【正文】 某隧道口的橫截面是拋物線形，已知路寬 AB 為 6米，最高點離地面的距離 OC 為5 米．以最高點 O 為坐標原點，拋物線的對稱軸為 y 軸， 1 米為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，求 :（ 1）以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，并寫出 x 的取值范圍；（ 2）有一輛寬 ，高 1米的農用貨車 （貨物最高處與地面 AB 的距離）能否通過此隧道？ 答案 解：（ 1）設所求函數(shù)的解析式為 2axy? ． 由題意，得 函數(shù)圖象經過點 B（ 3， 5）， ∴ 5=9a． ∴ 95??a ． ∴所求的二次函數(shù)的解析式為 295xy ?? ． x 的取值范圍是 33 ??? x ． （ 2）當車寬 米時，此時 CN 為 米，對應 2 ???????y ， EN 長為 4549 ，車高 45451? 米，∵ 45454549? ， ∴農用貨車能夠通過此隧道 . 5． 某商店經銷一種銷售成本為每千克 40 元的水產品，據市場分析，按每千克 50元銷售，一個月能售出 500 千克；若銷售單價每漲 1元，月銷售量就減少 10 千克．針對這種水產品的銷售情況，請回答下列問題： (1)當銷售單價定為每千克 65 元時，計算月銷售量和月銷售利 潤； (2)銷售單價定為每千克 x 元（ x＞ 50），月銷售利潤為 y元，求 y（用含 x 的代數(shù)式表示） (3)月銷售利潤能達到 10000 元嗎？請說明你的理由． 答案： （ 1） 銷量 500－ 1015065 ??＝ 350（千克） ；利潤 （ 65－ 40） 350＝ 8750（元） 答：月銷售量為 400 千克，月銷售利潤為 8750 元 （ 2） y= [500(x50)10](x40)=(100010x)(x40)= 10 2x +1400x40000 （ 3） 不 能．由（ 2）知， y=10 2)70( ?x +9000 當銷售價單價 x＝ 70 時，月銷售量利潤最大為 9000 元 . 6． 一家計算機專買店 A 型計算器每只進價 12 元，售價 20 元，多買優(yōu)惠：凡是一次買 10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降低 元，例如，某人買 20 只計算器，于是每只降價 （ 2010）＝ 1（元），因此，所買的全部 20 只計算器都按每只 19 元的價格購買．但是最低價為每只 16 元． （ 1）求一次至少買多少只，才能以最低價購買？ （ 2）寫出專買店當一次銷售 x（ x＞ 10）只時，所獲利潤 y 元）與 x（只）之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量 x 的取值范圍； （ 3）一天，甲買了 46 只，乙買了 50 只，店主卻發(fā)現(xiàn)賣 46 只賺的錢反而比賣 50只賺的錢多，你能用數(shù)學知識解釋這一現(xiàn)象嗎？為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象，在其他優(yōu)惠條件不變的情況下，店家應把最低價每只 16 元至少提高到多少？ 答案： （ 1）設一次購買 x 只，則 20－ ( 10)x??16，解得 50x? ． ∴一次至少買 50 只，才能以最低價購買 ． （ 2）當 10 50x? ≤ 時， 2[ 20 0. 1 ( 10 ) 12 ] 0. 1 9y x x x x? ? ? ? ? ? ? 當 50x? 時， (20 16) 4y x x? ? ?． （ 3） 220 .1 9 0 .1 ( 4 5 ) 2 0 2 .5y x x x? ? ? ? ? ? ?． O x y A B C 6 ① 當 10＜ x≤ 45 時， y 隨 x 的增大而增大，即當賣的只數(shù)越多 時，利潤更大． ② 當 45＜ x≤ 50 時， y 隨 x 的增大而減小，即當賣的只數(shù)越多時，利潤變?。? 且當 46x? 時， y1=， 當 50x? 時， y2=200． y1＞ y2． 即出現(xiàn)了賣 46 只賺的錢比賣 50 只嫌的錢多的現(xiàn)象． 當 45x? 時，最低售價為 2 0 0 .1( 4 5 1 0 ) 1 6 .5? ? ?