決函數(shù)列的極限函數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)。通過例題，說明了一致收斂是和函數(shù)的充分分析性質(zhì)，而不是必要條件。 緒論 ...........................................................................................................錯(cuò)誤 !未定義書簽。 2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性定理 一致收斂的充分必要條件 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的性質(zhì) 一致收斂判別法 第 3 章 含參變量廣義積分的一致收斂性 含參變量廣義積分的一致收斂性定義 含參變量廣義積分的一致收斂性定 理 一致