【正文】 在此，感謝老師、同學(xué)、朋友的幫助。雖然我的論文初稿還有很多欠缺的地方，鄭大釗老師仍細(xì)心幫助我改正，對(duì)于不懂的知識(shí)也是耐心的指導(dǎo)。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參變量廣義積分之間的橋梁是 Heine 定理，此外，在判別法上也有很多相同的判別法。 定理 8 含參變量廣義積分 ? ?dyyxf???? ,在區(qū)間 I 上一致收斂 ????? nA 和 ? ? Ixn ?? ，都有 ? ? ? ? 0,lim ????? nA nn xIdyyxn? 。 定理 ]10[6 設(shè) （ 1） 存在正常數(shù) M ，對(duì)任意 Xx? ， ??A ，有 ? ? MdyyxfA ??? , ； （ 2）對(duì)任意固定的 Xx? ， ? ?yxg , 是 y 的單調(diào)函數(shù)， ???y 時(shí)， ? ?yxg , 對(duì) Xx? 有? ? ??yxg , ，則積分 ? ? ? ?dyyxgyxf???? , 對(duì) Xx? 一致收斂。 解 2 由于 dyex ee ba xybxax ? ??? ?? ， 所以 dxdyedxx ee ba xybxax ? ?? ?? ??? ?? ???????? 00 = dydxeba xy? ? ???????? ?0 = dyyba?1 =abln? 運(yùn)用此方法需滿足兩個(gè)條件： 1） xye? 對(duì)任意 x ， y 連續(xù)； 2） ? ?abbyaxee axxy ?????? ?? 不妨設(shè),0,0，積分 ??? ??0 dxe xy對(duì) ? ?bay ,? 一致收斂。 例 1 求 ? ?0,00 ???? ?? ?? badxx ee bxax 。 根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性定義和定理，我們總結(jié)出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性與非一致收斂性的區(qū)別 （表 21） ： 表 21 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ? ?xUnn???1在區(qū)間 I 一致收斂于 ??xS IxNnNN ???????? ? ,0? 有 ? ? ? ? ??? xSxS n 非一致收斂于 ??xS ,0 000 IxNnNN ???????? ?? 有 ? ? ? ? 0000 ??? xSxS n 第 3 章 含參變量廣義積分的一致收斂性 定義 ]6[1 若 ? ? ? ?dyyxfAxF A??? ,當(dāng) ???A 時(shí)，對(duì) Xx? 一致收斂，則稱 積分 ? ?dyyxf???? , 對(duì) Xx? 一致收斂。 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ? ? ? ?xbxannn???1在區(qū)間 I 一致收斂。 于是，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) nxn ne????1在 ? ???,0 上非一致收斂。 一致收斂判別法 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，通常有以下幾種方法：利用定義；利用 Cauchy 準(zhǔn)則；利用常用的幾種判別法 ；利用一致有界與等度連續(xù)等。 c 逐項(xiàng)積分與積分號(hào)下取極限 定理 ]2[7 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n??xUn 在 ? ?ba, 一致收斂于和函數(shù) ??xS ，且 ??? Nn ， ??xUn 在 ? ?ba,連續(xù)，則和函數(shù) ??xS 在 ? ?ba, 可積，且 ?ba ??xS dx ? ???1n ?ba ??xUn dx 。 a 和函數(shù)的連續(xù)性 定理 ]1[6 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n??xUn 在區(qū)間 I 一致收斂于和函數(shù) ??xS ，且 ??? Nn ， ??xUn 在區(qū)間 I 連續(xù)，則和函數(shù) ??xS 在區(qū)間 I 也連續(xù)。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 一致收斂的性質(zhì) 定理 ]5[4 設(shè)級(jí)數(shù) ???1n??xUn 在 0x 的某個(gè)空心領(lǐng)域 ? ?00 xU ? ?????? 00: xxx 里一致收斂，0limxx???xUn nC? ，則 ???1nnC 收斂，且 0limxx????1n??xUn ? ???1n 0limxx???xUn ? ???1nnC 。 推論：設(shè) ???1n??xUn 在點(diǎn)集 X 上一直收斂，則 ??? ?xUn 在 X 上一致收斂于 0. 