（元）． ∴為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象，在其他優(yōu)惠條件不變的情況下，店家應把最低價每只 16 元至少提高到 元 . 如圖，拋物線 nmxxy ??? 221 與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交于 C 點，四邊形 OBHC為矩形， CH 的延長線交拋物線于點 D（ 5， 2），連結 BC、 AD. （ 1）求 C 點的坐標及拋物線的解析式； （ 2）將△ BCH 繞點 B 按順時針旋轉 90176。 7 ∴點 E的坐標為（ 3，－ 1） . ………………………………………………… 5 分 把 x=3 代入 22521 2 ??? xxy ，得 12325321 2 ???????y ， ∴點 E 在拋物線上 . …………………… …… ………………………………… 6 分 （ 3）法一：存在點 P（ a， 0），延長 EF 交 CD 于點 G，易求 OF=CG=3， PB=a－ 1. S 梯形 BCGF = 5， S 梯形 ADGF = 3，記 S 梯形 BCQP = S1， S 梯形 ADQP = S2，… 8 分 下面分兩種情形： ① 當 S1∶ S2 =1∶ 3 時 ， 52)35(411 ????S， 此時點 P 在點 F（ 3， 0）的左側，則 PF = 3－ a， 由△ EPF∽△ EQG，得31?? EGEFQGPF，則 QG=9－ 3a， ∴ CQ=3－ (9－ 3a) =3a － 6 由 S1=2，得 22)163(21 ????? aa ，解得 49?a ； ………………… 10 分 ② 當 S1∶ S2=3∶ 1 時 ， 56)35(431 ????S 此時點 P 在點 F（ 3， 0）的右側，則 PF = a－ 3， 由△ EPF∽△ EQG，得 QG = 3a－ 9，∴ CQ = 3 +（ 3 a－ 9） = 3 a－ 6， 由 S1= 6，得 62)163(21 ????? aa ，解得 413?a . 綜上所述：所求點 P 的坐標為（ 49 ， 0）或（ 413 ， 0） ……… 12 分 法二：存在點 P（ a， 0） . 記 S 梯形 BCQP = S1， S 梯形 ADQP = S2， 易求 S 梯形 ABCD = 8. 當 PQ 經過點 F（ 3， 0）時，易求 S1=5， S2 = 3， 此時 S1∶ S2不符合條件，故 a≠ 3. 設直線 PQ 的解析式為 y = kx+b(k≠ 0)，則??? ?? ??? 013 bak bk，解得????????????331aabak ， ∴ 331 ???? a axay . 由 y = 2 得 x = 3a－ 6，∴ Q（ 3a－ 6， 2） …… 8 分 ∴ CQ = 3a－ 6， BP = a－ 1， 742)163(211 ??????? aaaS. 下面分兩種情形： 8 ① 當 S1∶ S2 = 1∶ 3 時 ， 841S41 AB C D1 ??? 梯形S= 2； ∴ 4a－ 7 = 2，解得49?a； …………………………………………… 10 分 ② 當 S1∶ S2 = 3∶ 1 時 ， 6843S43 AB C D1 ???? 梯形S； ∴ 4a－ 7 = 6，解得413?a； 綜上所述：所求點 P 的坐標為（ 49 ， 0）或（413， 0） ………… 12 分 （ 10 分）一家用電器開發(fā)公司研制出一種新型電子產品，每件的生產成本為 18元，按定價 30 元出售，每月可銷售 20萬件．為了增加銷量，公司決定采取降價的辦法，每降價1 元，月銷量可增加 2萬件．銷售期間，要求 銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于 60％ (1)求出月銷量 y(萬件 )與銷售單價 x(元 )之間的函數(shù)關系式． (2)求出月銷售利潤 w(萬元 )(利潤 =售價 —成本價 )與銷售單價 x(元 )之間的函數(shù)關系式． (3)請你根據 (2)中的函數(shù)關系式及其大致圖象幫助公司確定產品銷售單價的范圍，使月銷售利潤不低于 210 萬元． 2 9 9. 如圖，四邊形 ABCD 是菱形，點 D 的坐標是（ 0， 3 ），以點 C 為頂點的拋物線cbxaxy ??? 