【正文】 ?? ?? AE .又因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)矩陣 A 相似于對(duì)角陣 ,所以我們可以推出 0)( 0 ?? XAE?與 0)( 2 ?? ?? AE 兩個(gè)的解空間是完全相同的，即 ? ?021 ??WW ． 在線性變換中應(yīng)用 例 ]10[7 設(shè) ? ?1][ ?nXP n 是數(shù)域 P 上的一個(gè)全體 ,且它是一個(gè)次數(shù)小于 n 的多項(xiàng)式與零多項(xiàng)式，則請(qǐng)通過所學(xué)的進(jìn)一步判斷在 nXP ][ 的任一組基下，矩陣通過微分變換 ? 能否變?yōu)閷?duì)角形矩陣． 證明 如果取 ? ?!1!21 1? ?nXXX n， ?, 那么矩陣可以表示為 ?????? 000 1nE,所以有 nAE ?? ?? . 如果在某一組基的作用下，微分變換 ? 的矩陣 B 為對(duì)角矩陣 ,由已知的矩陣BA~ 可推出矩陣 A 可對(duì)角化 ,那么就會(huì)存在一個(gè)可逆矩陣 T 能夠使得 BATT ??1 ,所以 1??TBTA . 通過已知的微分變換 ? 的全為零 ,可以推出 0?B , 0?A 這是不可能的 ,所以在nXP ][ 的任何一組基的作用下，微分變換 ? 的矩陣都不可能成為對(duì)角陣． 第 9 頁 共 16 頁 求數(shù)列通項(xiàng)公式與極限 例 ]11[8 設(shè)兩個(gè)數(shù)列 ? ?? ?nn qp , 都 滿足條件 1,2 1111 ?????? ?? qpqpqqpp nnnnnn ,則請(qǐng)求解nnn qp??lim . 解 把已知條件中的幾個(gè)遞推關(guān)系組 nnnnnn qpqqpp ???? ?? 11 ,2 ,通過化簡改寫成下面的列矩陣的形式： ????????????????????????????????? ?? 1111 11 2111 21 qpqpqpnnnnn ?, 由 ??????? 11 21A和 0??AE? ,可以求出 A 的 21,21 21 ???? ?? ,并且 1 ??， 分別對(duì)應(yīng)TT XX )1,2(,)1,2( 21 ??? .取 ),( 21 XXX? ,則 ????????? 21 2122 11X , 1210 021 ??????? ??? XXA , 從而 ???????????????????????????????????????????????2)21()21(2)21()21(112100211111111nnnnnnn XXqp , 因此 2 )21()21( nnnp ???? , 2 )21()21( nnnq ???? , 并且 2)21()21( )21(2)21(2l i ml i m ???? ???? ???? nn nnnnnn qp . 例 9 已知 ),2,1(2,2),(, 11111 ????????? ??? nbabbaaba nnnnnn????這四個(gè)條件 ,請(qǐng)證明nnnn ba ???? limlim 及存在并且相等 ,給出證明過程，同時(shí)請(qǐng)求出這兩個(gè)的極限值 . 證明 把已知條件中的遞推關(guān)系組作進(jìn)一步簡化推出 434,22 11 nnnnnn babbaa ???? ?? , 然后再改寫為另一種矩陣的形式： 第 10 頁 共 16 頁 ???????????????????????????????????????????11114341 21214341 2121bababannnnn ?, 由???????????4341 2121A 和 0??AE? ,可以求出 A 的 141 21 ?? ?? ， ,并且 21 ??， 分別對(duì)應(yīng)? ? ? ?TT XX 11,12 21 ， ??? ,取 ? ? ????????? 11 12, 21 XXX ,則 ?????????????3231 31311X , 110041 ?????????? XXA , 因?yàn)? ?????????????????1004111 Xbann , ?????????????????????????????????? ??324131314131 324231314231111nnnnbaX , 所以 ?? ??????? ??????????? ????? 3242313142311 nnna , ?? ??????? ?????????? ????? 3242313142311 nnnb , 即 nnnn ba ???? ??? lim3231lim ??. 例 10 設(shè)有 10?x , ex?1 , )1(11 ??? ?? nxxx nnn 這三個(gè)條件 ,請(qǐng)求出nn x??lim. 解 從已知的三個(gè)條件可以推出 ),2,1(0 ??? nxn ,以及 )ln( ln21ln11 ?? ?? nnn xxx,令 nn xa ln? ,則 00?a , 11?a , )1()(2111 ??? ?? naaa nnn,所以 ????????????????????????????????????? ?? 0111 01 212101 2121aaaaaa nnnnn ?, 由?????????01 2121A 和 0??AE? ,求得 A 的211 21 ??? ?? ， ,并且 21 ??， 分別對(duì)應(yīng)TT XX )121(,)11( 21 ， ??? .取 ),( 2XXX ? ,令 第 11 頁 共 16 頁 ???????????11 211321X, 121001 ??????????? XXA, 則 ????????????????????????????????????? ???nnnnn XXaa)21(1)21(13201210 01111 , 從而推出： ))21(1(32 nna ???,即 ))21(1(32 nexn ??? , 32lim exnn ???. 例 11 設(shè) 11?x ,nn xx ??? 111 ,求 nn x??lim . 解 令1?? nnn aax ,根據(jù)條件nn xx ??? 111 ,將其簡化為 nnn aaa ?? ?? 12 ,然后再寫成矩陣 )2(01 1101 1112111 ?????????????????????????????????? ??? naaaaaa nnnnn ?, 由 ??????? 01 11A和 0??AE? ,求出 A 的 ???? ?????? 2 512 5121 ，,且 21 ??， 分別對(duì)應(yīng)的是 TT XX )1(,)1( 21 ， ?? ?? ,取 ???????? 11),( 21 ??XXX,則 10 0 ???????? XXA ??, ?????? ?????????????????????? ?? ???? 11 2211 51110 0 nn nnnnn XXaa ?? ???? , 即 2151)()(1l i ml i ml i ml i m1122111????????????????????????? ????? ??????nnnnnnnnnnnnn aax . 求行列式的值 例 ]12[12 設(shè)有一個(gè) n 階的行列式，化簡并求出它的值 . 第 12 頁 共 16 頁