【正文】 節(jié) 連續(xù)時間鞅 一、定義 設(shè) 表示觀測由時間 t為連續(xù)時間隨機過程， 表示隨時間流逝可得到的一系列信息集 信息集滿足 ? ?],0[, ??tS t? ?],0[, ??tI t若 Tts ???Tts III ??則稱集合 ? ?],0[, TtI t ? 為過濾 如果 的值在每一 時包含于信息集 中， tS 0?t tI? ?],0[, ??tS t ? ?],0[, ??tI t則稱 適應(yīng)于 即表示 給出信息集 ，就會知道價值 tI tS首頁 使用不同的信息集 就會產(chǎn)生順序 的不同的預(yù)期。對任意隨機序列 }{ nY ，有???????? knknYYnn 01),(0}{ ????首頁 令 例 5 即 為首次進(jìn)入 A的時刻， 則 是停時。用數(shù)學(xué)歸納法 首頁 性質(zhì) 6 上鞅 }{nX 下鞅 }{nXnk EXEXEX ??0nk ??0nk ??0證 由性質(zhì) 5得 kkn XYYXE ?),|( 0 ? 上鞅 }{nXkkn EXYYXEE ?)],|([ 0 ??nEXnk EXEXEX ??0首頁 上鞅 性質(zhì) 7 、 上鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX ? 下鞅 、 下鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX ?證 對 nm ? 有)],|)[( 0 nmm YYYXE ??),|( 0 nm YYXE ?? ),|( 0 nm YYYE ?? 上鞅 }{nX }{ nY nnYX ??首頁 上鞅 性質(zhì) 8 上鞅 下鞅 }{ nX}{ nY證 }{ nn YX ? 下鞅 下鞅 上鞅 }{ nX}{ nY}{ nn YX ?由性質(zhì) 4及性質(zhì) 7立即可得結(jié)果 首頁 性質(zhì) 9 鞅 }{nX 下鞅 證明 |}{| nX對 nm ? 有),||(| 0 nm YYXE ?|),|(| 0 nm YYXE ?? || nX?例 3 設(shè) { ， }是在直線上整數(shù)點上的貝努利隨機游動，即它是一個以 為狀態(tài)空間的時齊的馬爾可夫鏈，它的轉(zhuǎn)移矩陣 滿足 nX ?,2,1,0?n},2,1,0{ ????I)( ijpP ?首頁 其中 則 （ 1） ????????????1||,01,1,ijijqijpp iiijpp i ? ， qq i ? ， 10 ?? p ， 1?? qp{ nX ， ?,2,1,0?n } 是下鞅的充要條件是 qp ?（ 2） （ 3） { nX ， ?,2,1,0?n } 是上鞅的充要條件是 qp ?{ nX ， ?,2,1,0?n } 是鞅的充要條件是 qp ?首頁 證 設(shè) 其中 所以 故 nn XX ??? ????? ?2100X 表示初始位置{ n? } 與 0X 獨立{ n? ， ?,2,1,0?n } 相互獨立，且具有同分布：pP n ?? )1(? qPn ??? )1(? 1?n由 nX 的定義知，1?n? 與 { 0X ， 1X ，?， nX } 獨立),|( 011 XXXXE nnn ???),|( 011 XXXE nnn ???? ? ),|( 01 XXXXE nnn ???)( 1?? nE ? nX? qp ??nX?),|( 011 XXXXE nnn ??? nX?qp ??下鞅 0 0 =0 上鞅 鞅 首頁 三、停時 定義 5 設(shè) }{ nY （ ?,2,1,0?n ）是一隨機序列，? 是取值 0 ， 1 ，?， ? 的一個隨機變量，若對任意 0?n ，事件 }{ n?? 由 nYY ,0 ? 決定，意即只從 nYY ,0 ? 的知識判別 n?? 與否，也即 ),( 0}{}{ nnn YY ??? ? ?? ??則稱 ? 關(guān)于 }{ nY 為停時，簡稱 為停時 ?首頁 停時的直觀背景解釋： 設(shè)想賭徒在前 n+1次賭博的賭本為 ，那么停時就是這個賭徒?jīng)Q定何時停止賭博的策略。 證 性質(zhì) 2 即 證 }{ nc 其中 cc n ?),|( 01 nn YYcE ?? ),|( 0 nYYcE ?? ncc ??若 }{ nX 為鞅，則對任意 0?n ，有0EXEX n ?nX 的數(shù)學(xué)期望 nEX 是一常數(shù) 0EX)],|([ 011 nnn YYXEEEX ??? ? nEX?依次遞推，可得 01 EXEXEX nn ??? ? ?首頁 例 1 令 且對任意 有 證 由條件期望的性質(zhì)可得 設(shè) }{ nY （ ?,2,1,0?n ）為獨立隨機序列，00 ?Yknkn YX ???0?? ),|( 01 nn YYXE ? ],|)[( 01 nnn YYYXE ???),|( 0 nn YYXE ?? ),|( 01 nn YYYE ???1??? nn EYX nX?0?nEY0?n則 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅??? ??