【正文】 學》單元課程設計 3 課 題 極限（一） 授課班級 略 上課時間 2學時 課型 理論課 教學目標 知識目標 ：了解函 數(shù)極限的描述性定義 能力目標 ：具有用極限思想分析問題的意識，感知極限與生活的緊密聯(lián)系 情感目標 ：通過實際案例引導學生將數(shù)學思想融入實際生活中 教學重點與難點 重點 、函數(shù)的極限概念和性質(zhì)； ； 難點 熟練練判斷分段函數(shù)在分段點處極限是否存在 . 任務描述 任務一： 會求分段函數(shù)在分界點的極限 教學方法 多媒體教學，案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討。 能力目標 ：能熟練判函數(shù)關系是否為初等函數(shù)，感知數(shù)學知識的邏輯性 情感目標 ：通過實際案例激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性 教學重點與難點 重點 理解初等函數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的類型 難點 分析復合函數(shù)的結(jié)構，建立實際問題的數(shù)學模型 任務描述 任務一： 了解 學習 高等數(shù)學的意義、方法、內(nèi)容，學習的要求 任務二： 通過案例分析，學會區(qū)分函數(shù)類型 . 教學方法 案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討，多媒體教學 教學參考資料 《高等數(shù)學》，侯風波主編，高等教育出版社， 2021. 教學過程設計 教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 設計意圖 1引言 任務 1： 學習 從數(shù)學的角度看待世間萬物之變 化 . 認識應用高等數(shù)學的重要性 , 培養(yǎng)濃厚的學習興趣 2案例引入 任務 2：通過案例分析，認識復合函數(shù) . 案例 :收入和價格變化和銷量 變化之關系 . 從學生實際生活中遇到的問題入手，引導學生分析問題引入概念，這樣能激發(fā)學生的學習興趣。 案例 1氣溫與時間 案例 2郵件付費 從學生實際生活中遇到的問題入手，引導學生分析問題引入概念，這樣能激發(fā)學生的學習興趣。 教學方法 案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討 ，多媒體教學 教學參考資料 《高等數(shù)學》，侯風波主編，高等教育出版社， 2021. 教學過程設計 教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 設計意圖 1引言 任務 1： 學習高等數(shù)學的意義、方法、內(nèi)容，學 習的要求 認識應用高等數(shù)學的重要性 , 培養(yǎng)濃厚的學習興趣 2案例引入 任務 2： 通過案例分析，學會建立簡單問題的函數(shù)關系式。 （奇偶性、周期性、單調(diào)性和有界性）的定義及其幾何特 鞏固知識，明確要求，整理知識結(jié)構與思想方法，培養(yǎng)學生的組 織能力，形成完整的知識體系 . 課本習題、 教學案例 結(jié)合本專業(yè)特點，達到理解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學生面對實際問題，運用所學知識，解決問題的應用意識 . 《高等數(shù)學》單元課程設計 2 課 題 函數(shù) 授課班級 略 上課時間 2學時 課型 理論課 教學目標 知識目標 ：理解復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念、掌握初等函數(shù)的定義 。這常量取決于預定的排水量 .設截面的周長為 s ，底寬為 x ，試建立 s 與 x 的函數(shù)模型 . 鞏固知識 ,形成技能 ,反饋矯正 . 結(jié) 主要知識點： 1. 學習高等數(shù)學的意義、方法、內(nèi)容 、要求 ，函數(shù)的表示法，基本初等函數(shù)的圖形，初等函數(shù)的函數(shù)值、定義域、值域的確定，復合函數(shù)的分解。 教學參考資料 《高等數(shù)學》，侯風波主編，高等教育出版社， 2021. 教學過程設計 教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 入 任務一：某商場推出某種電子產(chǎn)品時，在短期內(nèi)銷量會迅速增加，然后下降，其函數(shù)關系為 4003002 ?? t ty，請你對該產(chǎn)品的長期銷售作出預測 分析： 00104001300l i m400300l i ml i m22 ??????? ?????????ttttyttt 所以購買次電子產(chǎn)品的人將越來越少，轉(zhuǎn)而買新的電子產(chǎn)品 限的運算法則 極限四則運算法則 由極限定義來求極限是不可 取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。 推論 1： )(lim)](lim [ xfcxcf ? （ c 為常數(shù)）。 分析：定理和推論只要求掌握它的意義和運用，對證明不作要求 任務二：求下列例題中的極限 【例 1】 baxbxabaxbaxxxxxxxxx ??????? ???? 00000 l i ml i ml i m)(l i m。 【例 3】 31151105(l i m 221 ????????? xxx。 解：當 1?x 時，分子、分母均趨于 0，因為 1?x ，約去公因子 )1( ?x ， 所以 5332 2lim32 2lim1221 ?????? ???? xxxx xxxx。 解：當 2?x 時， 02??x ，故不能直接用定理 5，又 42?x ，考慮：04 222lim 22 ????? xxx ， ????? 2lim22 xxx。 5，先變形： mmnnmnxmmmnnnxxbxbbxaxaaxbxbxb axaxa??????????? ??? ??????? ????????1010110110 l i ml i m ?????????????????????????????????????