例 3 試讓 ???1n 2211xn? 在 ? ?1,0 內(nèi)不一致收斂。 例 2 試證 ???1n ? ?xnn 11? 在 ? ?1,0 內(nèi)不一致收斂。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性定理 一致收斂的充分必要條件 定理 ]1[ ???1n??xUn 在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 ??xS 的充分必要條件是 ? ? ? ? ???? ?????? ? 0:s upl i m 1 XxxSxU knkn 。還有，若級(jí)數(shù) ???1n??xUn 收斂于 ??xS ，則當(dāng)把它看作是函數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，在 任意點(diǎn)集 X 上都一致收斂于 ??xS 。 在之后的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性與含參變量廣義積分的一致收斂性的判別法當(dāng)中，它也是一個(gè)很重要的定理。） 一致收斂的判別法 在本節(jié)當(dāng)中，判別法只是對(duì)函數(shù)列的一致收斂性的補(bǔ)充。 定理 ]4[11 設(shè)存在自然數(shù) N 。 定理 ]5[9 設(shè)存在 ? ?0?? ，使 ? ?? ?xf n 在 ? ????? axx 0: 內(nèi)一致收斂于 ??xf ，又存在自然數(shù) N ，使對(duì)任意 Nn? ，都有 ? ? nnax Axf ??lim ， 則 ? ? nnax Axf ??? ? limlim ， 即 ? ? ? ?xflinxf naxnnnax ?????? ? limlimlim ， 說(shuō)明極限號(hào)ax?lim與??nlim可以交換次序。 定理 ]5[7 設(shè) ??? ?xfn 在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 0，又 ??? ?xgn 在 X 上往后一致有界，則函數(shù)列? ? ? ?? ?xgxf nn 在 X 上一致收斂于 0. 定理 ]5[8 設(shè) ??? ?xfn 與 ??? ?xgn 在 X 上分別一致收斂于 ??xf 與 ??xg ，且 ??xf 在 X 上有界，又存在 0?? ，使對(duì)任意 Xx? ，都有 ? ? ??xg 成立，則 ? ?? ??????? xg xfnn 在 X 上一致收斂于 ????xgxf ，且 ????xgxf 在 X 上有界。 定理 ]3[5 設(shè) ??? ?xfn 與 ??? ?xgn 在點(diǎn)集上分別一致收斂于 ??xf 與 ??xg ，且 ? ?? ?xf n 與 ??? ?xgn 均在X 上有界，則 ? ? ? ?? ?xgxf nn 在 X 上一致收斂于 ? ? ? ?xgxf ，且 ? ? ? ?xgxf 在 X 上有界。 再證充分性 對(duì)于任意 0?? ，由已知，存在自然數(shù) N ，當(dāng) NnNm ?? , 時(shí)，恒有 ? ? ? ? 2??? xfxf nm 成立。由此可以知道， ? ? ? ? ?kkk nnn xfxf ? ?不收斂于 0， 而它是 ? ? ? ? ? ?nnn xfxf ? 的子列，根據(jù)數(shù)列與其子列的關(guān)系定理， ? ? ? ? ? ?nnn xfxf ? 不收斂于 0，這與已知相矛盾。 必要性 0??? ，由于 ???? xfn 在 X 上一致收斂于 ??xf ，故存在自然數(shù) N ,當(dāng) Nn? 時(shí)，Xx?? ， 都有 ? ? ? ?xfxfn ? 2?? 成立，因此有 sup ? ? ? ? ?xfxfn ? Xx?: ? ????2 成立，依據(jù)定義 ??nlim sup ? ? ? ? ?xfxfn ?Xx?: ? 0? 。 定義 ]1[3 設(shè)函數(shù)列 ???? xfn 在區(qū)間 I 收斂于極限函數(shù) ??xf ，若 0??? ， ??? NN ， Nn?? ，Ix?? ，有 ? ? ? ? ??? xfxfn 。 函數(shù)列的 一致收斂性 定義 定義 ]1[ 設(shè)函 數(shù)列 ???? xfn 與函數(shù) ??xf 均定義在點(diǎn)集 X 上，若對(duì) ? ? 0，都存在 自然數(shù) N 和x?X，恒有 ? ? ? ? ??? xfxfn 成立，則稱函數(shù)列 ???? xfn 在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 ??xf 。 在 數(shù)學(xué)分析發(fā)展迅速的今天，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)教育工作者開(kāi)始研究一致收斂性，并且取得了豐碩的成果。 一致收斂是保證和函數(shù)連續(xù)的重要條件，它也是保證和函數(shù)可積和可微的 重要條件。 致謝 ..