2 恰好經過 x 軸上 A、 B 兩點． （ 1）求 A、 B、 C 三點的坐標； （ 2）求過 A、 B、 C 三點的拋物線的解析式； （ 3）若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過 D 點，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少個單位 ? ∴ 平移了 5 3 3 4 3??個單位 10 如圖，已知拋物線與 x 軸交于點 A(2,0),B(4,0)，與 y 軸交于點 C(0,8)． （ 1）求拋物線的解析式及其頂點 D 的坐標； （ 2） 設直線 CD 交 x軸于點 E， 過點 B 作 x軸的垂線，交直 線 CD 于點 F，在坐標平面內找一點 G， 使以點 G、 F、 C 為頂點的三角形與 △ COE 相似 ， 請 直接寫出 符合要求的 ，并在第一象限的 點 G 的坐標 ； 解 :（ 1） A、 B、 C 的坐標分別為 (1， 0) ， (3， 0) ， （ 2） 23 ( 2 ) 3yx? ? ? ? （ 3） 設拋物線的解析式為 23 ( 2)y x k? ? ? ?，代入 (0 3)D ， ，可得 53k? ， ∴ 平移后的拋物線的解析式為 23 ( 2 ) 5 3yx? ? ? ?。 (2)1334 2 ???? xxy 點 C（ 0， 1）滿足上述函數(shù)關系式，所以點 C在拋物線上 . （ 3）Ⅰ、若 DE是平行四邊形的對角線，點 C在 y軸上， CD平行 x軸， ∴過點 D 作 DM∥ CE交 x軸于 M,則四邊形 EMDC為平行四邊形， 把 y=1代入拋物線解析式得點 D的坐標為（433， 1） 13 把 y=0代入拋物線解析式得點 E的坐標為（43?， 0） ∴ M(23,0)。 …同理過點 C作 CM∥ DE交 y軸于 N，四邊形 CMDE是平行四邊形， ∴ M(3?,0),N(0, 1). 14. (本題滿分 12 分 )已知：在平面直角坐標系中 xOy 中，一次函數(shù) y＝ kx－ 6k 的圖象與 x軸交于點 A，拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ c 經過 O、 A 兩點 ． (1)試用含 a 的代數(shù)式表示 b； (2)設拋物線的頂點為 D，以 D為圓心， DA 長為半徑的圓被 x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分 ． 若將劣弧沿 x 軸翻 折，翻折后的劣弧落在 ⊙ D 內，它所在的圓恰好與 OD 相切，求 ⊙ D 的半徑長及拋物線的解析式； (3)設點 B 是滿足 (2)中條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋物線在 x 軸上方的部分上是否存在這樣的點 P，使得 ∠ POA＝ 23 ∠ OBA？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由 ． 28． (1)A(6， 0)………………………… 1′ b＝ － 6a ………………………………3′ (2)①當 a＞ 0，解得 OD＝ 3 2，……… …… 3′，解得拋物線解析式為 y＝ 13x2－ 2x …………4 3 2 1 1 2 3 4 － 1 － 2 － 3 － 4 1 2 3 4 5 6 O x y 14 5′ ②當 a＜ 0，解得 OD＝ 3 2，解得拋物線的解析式為 y＝ － 13x2＋ 2x …………………………7′ 綜上， ⊙ D 的半徑為 3 2，拋物線的解析式為 y＝ 13x2－ 2x 或 y＝ － 13x2＋ 2x ……………… 8′ (3)拋物線在 x軸上方的部分存在點 P，使 ∠ PDA＝ 23 OBA? ，設點 P 的坐標為 (x， y)，且 y＞ 0． ①當點 P 在拋物線 y＝ 13x2－ 2x 上時， P(6＋ 3， 2 3＋ 1)；……………………………… 10′ ②當點 P 在拋物線 y＝ － 13x2＋ 2x 上時， P(6－ 3， 2 3－ 1) … …………………………… 11′ 綜上，存在滿足條件的點 P，點 P 的坐標為 (6＋ 3， 2 3＋ 1)或 (6－ 3， 2 3－ 1) ………12′ 15．（本 小 題滿分 12分）