【正文】 （ ） 對(duì)時(shí)間離散，也取一適當(dāng)?shù)姆指铋g隔 t? ，稱為時(shí)間步長(zhǎng)，其分割點(diǎn)記為 tntn ?? （ n=0， 1，?，K）。如果給定邊界條件及初始 0t 時(shí)刻的值 ),( txu ，就可以計(jì)算出在這些格點(diǎn)上以后時(shí)刻的 u 值。 在比較中，有限差分法是最成熟 的方法 ， 也是現(xiàn)在 最常見 的應(yīng)用。 隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，計(jì)算方法的不斷發(fā)展和完善，電子計(jì)算機(jī)的可用性，仿真和實(shí)驗(yàn)手段，各種海洋動(dòng)力學(xué)問題 都可求得數(shù)值解。 數(shù)值計(jì)算是一種離散的近似方法，是在計(jì)算機(jī)上的一種模擬。 試驗(yàn)研究是為了能夠確定一些系數(shù)和驗(yàn)證理論結(jié)果。理論方法 是 一種重要的分析論證方法。這些解被用于研究海洋動(dòng)力學(xué)過程，其中包括波動(dòng)。然而，我們發(fā)現(xiàn)它們是非線性的偏微分方程，一般情況下這是無解析解的；即使對(duì)于一個(gè)十分簡(jiǎn)單的流動(dòng)也難以得到解析解。而對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，其連續(xù)方程則變?yōu)椋? 0????????? zwyvxu （ ） 方程（ ）和方程（ ）構(gòu)成了一個(gè)由四個(gè)方程組成的方程組即 NS 方程組，其 中三個(gè)是運(yùn)動(dòng)方程，一個(gè)是連續(xù)方程。 連續(xù)方程的導(dǎo)出 z uu?? ?,u ???? z? y? y x? x 圖 控制體 歐拉形式的連續(xù)方程通常采用圖 所示的控制體。 在笛卡兒坐標(biāo)系中，把式（ ）運(yùn)動(dòng)方程展開，可得： ???????? ??????????????? 222222s i n21DD z uy ux uvxptu ???? （ ） ???????? ??????????????? 222222s i n21DD z uy ux uuyptv ???? （ ） ???????? ???????????????? 222222c o s21DD zuyuxuguzptw ???? （ ） 式（ ）中的最后一項(xiàng)是摩擦力，又稱為分子粘性； ? 是緯度。故在固定的地球坐標(biāo)系研究海水運(yùn)動(dòng)時(shí)，還應(yīng)當(dāng)考慮科氏力 [6]的作用。與剛體一樣，流體也必須滿足牛頓第二定律。除以控制體中的質(zhì)量 m? ，得到 x方向的加速度： xpmxpa x ???????? ???? 1 （ ） 考慮三維問題，得流水所受壓強(qiáng)梯度力的加速度為 pa ?????1 () 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)出 如圖 所示，先以流量為例考慮一維流動(dòng)，令 inq 和 outq 分別為控制體左、右兩側(cè)的流入、流出量。在計(jì)算海水運(yùn)動(dòng)時(shí)， 我們還要考慮由質(zhì)量不滅、鹽量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒和機(jī)械能守恒定律和由此建立的方程 [5]。海浪表面二維線性波動(dòng)的基本方程 是由 N— S方程假定邊界條件后推導(dǎo)出來的，也是求解 N— S方程的基礎(chǔ)。最終的出結(jié)論：水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓。 第一章主要介紹了海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)出由三個(gè)運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)連續(xù)方程構(gòu)成的 NS 方程組。最終得出結(jié)論：水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓。 本文的目的就是為了幫助對(duì) NS 方程有興趣的讀者 掌握海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的物理意義和數(shù)學(xué)推導(dǎo) ，希望在此基礎(chǔ)上能夠建立一個(gè)最簡(jiǎn)單的物理模型，進(jìn)行求解，來把握最主要的物理內(nèi)涵和規(guī)律。 NS 方程是一個(gè)非線性對(duì)流擴(kuò)散偏微分方程 [4]。 在一些假設(shè)的邊界條件后， NS方程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，能產(chǎn)生大量的滿足工程實(shí)際的需要的應(yīng)用型方程。所以，想要讓復(fù)雜的物理現(xiàn)象被我們發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，我們需要研究 N— S方程。由于很多學(xué)術(shù)和經(jīng)濟(jì)有用的現(xiàn)象的物理過程都是由 NS方程描述的，所以此方程成為最有用的一組方程之一。這組方程便是到現(xiàn)在還在使用的納維 斯托克斯方程 (即為NS方程 )。 [關(guān)鍵詞 ]:海洋動(dòng)力學(xué)； NS 方程； 有限差分方法； 二維線性波動(dòng) 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 ABSTRACT 2 THE BASIC EQUATIONS OF OCEAN DYNAMICS RESEARCH Lu Xiaoqin (School of Mathematics, Physics amp。本文 著重 介紹了 NS方程的推導(dǎo)過程，及求解 NS方程的數(shù)值方法中有限差 分法的 差分格式 的建立 及其誤差和基本性質(zhì)的分析， 如相容性、收斂性、穩(wěn)定性分析等，能讓讀者更加清晰的了解 NS方程的求解方法。 畢 業(yè) 論 文（設(shè)計(jì)） 題 目： 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的研究 學(xué) 院： 數(shù)理與信息學(xué)院 專 業(yè)： 物理學(xué)（師范） 班 級(jí)： Ｂ１０物理 學(xué)生姓名： 盧小琴 學(xué) 號(hào)： 100603138 指導(dǎo)教師： 李鵬 2020 年 05 月 08 日 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 目錄 目錄 摘要 ................................................................. 1 ABSTRACT ............................................................. 