時當時當時當mnbamnbamnba00000000000001000000???????????? 【例 10】求 )21(lim222 nnnnn ????? ??。某儲戶將 1000 美元存入銀行，年利率為 5%。 說明： （ 1）此極限中的 x 一定要用弧度作單位。 【例 4】21)22s i n(l i m21)2(s i n2l i mc os1l i m 2022020 ???????? xxxxxxxxx。 通過實驗結(jié)果可以知道，只要年利率一定，不管銀行采取多么小時間間隔的付息方式，都不會導致付息的無限增多的結(jié)果 任務 2：求下列極限 【例 1】 22222 ])211(l i m[])211[(l i m)21(l i m exxxxxxxxx ?????? ?????? 【例 2】 ezx zzxzxx ???? ???? )1(lim)1(lim110 【例 3】eexxxxx xxxxxxx 11)11(l i m])11(l i m[)11(])11[(l i m)11(l i m 1111 ????????????? ??????????????【例 4】 eennnnn nxnxnx111)2111()2111(l i m)12 21(l i m)12 12(l i m 212121 ?????????????? ????????? 習 1. 求 下 列 極 限 ： （ 強 調(diào) 函 數(shù) 的 恒 等 變 換 及 變 量 替 換 ） （ 1） 0tanlimxxx?； （ 2） 20 cos1lim x xx ??； （ 3） xxx 35sinlim0?； （ 4） x xxxsin3sinlim0??。他不僅是函數(shù)研究的重要內(nèi)容，也為計算極限開辟了新途徑。 教學參考資料 《高等數(shù)學》，侯風波主編，高等教育出版社， 2021. 教學過程設計 教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 1案例分析導入課題 前面我們了解了函數(shù)在一點連續(xù)的情況 ,通過例題看 到了優(yōu)勢函數(shù)在某處是不連續(xù)的情況 ,如練習題 .此時我們稱函數(shù)為間斷 . 復習內(nèi)容 如 : 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x 1 2 由上圖可看出： ? ? 11lim)(lim00 ???? ?? ?? xxf xx， 0lim)(lim 300 ?? ?? ?? xxf xx． 雖然當 0?x 時的左、右極限都存在，但當 0?x 時，函數(shù) )(xf 并不趨近于某一個確定的常數(shù) ，因而當 0?x 時 )(xf 的極限不存在，故函數(shù) )(xf 在點 0?x 不連續(xù)． 稱此處函數(shù)間斷 . 點 若函數(shù) )(xf 在點 0x 處不連續(xù)，則稱點 0x 為函數(shù) )(xf 的間斷點． 1． 間斷點的分類 設 0x 為 )(xf 的一個間斷點，如果當 0xx? 時， )(xf 的左極限、右極限都存在，則稱 0x 為 )(xf 的第一類間斷點；否則，稱 0x 為 )(xf 的第二類間斷點． 對于第一類間斷點有以下兩種情形： ① 當 )(lim0 xfxx ??與 )(lim0 xfxx ??都存在，但不相等時，稱 0x 為 )(xf 的跳躍間斷點； ② 當 )(lim0 xfxx?存在，但極限不等于 )(0xf 時，稱 0x 為 )(xf 的可去間斷 . 例 4 討論函數(shù) ?????? ,1sin ,)(xxxxf 00??xx， 在點 0?x 處的連續(xù)性． 解 由于函數(shù)在分段點 0?x 處兩邊的表達式不同，因此，一般要考慮在分段點 0?x 處的左極限與右極限． 因而有 01s i nl i m)(l i m,0l i m)(l i m0000 ???? ???? ???? xxxfxxf xxxx， 而 ,0)0( ?f 即 0)0()(l im)(l im 00 ??? ?? ?? fxfxf xx ， 由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知 )(xf 在 0?x 處連續(xù)． 例 5 計算下列極限： ? ?xex lnarcsinlim? 解 因為 ? ?xlnarcsin 是初等函數(shù)，且 ex? 是它的定義區(qū)間內(nèi)的一點，由定理 3，有 ? ? ? ? 21a rc s i nlna rc s i nlna rc s i nl i m ????? exex． 例 6 計算下列極限： xxx11lim0??? 。 課堂 練習：習題二： 5,6,7,8 練習 作業(yè) 課本習題 2： 9， 10， 11， 12 《高等數(shù)學》單元課程設計 9 課 題 導數(shù)的概念 授課班級 略 上課時間 2學時 課型 理論課 教學目標 知識目標 ：理解導數(shù)和微分的概念、了解導數(shù)的幾何意義，知道函數(shù)可導與連續(xù)之間的關系 能力目標 ：能用導數(shù)描述生活和建筑工程專業(yè)中與變化率相關的問題。知 )(tSS? . 物體在 0t 到 0t + t? 這段時間內(nèi) 的平均速度： 00( ) ( )s t t s tsvtt? ? ?????? t? 0t 1t t 000 00 ( ) ( )( ) l im l imtt s t t s tsvt tt? ? ? ? ? ? ?????? 任務 2： 切線問題 切線的定義：設有曲線 C及 C上一點 M （如圖）在點 M 外另取 C上一點 N ，作割線 MN ，當點 N 沿曲線 C趨于點 M 時．如果割線 MN 繞點 M 旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT ，直線 MT 就稱為曲線 C在點 M 處的切線．這里極限位置的 含義是：只要弦長||MN 趨于零， NMT? 也趨于零． 設曲線 C為函數(shù) )(xfy? 的圖形，設 M （ ), 00 yx 是曲線上一個點，則)( 00 xfy ? ．根據(jù)上述切線的定義，要定出曲線 C在點 M處的切線，只要定出切線的斜率就行了．為此在 C上于點 M 外另取一點 ),( yxN ，于是割線 MN 和斜率為