||||0knkn YEXE且 所以 }{nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅首頁 例 2 令 證 （ 1） 設(shè) }{ nY 是任一隨機序列，X 為滿足 ??|| XE 的任一隨機變量),|( 0 nn YYXEX ?? 0?n則 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅|),|(||| 0 nn YYXEEXE ??)],||(|[ 0 nYYXEE ?? ??? || XE（ 2） ),|(01 nn YYXE ??],|),|([ 010 nn YYYYXEE ?? ??),|( 0 nYYXE ?? nX?所以 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅。 而鞅 則表示這種賭博使第 n+1年的平均賭本仍為第 n年的賭本，這種賭博稱為公平賭博。 )(tX 在實際應(yīng)用中， 的表達(dá)形式常常不能給出， 因此下面介紹第二種方法。)]([ tXE )]ωc os ([ UtaE ??dxxta ?? 2 1)ωc o s (20 ?? ? 0?)]()([ tXtXE ??? ???? ? ??20 2 2 1)ωc o s (])(ωc o s [ dxxtxta?ωco s22a?首頁 故有 0??? )(tX ?? ?? ???TT dtUtaTT )ωc os (21l . i . mTTUaT ωωs inc o sl. i. m??????? )()( tXtX ??? ???? ??? T T dtUtUtaTT )ωc o s (])(ωc o s [22 1l . i . m ??ωco s22a?)]([)( tXEtX ???)]()([)()( tXtXEtXtX ?? ?????即此過程是遍歷的。 首頁 則 稱為正交增量過程。 )(tX注 平穩(wěn)正態(tài)過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。 設(shè) { )( tX , Tt ? } ， { )( tY , Tt ? } 是兩個平穩(wěn)過程，如果對于任意的 Tt ??, ，有)()]()([ ?? XYBtYtXE ??則稱 )( tX 與 )( tY?首頁 證 性質(zhì) 5 性質(zhì) 6 證 性質(zhì) 7 證 )0()0( YXXY BB ?)0(XYB )]()([ tYtXE? )]()([ tXtYE? )0(YXB?)()( ?? ?? YXXY BB)]()([)( tYtXEB XY ?? ??)]()([ ??? ???? tXtYE )( ??? YXB)0()0(|)(| 2 YXXY BBB ??2|)(| ?XYB 2|)]()([| tYtXE ???22 |)(||)(| tYEtXE ??? )0()0(YX BB?首頁 證 性質(zhì) 8 由性質(zhì) 7得 而有兩個數(shù)的幾何平均值不超過它們的算術(shù)平均值得證 性質(zhì) 9 則和 )0()0(|)(|2 YXXY BBB ???)0()0(|)(| YXXY BBB ??))0()0((21)0()0( YXYX BBBB ??若平穩(wěn)過程 )( tX 和 )( tY 是平穩(wěn)相關(guān)，?)( tZ )( tX + )( tY也是平穩(wěn)過程。 首頁 試討論隨機序列 的平穩(wěn)性。 首頁 因為 均值函數(shù) 協(xié)方差函數(shù) 即表示協(xié)方差函數(shù)僅依賴于 ，而與 t無關(guān)，與相關(guān)函數(shù)相同。 若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。第五章 平穩(wěn)過程 第一節(jié) 基本概念 第二節(jié) 平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 第三節(jié) 平穩(wěn)正態(tài)過程與正交增量過程 第四節(jié) 遍歷性定理 第一節(jié) 基本概念 一、嚴(yán)平穩(wěn)過程 定義 1 設(shè)隨機過程 { )( tX , Tt ? } ，若對任意 n，任意 Tttt n ?,21 ?， nttt ??? ?21?當(dāng) ??1t ， ??2t ，?， Tt n ?? ? 時，有),( 2121 nn xxxtttF ?? ；)})(,)(,({ 2211 nn xtXxtXxtXP ???? ?）)})(,)(,({ 2211 nn xtXxtXxtXP ??????? ??? ?）),( 2121 nn xxxtttF ?? ；??? ????則 稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程 )(tX 首頁 二、嚴(yán)平穩(wěn)過程的特點 1 二維概率密度 僅與時間差 有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。 平穩(wěn)時間序列 因為嚴(yán)平穩(wěn)