2 前言 ................................................................................................................................... 3 1. 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) ...................................................................................... 5 壓力梯度項(xiàng)的導(dǎo)出 ............................................................................................ 5 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)出 ................................................................................................ 5 NS 方程的導(dǎo)出 .................................................................................................. 6 連續(xù)方程的導(dǎo)出 .............................................................................................. 7 2. 有限差分法基本概念 .................................................................................................. 9 解域的離散化與差分網(wǎng)格的建立 ..................................................................... 9 微分方程的離散化 ........................................................................................... 10 階段誤差與相容性 .......................................................................................... 13 累積誤差與收斂性 .......................................................................................... 14 舍入誤差與穩(wěn)定性分析 .................................................................................. 16 3. 海浪表面線性波動(dòng) .................................................................................................... 17 海浪理論 ........................................................................................................... 17 表面二維線性波動(dòng)的基本方程與邊界條件 ................................................... 18 表面二維線性波動(dòng)的求解 ............................................................................... 21 結(jié)束語 ............................................................................................................................. 25 參考文獻(xiàn) ......................................................................................................................... 26 文獻(xiàn)翻譯 ......................................................................................................................... 27 致謝 ................................................................................................................................. 37 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 摘要 1 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的研究 盧小琴 (浙 江海洋學(xué)院 數(shù)理與信息學(xué)院，浙江 舟山 316004) [摘 要 ]： 海洋 動(dòng)力學(xué)作為流體力學(xué)的一個(gè)分支，而流體力學(xué)作為宏觀力學(xué)的一個(gè)主要分支，它的成長(zhǎng)歷史悠久，是以理論研究比較成熟。 本文 的目的就是為了幫助對(duì) NS方程有興趣的讀者 掌握海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的物理意義和數(shù)學(xué)推導(dǎo) ，希望在此基礎(chǔ)上能夠建立一個(gè)最簡(jiǎn)單的物理模型，進(jìn)行求解，來把握最主要的物理內(nèi)涵和規(guī) 律。 對(duì)于無旋運(yùn)動(dòng)，分開求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題和動(dòng)力學(xué)問題， 即先從拉普拉斯方程和邊界條件求得速度（或求得勢(shì)函數(shù)），再由拉格朗日積分求得壓強(qiáng)，使問題全部解決。 1822 年，粘性流體的基本運(yùn)動(dòng)方程由納維創(chuàng)建 [1]； 1845 年，斯托克斯再次以更恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ茖?dǎo)了這個(gè)方程，并提出了清楚明白且讓人信服的宏觀力學(xué)的基本概念。如此 ，任何液體力區(qū)域的動(dòng)態(tài)平衡 都 可以通過 NS 方程描述 。目前描述流體最精確、最全面的數(shù)學(xué)模型也是 N— S 方程。另外，海洋區(qū)別于其他流體介質(zhì)在于海洋存在多種熱力學(xué)示蹤要素（溫度和鹽度），以及狀態(tài)方程的高度